Terminale générale Mathématiques Compléments sur la dérivation

Analyse

Compléments sur les fonctions

matT_2000_00_45C

Compléments sur les fonctions

Résolution d'une équation fonctionnelle

40 min

4 points

Intérêt du sujet • À vous qui savez ce qu'est une fonction, bienvenue dans le monde des équations fonctionnelles ! Une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. La résoudre revient donc à trouver une ou plusieurs fonctions vérifiant l'égalité donnée, et ce, pour toute valeur des variables intervenant.

On souhaite déterminer toutes les fonctions f définies et continues sur $ℝ$ vérifiant, pour tous réels x et y, l'équation fonctionnelle :

$f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

Soit f une fonction remplissant ces conditions et soit x un nombre réel quelconque.

▶ 1. a) Démontrer que $f (0) = 0$ et que $f (- x) = - f (x)$ .

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $f (n x) = n f (x) .$

c) Démontrer que pour tout entier naturel n, $f (- n x) = - n f (x) .$ On a donc, pour tout entier relatif k, $f (k x) = k f (x) .$

d) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul p, on a $f (\frac{1}{p} x) = \frac{1}{p} f (x)$ .

e) Démontrer que, pour tout nombre rationnel r, $f (r x) = r f (x)$ .

▶ 2. On pose $f (1) = λ$ .

Démontrer que, pour tout nombre rationnel q, on a $f (q) = λ q$ .

▶ 3. On admet que tout nombre réel x est la limite d'une suite de nombres rationnels.

a) On pose toujours f(1) = $λ .$

Démontrer que, pour tout réel x, on a $f (x) = λ x$ (on pourra poser $x = \lim_{n \to + \infty} q_{n}$ où, pour tout entier naturel n, $q_{n}$ est un nombre rationnel).

b) Quelles sont les fonctions f vérifiant les conditions énoncées ?

Les clés du sujet

▶ 1. a) Calculez l'image de 0 par f, puis comparez $f (x)$ et $f (- x)$ .

c) Utilisez le résultat démontré en 1. a).

d) Pensez à écrire x sous la forme $x = \frac{p}{p} x$ puis $p \times \frac{1}{p} x$ , et utilisez 1. b).

e) Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs.

Écrivez r sous la forme $r = \frac{p}{q}$ (avec q ≠ 0) , et utilisez le résultat de 1. d).

Remarquez que $q = q \times 1,$ puis calculez $f (q)$ .

▶ 2. Calculez $f (x)$ en remplaçant x par $\lim_{n \to + \infty} q_{n}$ et en utilisant la continuité de f sur $ℝ$ .

▶ 1. a) Démontrer des propriétés

La relation étant vraie pour tous x et y réels, on peut choisir $x = y = 0 .$ On obtient alors : $f (0 + 0) = f (0) + f (0),$ ou encore $f (0) = 2 f (0)$ , soit $f (0) = 0$ .

Si on choisit $y = - x,$ on obtient $f (x - x) = f (x) + f (- x),$

ou encore $f (0) = f (x) + f (- x),$ soit $0 = f (x) + f (- x),$ c'est-à-dire $f (- x) = - f (x)$ .

b) Démontrer par récurrence

Soit la proposition P(n) : « $f (n x) = n f (x)$ ».

Vérifions que la propriété est vraie pour $n = 0$ .

$f (n x) = f (0) = 0$ (d'après a)), de plus $n f (x) = 0 \times f (x) = 0$ .

La propriété est donc vérifiée pour $n = 0 .$

Supposons la propriété vraie pour un entier $n \geq 0$ et montrons qu'elle reste vraie pour l'entier $n + 1$ .

$f ((n + 1) x) = f (n x) + f (x)$

$= n f (x) + f (x)$ d'après l'hypothèse de récurrence

$= (n + 1) f (x)$ .

La propriété reste donc vraie au rang $n + 1$ .

La propriété a été initialisée, est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n de $ℕ$ .

c) Démontrer des propriétés relatives à une fonction

La relation précédente est vérifiée pour tout n de $ℕ$ et tout x réel, on peut donc l'appliquer à $- x$ , on obtient alors : $f (- n x) = n f (- x)$ .

De plus, d'après la question 1. a), nf(− x) $= - n f (x)$ . On a donc bien f(− nx) = − nf(x) pour tout entier naturel n, ou f(kx) = kf(x) pour tout entier relatif k.

d) Démontrer des propriétés relatives à une fonction

Soit p un entier naturel non nul. $f (x) = f (\frac{p}{p} x) = p f (\frac{1}{p} x)$ d'après c) car p est un entier. On a donc $f (\frac{1}{p} x) = \frac{1}{p} f (x)$ .

e) Démontrer des propriétés relatives à une fonction pour un rationnel

à noter

L'ensemble des rationnels est noté $ℚ .$ Un rationnel r étant le quotient de deux entiers relatifs, il existe p et q deux entiers relatifs (q ≠ 0) tels que $r = \frac{p}{q}$ .

Soit un nombre rationnel r tel que $r = \frac{p}{q} .$

On a $f (r x) = f (\frac{p}{q} x) = p f (\frac{1}{q} x)$ d'après c).

Or d'après d), $p f (\frac{1}{q} x) =$ $p \times \frac{1}{q} f (x)$ et $p \times \frac{1}{q} f (x) = \frac{p}{q} f (x) = r f (x)$ .

On a donc montré que, pour tout rationnel r, $f (r x) = r f (x)$ .

▶ 2. Démontrer des propriétés relatives à une fonction pour un rationnel

Si on pose $f (1) = λ,$ alors $f (r \times 1) = r f (1) = λ r .$

Ainsi $f (r) = λ r$ pour r rationnel.

▶ 3. a) Démontrer des propriétés relatives à une fonction pour un réel

On admet que tout nombre réel x est la limite d'une suite de nombres rationnels. Alors, il existe une suite $(r_{n})$ de nombres rationnels telle que $x = \lim r_{n}$ . D'où, si x est réel, on a $f (x) = f (\lim r_{n}) = \lim f (r_{n})$ car la fonction f est continue sur $ℝ$ .

Or, d'après la question 2., on sait que $f (r_{n}) = λ r_{n},$ donc $f (x)$ $= \lim λ r_{n} = λ \lim r_{n}$ $= λ x$ .

b) Déterminer les fonctions vérifiant $f (x + y) = f (x) + f (y)$

On a montré que, pour tout x réel, la fonction f vérifie $f (x) = λ x$ .

Les fonctions continues vérifiant $f (x + y) = f (x) + f (y)$ sont donc les fonctions linéaires.