Résolution d’une équation du quatrième degré

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Résolution d’une équation du  quatrième  degré

Nombres complexes et applications

matT_1406_07_04C

Ens. spécifique

22

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

On désigne par (E) l’équation z4+  4z2+  16  = 0 d’inconnue complexe  z.

>1. Résoudre dans ℂ l’équation Z2+  4Z +  16  = 0.

Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

>2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à .

Calculer a2 sous forme algébrique.

En déduire les solutions dans de l’équation . On écrira les solutions sous forme algébrique.

>3.Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z=x +  iyx et y, le conjugué de z est le nombre complexe défini par =x − iy. Démontrer que  :

  • Pour tous nombres complexes z1 et z2, .
  • Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, .

>4. Démontrer que si z est une solution de l’équation (E) alors son conjugué est également une solution de (E). En déduire les solutions dans de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Forme algébrique d’un nombre complexe   E16a  → 1., 2. et 3.
  • Module d’un nombre complexe   E18a  → 1.
  • Argument d’un nombre complexe   E19b • E19d  → 1. et 2.
  • Conjugué d’un nombre complexe   E17a • E17b  → 3. et 4.
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe   E21a • E21b • E21c  →  1.  et 2.
  • Résolution d’une équation du second degré   E23  1.
  • Raisonnement par récurrence   E1  3.

Calculatrice

  • Calculs avec les nombres complexes   C4 

Nos coups de pouce

>3. Pour démontrer la première relation, écrivez et sous forme algébrique. Pour démontrer la deuxième relation, raisonnez par récurrence.

>4. Justifiez en utilisant la question 3. et les propriétés du conjugué que , désignant une solution de l’équation .

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