Nombres complexes et applications
matT_1406_07_04C
Ens. spécifique
22
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2014
Exercice 3 • 5 points
On désigne par (E) l'équation z4
Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
.
Calculer a2 sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans . On écrira les solutions sous forme algébrique.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Nombres complexes.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Forme algébrique d'un nombre complexe
E16 a → 1., 2. et 3. - Module d'un nombre complexe
E18 a → 1. - Argument d'un nombre complexe
E19 b • E19 d → 1. et 2. - Conjugué d'un nombre complexe
E17 a • E17 b → 3. et 4. - Forme exponentielle d'un nombre complexe
E21 a • E21 b • E21 c → 1. et 2. - Résolution d'une équation du second degré
E23 → 1. - Raisonnement par récurrence
E1 → 3.
Calculatrice
- Calculs avec les nombres complexes
C4
Nos coups de pouce
> 1. Résoudre une équation dans
et écrire les solutions sous forme exponentielle
- Le discriminant associé à cette équation est :
Comme est négatif, cette équation admet deux solutions complexes conjuguées
et
:
Notez bien
Vous pouvez vérifier la cohérence de vos résultats à l'aide de votre calculatrice
Par propriété, un argument de ce nombre complexe non nul exprimé en radians vérifie
À l'aide du tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument du nombre complexe
. Ainsi,
s'écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :
Ainsi, s'écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :
> 2. Résoudre une équation dans
et écrire les solutions sous forme algébrique
- Comme le nombre complexe
a pour module 2 et pour argument
, il s'écrit sous forme exponentielle de la manière suivante :
.
Remarque. Le nombre complexe est le nombre complexe
, une des solutions de l'équation
.
Remarque. Les nombres complexes et
sont deux solutions de l'équation
.
> 3. Démontrer une égalité avec des nombres complexes conjugués
Démontrons cette propriété par récurrence.
Initialisation
Comme , la propriété
est vraie.
Hérédité
Supposons que la propriété est vraie au rang . Démontrons qu'elle est vraie au rang
.
Conclusion
La propriété étant initialisée et héréditaire, d'après l'axiome de récurrence, la propriété
est donc vraie :