▶ 1. Préciser des probabilités

D’après l’énoncé, $\boxed{P(\text{Q})=\mathrm{0,917}}$ (91,7 % des étudiants ont répondu « oui » à la question) et $\boxed{P_{\overline{\text{R}}}(\overline{\text{Q}})=\mathrm{0,65}}$ (65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non »).

▶ 2. a) Compléter un arbre pondéré

b) Calculer la probabilité d’un événement

R et $\overline{\text{R}}$ forment une partition de l’univers.

D’après la formule des probabilités totales, $P(\text{Q})=P(\text{R}\cap \text{Q})+P(\overline{\text{R}}\cap \text{Q})$.

D’après l’arbre, $P(\text{Q})=\mathrm{0,98}x+\mathrm{0,35}(1-x)$, soit :

$P(\text{Q})=\mathrm{0,63}x+\mathrm{0,35}$.

On résout l’équation 0,63x + 0,35 = 0,917, on a $x=\frac{\mathrm{0,917}-\mathrm{0,35}}{\mathrm{0,63}}$.

On a bien $\boxed{x=\mathrm{0,9}}$.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est P_Q(R).

Par définition d’une probabilité conditionnelle, $P_{\text{Q}}(\text{R})=\frac{P(\text{R}\cap \text{Q})}{P(\text{Q})}$.

Soit $P_{\text{Q}}\text{(R)}=\frac{\text{0,9}\times \text{0,98}}{\mathrm{0,917}}$, d’où P_Q(R) ≈ 0,962 à ${10}^{-3}$ près.

La probabilité qu’un étudiant qui a répondu « oui » ait réussi l’examen est environ 0,962 à ${10}^{-3}$ près.

▶ 4. Déterminer la valeur minimale d’un entier vérifiant une condition donnée

On cherche la plus petite valeur de l’entier n tel que $P(N\ge n)\ge \mathrm{0,65}$.

D’après la calculatrice :

$P(N\ge 12)\approx \mathrm{0,649}<\mathrm{0,65}$ et $P(N\ge 11)\approx \mathrm{0,797}>\mathrm{0,65}$.

Donc si la directrice souhaite qu’au moins 65 % des étudiants soient récompensés, elle doit attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu une note supérieure ou égale à 11.

▶ 5. Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire

Les variables aléatoires N₁, N₂, …, N₁₀ suivent la même loi (celle de N) et sont indépendantes.

$E(S)=10\times E(N)$ ; or $E(N)=20\times \mathrm{0,615}=\mathrm{12,3}$, d’où :

$E(S)=10\times \mathrm{12,3}$ et donc $\boxed{E(S)=123}$.

De même, $V(S)=10\times V(N)$ à cause de l’indépendance de N₁, …, N₁₀.

$V(N)=20\times \mathrm{0,615}\times (1-\mathrm{0,615})=\mathrm{4,7355}$, d’où $V(S)=10\times \mathrm{4,7355}$ et

$\boxed{V(S)=\mathrm{47,355}}$.

▶ 6. a) Interpréter la définition d’une variable aléatoire

Dans le contexte de l’exercice, la variable aléatoire M modélise la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard.

b) Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire

D’après le cours, $E(M)=\frac{1}{10}E(S)$ et $V(M)=\frac{1}{100}V(S)$, soit :

$\boxed{E(M)=\mathrm{12,3}}$ et $\boxed{V(M)=\mathrm{0,47355}}$.

c) Minorer une probabilité à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On cherche à minorer la probabilité $P(\mathrm{10,3}<M<\mathrm{14,3})$. Or : 10,3 < M < 14,3 ⇔ 10,3 - 12,3 < M - 12,3 < 14,3 - 12,3

10,3 < M < 14,3 ⇔ - 2 < M - E(M) < 2

$\mathrm{10,3}<M<\mathrm{14,3}\iff \left|M-E(M)\right|<2$.

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P(\left|M-E(M)\right|\ge 2)\le \frac{V(M)}{4}$, soit $P(\left|M-E(M)\right|\ge 2)\le \frac{\mathrm{0,47355}}{4}$.

Les événements $\left\{\left|M-E(M)\right|\ge 2\right\}$ et $\left\{\left|M-E(M)\right|<2\right\}$ sont complémentaires, donc $P(\left|M-E(M)\right|<2)=1-P(\left|M-E(M)\right|\ge 2)$.

Donc $P(\left|M-E(M)\right|<2)\ge 1-\frac{\mathrm{0,47355}}{4}$.

Or $1-\frac{\mathrm{0,47355}}{4}\approx \mathrm{0,882}>\mathrm{0,8}$, donc $P(\left|M-E(M)\right|<2)\ge \mathrm{0,8}$, c’est-à-dire $P(\mathrm{10,3}<M<\mathrm{14,3})\ge \mathrm{0,8}$.

La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est donc bien d’au moins 80 %.