Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_11C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Une session du baccalauréat se compose de deux parties :
- le premier groupe d'épreuves (encore appelé : « écrit » par abus de langage, ou « premier tour »)
- le second groupe d'épreuves (encore appelé : « oral de rattrapage » ou « second tour »).
Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.
Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du premier groupe d'épreuves sont les suivants :
- 74,3 % des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour (c'est-à-dire que leur moyenne générale
est telle que 
) - 17,8 % des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c'est-à-dire que leur moyenne générale
est telle que 
) - les autres candidats ont été recalés (c'est-à-dire que leur moyenne générale
est telle que
).
Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1 %.
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010.
On note :
l'événement « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue du premier tour » 
l'événement « le candidat interrogé est allé à l'oral de rattrapage » 
l'événement « le candidat interrogé a été recalé à l'issue du premier tour » 
l'événement « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l'issue de l'oral de rattrapage » 
l'événement « le candidat interrogé a été recalé à l'issue de l'oral de rattrapage ».
On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-après, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :
Si 
est un événement, on note 
sa probabilité.
. (0,75 point)
Montrer que 
et interpréter ce résultat. (1 point)
, probabilité de l'événement 
sachant que l'événement O est réalisé. Interpréter ce résultat. (0,75 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.
Les conseils du correcteur
> 1. Calcul de p(R1), p(0) et p(E1)
Notez bien
Un et un seul de ces trois événements est réalisé pour chaque choix au hasard d'un candidat. Ces trois événements forment une partition de l'univers la somme de leurs probabilités est égale à 1.
Le candidat interrogé étant choisi au hasard, on est en situation d'équiprobabilité.
Puisque 74,3 % des candidats ont été reçus à l'issue du premier tour et que 17,8 % ont passé l'oral de rattrapage, on en déduit par différence que 7,9 % des candidats ont été recalés à l'issue du premier groupe d'épreuves, d'où :
> 2. Calcul de p(O ∩ R2)
On cherche 
, c'est-à-dire la probabilité qu'un candidat ait passé l'oral de rattrapage et ait été reçu.
La probabilité qu'un candidat choisi au hasard ait été admis est : 
car, d'après l'énoncé, le taux final de réussite à l'issue des deux groupes d'épreuves était 86,1 %.
Un candidat admis peut l'avoir été à l'issue du premier groupe d'épreuves ou après avoir passé l'oral de rattrapage.
D'où 
.
Les événements 
et 
sont incompatibles, donc :
.
On en déduit que : 
.
> 3. Calcul de pO(R2)
La probabilité 
est la probabilité que l'événement 
soit réalisé sachant que l'événement O est réalisé. C'est une probabilité conditionnelle.
D'après la définition d'une probabilité conditionnelle :
> 4. Arbre pondéré décrivant la situation
Notez bien
Les probabilités portées par les branches de second niveau (issues de O) sont des probabilités conditionnelles (« sachant O »). La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
> 5. a) Probabilité que les trois candidats aient été admis
On répète trois fois une même expérience n'ayant que deux issues « admis » ou « refusé ».
Notez bien
Le « succès » est la réalisation de l'événement A, donc la probabilité de succès est 
La variable aléatoire 
qui compte le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de candidats admis parmi les trois interrogés, suit la loi binomiale de paramètres 
et 
.
La situation peut être représentée par l'arbre suivant :
La probabilité que les trois candidats interrogés aient été admis est :
b) Probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis
La probabilité qu'au moins deux des trois candidats aient été admis est la probabilité qu'exactement deux ou exactement trois de ces candidats aient été admis, soit 
.
Sur l'arbre précédent, il y a trois chemins correspondant à 
(exactement deux succès). La probabilité de chacun de ces chemins est égale à 
.
Donc 
.
Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.