Corpus Corpus 1

Résolution d’une équation du quatrième degré

Nombres complexes et applications

matT_1406_07_04C

Ens. spécifique

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

On désigne par (E) l’équation z⁴+ 4z²+ 16 = 0 d’inconnue complexe z.

>1. Résoudre dans ℂ l’équation Z²+ 4Z + 16 = 0.

Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

>2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à .

Calculer a² sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans ℂ de l’équation . On écrira les solutions sous forme algébrique.

>3.Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z =x + iy où x ∈ ℝ et y ∈ ℝ, le conjugué de z est le nombre complexe défini par  =x − iy. Démontrer que :

Pour tous nombres complexes z₁ et z₂, .
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, .

>4. Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué est également une solution de (E). En déduire les solutions dans ℂ de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Forme algébrique d’un nombre complexe  E16a  → 1., 2. et 3.
Module d’un nombre complexe  E18a  → 1.
Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d  → 1. et 2.
Conjugué d’un nombre complexe  E17a • E17b  → 3. et 4.
Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21a • E21b • E21c  → 1. et 2.
Résolution d’une équation du second degré  E23  → 1.
Raisonnement par récurrence  E1  → 3.

Calculatrice

Calculs avec les nombres complexes  C4

Nos coups de pouce

>3. Pour démontrer la première relation, écrivez et sous forme algébrique. Pour démontrer la deuxième relation, raisonnez par récurrence.

>4. Justifiez en utilisant la question 3. et les propriétés du conjugué que , désignant une solution de l’équation .

Corrigé

>1. Résoudre une équation dans et écrire les solutions sous forme exponentielle

Le discriminant associé à cette équation est :

Comme est négatif, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées et  :

et .

Notez bien

Vous pouvez vérifier la cohérence de vos résultats à l’aide de votre calculatrice  C4 .

Le module du nombre complexe est :

Par propriété, un argument de ce nombre complexe non nul exprimé en radians vérifie

et .

À l’aide du tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument du nombre complexe . Ainsi, s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :

Comme est le conjugué de , et .

Ainsi, s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :

>2. Résoudre une équation dans et écrire les solutions sous forme algébrique

Comme le nombre complexe a pour module 2 et pour argument , il s’écrit sous forme exponentielle de la manière suivante : .

Par conséquent,

Remarque. Le nombre complexe est le nombre complexe , une des solutions de l’équation .

Comme , l’équation s’écrit .

Notez bien

L’équationadmet donc dansdeux solutions complexes qui sontet.

Remarque. Les nombres complexes et sont deux solutions de l’équation .

La forme exponentielle du nombre complexe est . Or,

La forme algébrique du nombre complexe est donc : .

Et naturellement, .

>3. Démontrer une égalité avec des nombres complexes conjugués

Soient et deux nombres complexes tels que : et (forme algébrique). Alors, nous avons :

Notez bien

Et donc, .

Or,

Ainsi,.

Soit la propriété  : .

Démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation

Comme , la propriété est vraie.

Hérédité

Supposons que la propriété est vraie au rang . Démontrons qu’elle est vraie au rang .

Conclusion

La propriété étant initialisée et héréditaire, d’après l’axiome de récurrence, la propriété est donc vraie :

pour tout entier naturel,.

>4. Résoudre une équation dans du quatrième degré

Supposons que soit une solution de l’équation . Nous avons alors :

Autrement dit,est également une solution de.

D’après la question 2., et sont solutions de l’équation . Par le point précédent, leurs conjugués le sont également, à savoir et . Comme, d’après l’énoncé, admet au plus quatre solutions. Les solutions de dans sont donc :