Résolution d’une équation du quatrième degré

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Résolution d’une équation du quatrième degré

Nombres complexes et applications

matT_1406_07_04C

Ens. spécifique

22

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

On désigne par (E) l’équation z4+ 4z2+ 16 = 0 d’inconnue complexe z.

>1. Résoudre dans ℂ l’équation Z2+ 4Z + 16 = 0.

Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

>2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à .

Calculer a2 sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans de l’équation . On écrira les solutions sous forme algébrique.

>3.Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z=x + iyx et y, le conjugué de z est le nombre complexe défini par =x − iy. Démontrer que :

  • Pour tous nombres complexes z1 et z2, .
  • Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, .

>4. Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué est également une solution de (E). En déduire les solutions dans de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Forme algébrique d’un nombre complexe  E16a  → 1., 2. et 3.
  • Module d’un nombre complexe  E18a  → 1.
  • Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d  → 1. et 2.
  • Conjugué d’un nombre complexe  E17a • E17b  → 3. et 4.
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21a • E21b • E21c  → 1. et 2.
  • Résolution d’une équation du second degré  E23 1.
  • Raisonnement par récurrence  E1 3.

Calculatrice

  • Calculs avec les nombres complexes  C4 

Nos coups de pouce

>3. Pour démontrer la première relation, écrivez et sous forme algébrique. Pour démontrer la deuxième relation, raisonnez par récurrence.

>4. Justifiez en utilisant la question 3. et les propriétés du conjugué que , désignant une solution de l’équation .

Corrigé
Corrigé

>1. Résoudre une équation dans et écrire les solutions sous forme exponentielle

  • Le discriminant associé à cette équation est :

.

Comme est négatif, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées et  :

et .

Notez bien

Vous pouvez vérifier la cohérence de vos résultats à l’aide de votre calculatrice  C4 .

  • Le module du nombre complexe est :

.

Par propriété, un argument de ce nombre complexe non nul exprimé en radians vérifie

et .

À l’aide du tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument du nombre complexe . Ainsi, s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :

.

  • Comme est le conjugué de , et .

Ainsi, s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :

.

>2. Résoudre une équation dans et écrire les solutions sous forme algébrique

  • Comme le nombre complexe a pour module 2 et pour argument , il s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante : .

Par conséquent,

Remarque. Le nombre complexe est le nombre complexe , une des solutions de l’équation .

  • Comme , l’équation s’écrit .

Notez bien

.

Or

L’équationadmet donc dansdeux solutions ­complexes qui sontet.

Remarque. Les nombres complexes et sont deux solutions de l’équation .

  • La forme exponentielle du nombre complexe est . Or,

.

La forme algébrique du nombre complexe est donc : .

Et naturellement, .

>3. Démontrer une égalité avec des nombres complexes conjugués

  • Soient et deux nombres complexes tels que : et (forme algébrique). Alors, nous avons :

Notez bien

Et donc, .

Or,

Ainsi,.

  • Soit la propriété  : .

Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation

Comme , la propriété est vraie.

Hérédité

Supposons que la propriété est vraie au rang . Démontrons qu’elle est vraie au rang .

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, la propriété est donc vraie :

pour tout entier naturel,.

>4. Résoudre une équation dans du quatrième degré

  • Supposons que soit une solution de l’équation . Nous avons alors :

Autrement dit,est également une solution de.

  • D’après la question 2., et sont solutions de l’équation . Par le point précédent, leurs conjugués le sont également, à savoir et . Comme, d’après l’énoncé, admet au plus quatre solutions. Les solutions de dans sont donc :

;;et.