Résultats du baccalauréat

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Résultats du baccalauréat

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

33

Ens. spécifique

matT_1200_00_11C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Une session du baccalauréat se compose de deux parties :

  • le premier groupe d’épreuves (encore appelé : « écrit » par abus de langage, ou « premier tour ») ;
  • le second groupe d’épreuves (encore appelé : « oral de rattrapage » ou « second tour »).

Ce second groupe d’épreuves concerne les candidats n’ayant pas obtenu le bac à l’issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.

Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l’issue du premier groupe d’épreuves sont les suivants :

  • 74,3 % des candidats ont été reçus à l’issue du premier tour (c’est-à-dire que leur moyenne générale est telle que ) ;
  • 17,8 % des candidats sont allés aux oraux de rattrapage (c’est-à-dire que leur moyenne générale est telle que ) ;
  • les autres candidats ont été recalés (c’est-à-dire que leur moyenne générale est telle que).

Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l’issue des deux groupes d’épreuves est 86,1 %.

On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010.

On note :

  • l’événement « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l’issue du premier tour » ;
  • l’événement « le candidat interrogé est allé à l’oral de rattrapage » ;
  • l’événement « le candidat interrogé a été recalé à l’issue du premier tour » ;
  • l’événement « le candidat interrogé a obtenu le baccalauréat à l’issue de l’oral de rattrapage » ;
  • l’événement « le candidat interrogé a été recalé à l’issue de l’oral de rattrapage ».

On peut modéliser la situation par l’arbre (partiellement pondéré) ci-après, qu’on ne demande pas de compléter pour l’instant :


Si est un événement, on note sa probabilité.

Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.

>1. Donner les valeurs des probabilités suivantes :. (0,75 point)

>2. On appelle A l’événement « le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat ». On a donc

Montrer que et interpréter ce résultat. (1 point)

>3. Calculer , probabilité de l’événement sachant que l’événement O est réalisé. Interpréter ce résultat. (0,75 point)

>4. Recopier et compléter l’arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus. (1 point)

>5. On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s’ils l’ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour considérer ces trois réponses comme indépendantes.

a) Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis. (0,75 point)

b) Calculer la probabilité qu’au moins deux des candidats aient été admis. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.

Les conseils du correcteur

>  1. Puisqu’on interroge un candidat au hasard, on est en situation d’équiprobabilité. Traduisez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

>  2. Exploitez le résultat suivant : un candidat qui a obtenu son baccalauréat peut l’avoir obtenu à l’issue du premier tour ou à l’issue de l’oral de rattrapage.

>  3. La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

>  4. On répète trois fois la même expérience. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli. Considérez une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

>  5. b) « Au moins deux candidats » signifie deux ou trois candidats.

Corrigé

>1. Calcul de p(R1), p(0) et p(E1)

Notez bien

Un et un seul de ces trois événements est réalisé pour chaque choix au hasard d’un candidat. Ces trois événements forment une partition de l’univers ; la somme de leurs probabilités est égale à 1.

Le candidat interrogé étant choisi au hasard, on est en situation d’équiprobabilité.

Puisque 74,3 % des candidats ont été reçus à l’issue du premier tour et que 17,8 % ont passé l’oral de rattrapage, on en déduit par différence que 7,9 % des candidats ont été recalés à l’issue du premier groupe d’épreuves, d’où :

>2. Calcul de p(O ∩ R2)

On cherche , c’est-à-dire la probabilité qu’un candidat ait passé l’oral de rattrapage et ait été reçu.

La probabilité qu’un candidat choisi au hasard ait été admis est : car, d’après l’énoncé, le taux final de réussite à l’issue des deux groupes d’épreuves était 86,1 %.

Un candidat admis peut l’avoir été à l’issue du premier groupe d’épreuves ou après avoir passé l’oral de rattrapage.

D’où .

Les événements et sont incompatibles, donc :

.

On en déduit que : .

11,8 % des candidats sont admis à l’issue de l’oral de rattrapage.

>3. Calcul de pO(R2)

La probabilité est la probabilité que l’événement soit réalisé sachant que l’événement O est réalisé. C’est une probabilité conditionnelle.

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

Parmi les candidats ayant passé l’oral de rattrapage, 66,3 % ont été reçus.

>4. Arbre pondéré décrivant la situation


Notez bien

Les probabilités portées par les branches de second niveau (issues de O) sont des probabilités conditionnelles  (« sachant O »). La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

>5.a) Probabilité que les trois candidats aient été admis

On répète trois fois une même expérience n’ayant que deux issues « admis » ou « refusé ».

Notez bien

Le « succès » est la réalisation de l’événement A, donc la probabilité de succès est

La variable aléatoire qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de candidats admis parmi les trois interrogés, suit la loi binomiale de paramètres et .

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :


La probabilité que les trois candidats interrogés aient été admis est :

b) Probabilité qu’au moins deux des candidats aient été admis

La probabilité qu’au moins deux des trois candidats aient été admis est la probabilité qu’exactement deux ou exactement trois de ces candidats aient été admis, soit .

Sur l’arbre précédent, il y a trois chemins correspondant à (exactement deux succès). La probabilité de chacun de ces chemins est égale à .

Donc .

La probabilité que, sur les trois candidats interrogés, au moins deux aient été admis est donc