Terminale générale Mathématiques Fonctions de référence

Analyse

Fonctions de référence

matT_2000_00_35C

Fonctions de référence

Retoucher une image

1 h 20

7 points

Intérêt du sujet • Cet exercice fait intervenir de nombreux outils de l'analyse : dérivation, continuité, fonctions logarithme népérien et exponentielle, calcul intégral, pour étudier des fonctions de retouche que l'on trouve dans les logiciels de traitement de l'image.

Les parties A et B sont indépendantes.

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante :

x = 0 pour le blanc ;

x = 1 pour le noir ;

x = 0,01 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu'à x = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).

L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.

Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».

Une fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatre propriétés suivantes :

f (0) = 0 ;

f (1) = 1 ;

f est continue sur l'intervalle [0 ; 1] ;

f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si $f (x) > x$ , et éclaircie si $f (x) x$ .

Ainsi, si f (x) = x², un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,2² = 0,04.

L'image A sera transformée en l'image B ci-après.

Si $f (x) = \sqrt{x}$ , la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$ .

L'image A sera transformée en l'image C ci-après.

Partie A

▶ 1. On considère la fonction f₁ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :

f₁(x) = 4x³ − 6x² + 3x.

a) Démontrer que la fonction f₁ est une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1} (x) \leq x$ , à l'aide du graphique ci-dessous en faisant apparaître les pointillés utiles.

Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.

Courbe représentative de la fonction f₁

▶ 2. On considère la fonction f₂ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :

f₂(x) = ln(1 + (e − 1)x).

On admet que f₂ est une fonction de retouche.

On définit sur l'intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) = f₂(x) − x.

a) Établir que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1], $g^{'} (x) = \frac{(e - 2) - (e - 1) x}{1 + (e - 1) x}$ .

b) Déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1].

Démontrer que la fonction g admet un maximum en $\frac{e - 2}{e - 1}$ , maximum dont une valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Établir que l'équation g(x) = 0,05 admet sur l'intervalle [0 ; 1] deux solutions α et β, avec $α β$ .

On admettra que $0,08 α0,09$ et que $0,85 β0,86$ .

Partie B

On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

▶ 1. Dans l'algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.

Quel est le rôle de cet algorithme ?

Tableau de 4 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : VariablesInitialisationTraitement; x (nuance initiale)y (nuance retouchée)E (écart)c (compteur)kc prend la valeur 0Pour k allant de 0 à 100; Ligne 2 : ; ; x prend la valeur k100y prend la valeur f (x)E prend la valeur y−x; Ligne 3 : ; ; ; Si E≥0,05 c prend la valeur c + 1Fin si; Ligne 4 : Sortie; Fin pourAfficher c;

▶ 2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction f₂ définie dans la deuxième question de la partie A ?

Partie C

Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche f dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-à-dire telles que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1], $f (x) \leq x$ .

On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire A_f de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 1.

Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire.

On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche :

$f_{3} (x) = x e^{(x^{2} - 1)}$ et $f_{4} (x) = 4 x - 15 + \frac{60}{x + 4}$ .

▶ 1. a) Calculer $A_{f_{3}}$ .

b) Calculer $A_{f_{4}}$ .

▶ 2. De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ?

Les clés du sujet

Partie C

▶ 1. a) et b) Pensez à vérifier la positivité et la continuité des fonctions utilisées avant de passer au calcul intégral.

partie a

▶ 1. a) Justifier qu'une fonction est une fonction de retouche

$f_{1} (0) = 4 \times 0^{3} - 6 \times 0^{2} + 3 \times 0 = 0$ .

$f_{1} (1) = 4 \times 1^{3} - 6 \times 1 + 3 \times 1 = 4 - 6 + 3 = 1$ .

$f_{1}$ est une fonction polynôme donc $f_{1}$ est continue sur $[0; 1] .$

$f_{1}$ est une fonction polynôme donc $f_{1}$ est dérivable sur $[0; 1] .$

Pour tout réel $x \in [0; 1]$ :

$\begin{matrix} f_{1}^{'} (x) = 4 \times 3 x^{2} - 6 \times 2 x + 3 = 12 x^{2} - 12 x + 3 \\ = 3 (4 x^{2} - 4 x + 1) = 3 \times {(2 x - 1)}^{2} \geq 0 . \end{matrix}$

La fonction $f_{1}$ est donc croissante sur $[0; 1]$ .

En résumé, la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement une inéquation

On cherche les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction $f_{1}$ qui sont situés en dessous ou sur la droite d'équation $y = x$ . À l'aide du graphique, l'ensemble solution semble être l'intervalle $[0,5; 1]$ .

matT_1406_01_00C_12

Si l'on considère une nuance codée $x$ dans l'intervalle $[0,5; 1],$ elle sera laissée à l'identique ou éclaircie si l'on a recours à la fonction $f_{1}$ puisque $f_{1} (x) \leq x$ pour $x \in [0,5; 1]$ .

▶ 2. a) Dériver une fonction

La fonction $x \mapsto 1 + (e - 1) x$ est une fonction affine donc elle est dérivable sur $[0; 1] .$ Cette fonction est aussi strictement positive sur $[0; 1]$ .

La fonction $x \mapsto ln x$ est dérivable sur $] 0; + \infty [.$ En composant les deux fonctions précédentes, on obtient donc une fonction dérivable sur $[0; 1]$ , qui n'est autre que la fonction $f_{2}$ . Par différence de fonctions dérivables sur $[0; 1]$ , la fonction $g$ est alors dérivable sur $[0; 1]$ .

Pour tout $x \in [0; 1]$ :

à noter

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors pour tout $x \in I$ , $(ln)^{'} (u (x)) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$ .

$\begin{matrix} g^{'} (x) = \frac{e - 1}{1 + (e - 1) x} - 1 \\ = \frac{e - 1}{1 + (e - 1) x} - \frac{1 + (e - 1) x}{1 + (e - 1) x} \\ = \frac{(e - 2) - (e - 1) x}{1 + (e - 1) x} . \end{matrix}$

b) Étudier les variations d'une fonction pour rechercher un extremum

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 1]$ , $1 + (e - 1) x > 0 .$ Le signe de $g^{'} (x)$ est donc celui de $(e - 2) - (e - 1) x$ .

à noter

$e - 1 > 0$ donc le sens de l'inégalité ne change pas.

$\begin{matrix} (e - 2) - (e - 1) x > 0 \Leftrightarrow (e - 2) > (e - 1) x \\ \Leftrightarrow \frac{e - 2}{e - 1} > x . \end{matrix}$

On en déduit ainsi le tableau de variations de $g$ sur $[0; 1]$ .

$f_{2}$ est une fonction de retouche donc $f_{2} (0) = 0$ et, par suite, $g (0) = f_{2} (0) - 0 = 0$ .

De plus $f_{2} (1) = 1$ et, par suite, $g (1) = f_{2} (1) - 1 = 0$ .

$\begin{matrix} g (\frac{e - 2}{e - 1}) = f_{2} (\frac{e - 2}{e - 1}) - \frac{e - 2}{e - 1} = ln (1 + (e - 1) \times \frac{e - 2}{e - 1}) - \frac{e - 2}{e - 1} \\ = \ln (1 + e - 2) - \frac{e - 2}{e - 1} . \end{matrix}$

Ainsi $g (\frac{e - 2}{e - 1}) = \ln (e - 1) - \frac{e - 2}{e - 1} \approx 0,12$ .

La fonction $g$ admet donc un maximum en $\frac{e - 2}{e - 1}$ , maximum dont la valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Dénombrer les solutions d'une équation

D'après le tableau de variations précédent, la fonction $g$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0; \frac{e - 2}{e - 1}]$ .

De plus, $g (0) = 0$ et $g (\frac{e - 2}{e - 1}) \approx 0,12 .$ Le nombre 0,05 est bien compris entre $g (0)$ et $g (\frac{e - 2}{e - 1})$ .

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g (x) = 0,05$ admet une unique solution $α \in [0; \frac{e - 2}{e - 1}]$ .

D'après le tableau de variations précédent, la fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[\frac{e - 2}{e - 1}; 1]$ .

De plus, $g (\frac{e - 2}{e - 1}) \approx 0,12$ et $g (1) = 0$ . Le nombre 0,05 est bien compris entre $g (1)$ et $g (\frac{e - 2}{e - 1})$ .

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g (x)$ =0,05 admet une unique solution $β \in [\frac{e - 2}{e - 1}; 1]$ .

Remarque. On a évidemment, au vu des raisonnements ci-dessus, $α β$ .

partie b

▶ 1. Déterminer le rôle d'un algorithme

Cet algorithme permet de déterminer le nombre de nuances (dit autrement, le nombre de valeurs de $x$ de l'intervalle $[0; 1]$ , en utilisant un pas de 0,01) pour lesquelles une modification de nuance est perceptible $(E \geq 0,05)$ .

▶ 2. Déterminer l'affichage final dans un algorithme

$|f_{2} (x) - x| = |g (x)| = g (x)$ et $g (x) \geq 0,05$ si $x \in [α; β]$ (partie A, questions 2. b) et c)).

Ainsi $|f_{2} (x) - x| \geq 0,05$ si $x$ est compris entre 0,09 et 0,85. En allant de 0,09 à 0,85 avec un pas de 0,01, il y a donc 77 valeurs possibles.

Le résultat affiché par cet algorithme sera donc $c = 77$ .

partie c

▶ 1. a) Calculer une aire

$f_{3}$ est une fonction de retouche donc $f_{3}$ est continue sur $[0; 1]$ .

De plus $f_{3} (0) = 0$ et $f_{3}$ est croissante sur $[0; 1]$ : la fonction $f_{3}$ est donc positive sur $[0; 1]$ .

L'aire $A_{f_{3}}$ (en unités d'aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $f_{3}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est donc donnée par :

à noter

Une primitive sur $[0; 1]$ de $x \mapsto u^{'} (x) e^{u (x)}$ est $x \mapsto e^{u (x)}$ . Or $f_{3} (x) = x e^{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} \times (2 x) e^{x^{2} - 1}$ .

$\begin{matrix} A_{f_{3}} = \int_{0}^{1} f_{3} (x) d x = {[\frac{1}{2} e^{x^{2} - 1}]}_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 1} \\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 e} u . a . \end{matrix}$ ( $A_{f_{3}} \approx 0,32 u . a .$ )

▶ b) Calculer une aire

$f_{4}$ est une fonction de retouche donc $f_{4}$ est continue sur $[0; 1]$ .

De plus $f_{4} (0) = 0$ et $f_{4}$ est croissante sur $[0; 1]$ : la fonction $f_{4}$ est donc positive sur $[0; 1]$ .

L'aire $A_{f_{4}}$ (en unités d'aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $f_{4}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est donc donnée par :

à noter

Si $u (x) = x + 4$ , alors $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $[0; 1]$ et une primitive de $x \mapsto \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$ est $x \mapsto ln(u (x)) .$

$\begin{matrix} A_{f_{4}} = \int_{0}^{1} f_{4} (x) d x \\ = {[2 x^{2} - 15 x + 60 \ln (x + 4)]}_{0}^{1} \\ = - 13 + 60 \ln 5 - 60 \ln 4 \\ = 60 l n (1,25) - 13 u . a . \end{matrix}$

( $A_{f_{4}} \approx 0,39 u . a .$ )

▶ 2. Comparer deux aires

Comme $A_{f_{3}} A_{f_{4}}$ , on en déduit que, entre les fonctions $f_{3}$ et $f_{4}$ , c'est $f_{3}$ qui a pour effet d'éclaircir le plus l'image.

Retoucher une image

Partie A

Partie B

Partie C

Les clés du sujet

Partie C

partie a

▶ 1. a) Justifier qu'une fonction est une fonction de retouche

b) Résoudre graphiquement une inéquation

▶ 2. a) Dériver une fonction

à noter

b) Étudier les variations d'une fonction pour rechercher un extremum

à noter

c) Dénombrer les solutions d'une équation

partie b

▶ 1. Déterminer le rôle d'un algorithme

▶ 2. Déterminer l'affichage final dans un algorithme

partie c

▶ 1. a) Calculer une aire

à noter

▶ b) Calculer une aire

à noter

▶ 2. Comparer deux aires

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