Annale corrigée Exercice Ancien programme

Secrétariat d'une entreprise

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 1 • 5 points • 50 min

Secrétariat d'une entreprise

Les thèmes clés

Lois normales • Probabilités conditionnelles • Intervalle de fluctuation

 

partie a

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l'année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ = 2 900 euros et d'écart type σ = 1 250 euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l'entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros ?

2. Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, l'entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimal d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l'euro près.

partie B

Ce même entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam. Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam ». Le fabricant affirme que 95 % des spams sont déplacés. De son côté, l'entrepreneur sait que 60 % des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que 58,6 % des messages sont déplacés dans le dossier spam.

Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

D : « le message est déplacé » 

S : « le message est un spam ».

1. Calculer P(S D).

2. On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit déplacé est égale à 0,04.

3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?

4. Pour le logiciel choisi par l'entreprise, le fabricant estime que 2,7 % des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l'efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine. Ces résultats remettent-ils en cause l'affirmation du fabricant ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Traduisez, à l'aide de la variable aléatoire X, l'énoncé par une équation d'inconnue a, a représentant le montant minimum d'un devis pour que celui-ci soit pris en compte par l'entrepreneur. Résolvez ensuite cette équation dans .

Partie B

4. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d'utilisation.

Corrigé

Partie A

1. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité à calculer s'exprime à l'aide de la variable aléatoire X de la manière suivante : P(X > 4 000). Par définition et par symétrie de la densité associée à la loi normale considérée, on a : P(X>4000)en vert sur le graphique=0,5P(2900X4000)en jaune sur le graphique.

matT_1706_02_01C_04bis

À l'aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_02_01C_05

matT_1706_02_01C_06

La probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros est environ 0,189.

2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale  E40d • E40e 

notez bien !

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(b, μ, σ) où b = 0,1  μ = 2 900 et σ = 1 250.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(b, σ, μ) où b = 0,1  μ = 2 900 et σ = 1 250.

On note a le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte par l'entrepreneur. Tous les montants inférieurs à a ne sont ainsi pas pris en compte et ces derniers devraient représenter 10 % des demandes. Cela se traduit à l'aide de la variable aléatoire X par P(Xa)=0,1. Comme X est une variable aléatoire continue, cela est équivalent à P(Xa)=0,1. Résolvons cette équation d'inconnue a dans à l'aide de la calculatrice :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_02_01C_07

matT_1706_02_01C_08

Ainsi, on a : a 1 298.

Le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte par l'entrepreneur, à l'euro près, est 1 298 euros.

Partie B

1. Calculer une probabilité  E35 • E37 

D'après l'énoncé, 95 % des spams sont déplacés et 60 % des messages reçus sont des spams. Ainsi, on a : PS(D)=0,95 et P(S)=0,60. Comme, par définition, PS(D)=P(SD)P(S), on a :

P(SD)=P(S)×PS(D)=0,6×0,95=0,57.

La probabilité P(SD) est donc égale à 0,57.

2. Déterminer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que, sachant que le message choisi au hasard n'est pas un spam, ce message soit déplacé. Cette probabilité se note : P S¯(D). L'événement S¯ étant l'événement contraire de l'événement S, on a :

P( S¯)=1P(S)=10,6=0,40.

retenez bien !

Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l'événement A et l'événement B.

Par définition, on a alors : P S¯(D)=P( S¯D)P( S¯)=P( S¯D)0,4.

Un message déplacé est un spam ou il ne l'est pas. L'événement D est ainsi associé aux événements S D et S¯D.

Les événements S D et S¯D étant incompatibles, on a :

P(D)=P(SD)+P( S¯D).

Or, d'après la question précédente P(SD)=0,57 et d'après l'énoncé P(D)=0,586.

Il en découle que : 0,586=0,57+P( S¯D) et donc P( S¯D)=0,5860,57=0,016.

On en conclut que : P S¯(D)=P( S¯D)0,4=0,0160,4=0,04.

Si un message choisi au hasard n'est pas un spam, alors la probabilité qu'il soit déplacé est égale à 0,04.

3. Déterminer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que, sachant que le message choisi au hasard n'est pas déplacé, ce message soit un spam. Cette probabilité se note : P D¯(S). L'événement D¯ étant l'événement contraire de l'événement D on a :

P( D¯)=1P(D)=10,586=0,4140.

Par définition, on a alors : P D¯(S)=P( D¯S)P( D¯)=P( D¯S)0,414.

Un spam est déplacé ou il ne l'est pas. L'événement S est ainsi associé aux événements incompatibles S D et S D¯ et on a :

P(S)=P(SD)+P(S D¯).

Or, d'après les questions précédentes P(SD)=0,57 et P(S)=0,6.

Il en découle que : P(S D¯)=0,60,57=0,03.

On en conclut que : P D¯(S)=P( D¯S)0,414=0,030,4140,072.

Si un message choisi au hasard n'est pas déplacé, alors la probabilité qu'il soit un spam est environ égale à 0,072.

4. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation  E43 

D'après le fabricant, la proportion p de messages fiables déplacés vers le dossier spam est de 0,027. Le secrétariat a constaté que 231 messages ont été déplacés pendant une semaine : la taille de l'échantillon considéré ici est n = 231.

Comme n = 231  30, n × p = 231 × 0,027 = 6,237  5 et n×(1p)=231×0,973=224,7635, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de messages déplacés qui sont des messages fiables dans un échantillon de taille 231 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n p+1,96p×(1p)n]=[0,0271,960,027×0,9732310,027+1,960,027×0,973231][0,0060,048].

La fréquence de messages déplacés qui sont des messages fiables dans l'échantillon considéré par le secrétariat est égale à f=132310,056.

Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'affirmation du fabricant avec un risque de 5 % de se tromper.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner