Retoucher une image

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Retoucher une image

Fonction logarithme népérien

matT_1406_01_01C

Ens. spécifique

17

CORRIGE

Afrique • Juin 2014

Exercice 3 • 7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante :

  • x= 0 pour le blanc ;
  • x= 1 pour le noir ;
  • x = 0,01 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu’à x= 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).

L’image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.

Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».

Une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatre propriétés suivantes :

  • f (0) = 0 ;
  • f (1) = 1 ;
  • f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] ;
  • f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si , et éclaircie si .

Ainsi, si f (x) =x2, un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,22= 0,04.

L’image A sera transformée en l’image B ci-après.

Si , la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée .

L’image A sera transformée en l’image C ci-après.


 

Partie A

>1. On considère la fonction f1 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f1(x) = 4x3 − 6x2+ 3x.

a) Démontrer que la fonction f1 est une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement l’inéquation , à l’aide du graphique donné en annexe (à rendre avec la copie) en faisant apparaître les pointillés utiles.

Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.

>2. On considère la fonction f2 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f2(x) = ln(1 + (e − 1)x).

On admet que f2 est une fonction de retouche.

On définit sur l’intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) =f2(x) − x.

a) Établir que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 1], .

b) Déterminer les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que la fonction g admet un maximum en , maximum dont une valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Établir que l’équation g(x) = 0,05 admet sur l’intervalle [0 ; 1] deux solutions α et β, avec .

On admettra que et que .

Partie B

On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

>1. Dans l’algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.

Quel est le rôle de cet algorithme ?

 

Variables

Initialisation

Traitement

x (nuance initiale)

y (nuance retouchée)

E (écart)

c (compteur)

k

c prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à 100

x prend la valeur

y prend la valeur f (x)

E prend la valeur

Si

c prend la valeur c + 1

Fin si

Sortie

Fin pour

Afficher c

 

>2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l’applique à la fonction f2 définie dans la deuxième question de la partie A ?

Partie C


 

Dans cette partie, on s’intéresse à des fonctions de retouche f dont l’effet est d’éclaircir l’image dans sa globalité, c’est-à-dire telles que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], .

On décide de mesurer l’éclaircissement global de l’image en calculant l’aire Af de la portion de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les droites d’équations respectives x= 0 et x= 1.

Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plus l’image sera celle correspondant à la plus petite aire.

On désire comparer l’effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu’elles sont des fonctions de retouche :

 et .

>1. a) Calculer .

b) Calculer .

>2. De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d’éclaircir le plus l’image ?

Annexe

Courbe représentative de la fonction f1


 
Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 min.

Les thèmes clés

Fonctions polynômes • Fonction logarithme népérien • Continuité • Dérivation • Calcul intégral • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation  E6e • E6f • E9d  → Partie A, 1. a) et 2. a)
  • Variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 2. b)
  • Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires  E7c  → Partie A, 2. c)
  • Calcul d’aires  E11c • E13 • E14 Partie C, 1. a) et 1. b)

Nos coups de pouce

Partie C

>1. a) et b) Pensez à vérifier la positivité et la continuité des fonctions utilisées avant de passer au calcul intégral.

Corrigé
Corrigé

partie a

>1. a) Justifier qu’une fonction est une fonction de retouche

  • .
  • .
  • est une fonction polynôme donc est continue sur
  • est une fonction polynôme donc est dérivable sur

Pour tout réel  :

La fonction est donc croissante sur .

En résumé, la fonctionest une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement une inéquation

On cherche les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction qui sont situés en dessous ou sur la droite d’équation . À l’aide du graphique, l’ensemble solution semble être l’intervalle.


 

Si l’on considère une nuance codéedans l’intervalleelle sera laissée à l’identique ou éclaircie si l’on a recours à la fonctionpuisquepour.

>2. a) Dériver une fonction

La fonction est une fonction affine donc elle est dérivable sur Cette fonction est aussi strictement positive sur .

La fonction est dérivable sur En composant les deux fonctions précédentes, on obtient donc une fonction dérivable sur , qui n’est autre que la fonction . Par différence de fonctions dérivables sur , la fonction est alors dérivable sur .

Pour tout  :

Notez bien

Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors pour tout ,.

b) Étudier les variations d’une fonction pour rechercher un extremum

Pour tout réel de l’intervalle , Le signe de est donc celui de .

Notez bien

donc le sens de l’inégalité ne change pas.

On en déduit ainsi le tableau de variations de sur .


 

est une fonction de retouche donc et, par suite, .

De plus et, par suite, .

Ainsi .

La fonctionadmet donc un maximum en, maximum dont la valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Dénombrer les solutions d’une équation

  • D’après le tableau de variations précédent, la fonction est continue et strictement croissante sur l’intervalle .

De plus, et Le nombre 0,05 est bien compris entre et .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équationadmet une unique solution.

  • D’après le tableau de variations précédent, la fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle .

De plus, et . Le nombre 0,05 est bien compris entre et .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation=0,05 admet une unique solution.

Remarque. On a évidemment, au vu des raisonnements ci-dessus, .

partie b

>1. Déterminer le rôle d’un algorithme

Cet algorithme permet de déterminer le nombre de nuances (dit autrement, le nombre de valeurs de de l’intervalle , en utilisant un pas de 0,01) pour lesquelles une modification de nuance est perceptible .

>2. Déterminer l’affichage final dans un algorithme

et si (partie A, questions 2. b) et c)).

Ainsi si est compris entre 0,09 et 0,85. En allant de 0,09 à 0,85 avec un pas de 0,01, il y a donc 77 valeurs possibles.

Le résultat affiché par cet algorithme sera donc .

partie c

>1. a) Calculer une aire

est une fonction de retouche donc est continue sur .

De plus et est croissante sur  : la fonction est donc positive sur .

L’aire (en unités d’aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction , l’axe des abscisses et les droites d’équations et est donc donnée par :

Notez bien

Une primitive sur de est . Or .

()

>b) Calculer une aire

est une fonction de retouche donc est continue sur .

De plus et est croissante sur  : la fonction est donc positive sur .

L’aire (en unités d’aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction , l’axe des abscisses et les droites d’équations et est donc donnée par :

Notez bien

Si , alors est une fonction dérivable et strictement positive sur et une primitive de est

()

>2. Comparer deux aires

Comme , on en déduit que, entre les fonctions et , c’estqui a pour effet d’éclaircir le plus l’image.