Annale corrigée Exercice

Retoucher une image

Fonctions de référence

Retoucher une image

1 h 20

7 points

Intérêt du sujet  Cet exercice fait intervenir de nombreux outils de l'analyse : dérivation, continuité, fonctions logarithme népérien et exponentielle, calcul intégral, pour étudier des fonctions de retouche que l'on trouve dans les logiciels de traitement de l'image.

Les parties A et B sont indépendantes.

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante :

= 0 pour le blanc ;

= 1 pour le noir ;

x = 0,01 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu'à = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).

L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.

Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».

Une fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatre propriétés suivantes :

f (0) = 0 ;

f (1) = 1 ;

f est continue sur l'intervalle [0 ; 1] ;

f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f(x)>x, et éclaircie si f(x)x.

Ainsi, si f (x) = x2, un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,22 = 0,04.

L'image A sera transformée en l'image B ci-après.

Si f(x)=x, la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée 0,20,45.

L'image A sera transformée en l'image C ci-après.

matT_1406_01_00C_14

Partie A

1. On considère la fonction f1 définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :

f1(x) = 4x3 − 6x2 + 3x.

a) Démontrer que la fonction f1 est une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement l'inéquation f1(x)x, à l'aide du graphique ci-dessous en faisant apparaître les pointillés utiles.

Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.

Courbe représentative de la fonction f1

matT_1406_01_00C_03

2. On considère la fonction f2 définie sur l'intervalle [0 ; 1] par :

f2(x) = ln(1 + (e − 1)x).

On admet que f2 est une fonction de retouche.

On définit sur l'intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) = f2(x) x.

a) Établir que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 1], g(x)=(e2)(e1)x1+(e1)x.

b) Déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1].

Démontrer que la fonction g admet un maximum en e2e1, maximum dont une valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Établir que l'équation g(x) = 0,05 admet sur l'intervalle [0 ; 1] deux solutions α et β, avec αβ.

On admettra que 0,08α0,09 et que 0,85β0,86.

Partie B

On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

1. Dans l'algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.

Quel est le rôle de cet algorithme ?

Tableau de 4 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : VariablesInitialisationTraitement; x (nuance initiale)y (nuance retouchée)E (écart)c (compteur)kc prend la valeur 0Pour k allant de 0 à 100; Ligne 2 : ; ; x prend la valeur k100y prend la valeur f (x)E prend la valeur y−x; Ligne 3 : ; ; ; Si E≥0,05 c prend la valeur c + 1Fin si; Ligne 4 : Sortie; Fin pourAfficher c;

2. Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction f2 définie dans la deuxième question de la partie A ?

Partie C

Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche f dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-à-dire telles que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1], f(x)x.

matT_1406_01_00C_01

On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire Af de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f et les droites d'équations respectives = 0 et x = 1.

Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire.

On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu'elles sont des fonctions de retouche :

f3(x)=xe(x21) et f4(x)=4x15+60x+4.

1. a) Calculer Af3.

b) Calculer Af4.

2. De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ?

Les clés du sujet

Partie C

1. a) et b) Pensez à vérifier la positivité et la continuité des fonctions utilisées avant de passer au calcul intégral.

partie a

1. a) Justifier qu'une fonction est une fonction de retouche

f1(0)=4×036×02+3×0=0.

f1(1)=4×136×1+3×1=46+3=1.

f1 est une fonction polynôme donc f1 est continue sur [0;1].

f1 est une fonction polynôme donc f1 est dérivable sur [0;1].

Pour tout réel x[0;1] :

f1(x)=4×3x26×2x+3=12x212x+3=3(4x24x+1)=3×(2x1)20.

La fonction f1 est donc croissante sur [0;1].

En résumé, la fonction f1 est une fonction de retouche.

b) Résoudre graphiquement une inéquation

On cherche les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f1 qui sont situés en dessous ou sur la droite d'équation y=x. À l'aide du graphique, l'ensemble solution semble être l'intervalle [0,5;1].

matT_1406_01_00C_12

Si l'on considère une nuance codée x dans l'intervalle [0,5;1], elle sera laissée à l'identique ou éclaircie si l'on a recours à la fonction f1 puisque f1(x)x pour x[0,5;1].

2. a) Dériver une fonction

La fonction x1+e1x est une fonction affine donc elle est dérivable sur [0;1]. Cette fonction est aussi strictement positive sur [0;1].

La fonction xln x est dérivable sur ]0;+[. En composant les deux fonctions précédentes, on obtient donc une fonction dérivable sur [0;1], qui n'est autre que la fonction f2. Par différence de fonctions dérivables sur [0;1], la fonction g est alors dérivable sur [0;1].

Pour tout x[0;1] :

à noter

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors pour tout xI,(ln)(u(x))=u(x)u(x).

 

g'(x)=e11+(e1)x1=e11+(e1)x1+(e1)x1+(e1)x=(e2)(e1)x1+(e1)x.

b) Étudier les variations d'une fonction pour rechercher un extremum

Pour tout réel x de l'intervalle [0;1], 1+e1x>0. Le signe de g(x) est donc celui de (e2)(e1)x.

à noter

e1>0 donc le sens de l'inégalité ne change pas.

 

(e2)(e1)x>0(e2)>(e1)xe2e1>x.

On en déduit ainsi le tableau de variations de g sur [0;1].

matT_1406_01_00C_13

f2 est une fonction de retouche donc f2(0)=0 et, par suite, g(0)=f2(0)0=0.

De plus f2(1)=1 et, par suite, g(1)=f2(1)1=0.

ge2e1=f2e2e1e2e1=ln1+(e1)×e2e1e2e1=ln1+e2e2e1.

Ainsi ge2e1=lne1e2e10,12.

La fonction g admet donc un maximum en e2e1, maximum dont la valeur arrondie au centième est 0,12.

c) Dénombrer les solutions d'une équation

D'après le tableau de variations précédent, la fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle 0;e2e1.

De plus, g(0)=0 et ge2e10,12. Le nombre 0,05 est bien compris entre g(0) et ge2e1.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0,05 admet une unique solution α0;e2e1.

D'après le tableau de variations précédent, la fonction g est continue et strictement décroissante sur l'intervalle e2e1;1.

De plus, ge2e10,12 et g(1)=0. Le nombre 0,05 est bien compris entre g(1) et ge2e1.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) =0,05 admet une unique solution βe2e1;1.

Remarque. On a évidemment, au vu des raisonnements ci-dessus, αβ.

partie b

1. Déterminer le rôle d'un algorithme

Cet algorithme permet de déterminer le nombre de nuances (dit autrement, le nombre de valeurs de x de l'intervalle [0;1], en utilisant un pas de 0,01) pour lesquelles une modification de nuance est perceptible (E0,05).

2. Déterminer l'affichage final dans un algorithme

f2(x)x=g(x)=g(x) et g(x)0,05 si x[α;β] (partie A, questions 2. b) et c)).

Ainsi f2(x)x0,05 si x est compris entre 0,09 et 0,85. En allant de 0,09 à 0,85 avec un pas de 0,01, il y a donc 77 valeurs possibles.

Le résultat affiché par cet algorithme sera donc c=77.

partie c

1. a) Calculer une aire

f3 est une fonction de retouche donc f3 est continue sur [0;1].

De plus f3(0)=0  et f3 est croissante sur [0;1] : la fonction f3 est donc positive sur [0;1].

L'aire Af3 (en unités d'aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f3, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1 est donc donnée par :

à noter

Une primitive sur [0;1] de xu(x)eu(x) est xeu(x). Or f3(x)=xex21=12×(2x)ex21.

 

Af3=01f3(x)dx=12ex2101=1212e1=1212eu.a. (Af30,32u.a.)

b) Calculer une aire

f4 est une fonction de retouche donc f4 est continue sur [0;1].

De plus f4(0)=0 et f4 est croissante sur [0;1] : la fonction f4 est donc positive sur [0;1].

L'aire Af4 (en unités d'aire) de la portion de plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f4, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1 est donc donnée par :

à noter

Si u(x)=x+4, alors u est une fonction dérivable et strictement positive sur [0;1] et une primitive de xu(x)u(x) est xln(u(x)).

 

Af4=01f4(x)dx=2x215x+60ln(x+4)01=13+60ln560ln4=60ln(1,25)13 u.a.

(Af40,39u.a.)

2. Comparer deux aires

Comme Af3Af4, on en déduit que, entre les fonctions f3 et f4, c'est f3 qui a pour effet d'éclaircir le plus l'image.

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