Annale corrigée Exercice

Section d'un cube par un plan

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Section d'un cube par un plan

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Définissez un repère orthonormé dans un cube afin de déterminer une équation cartésienne d'un plan et une équation paramétrique d'une droite. Après avoir calculé un point d'intersection, construisez petit à petit la section du cube par le plan.

 

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Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre Ω et d'arête de longueur 6.

Les points P, Q et R sont définis par :

AP=13AB, AQ=13AE et HR=13HE.

Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé (A ; i, j, k) avec :

i=16AB, j=16AD et k=16AE.

Dans ce repère, on a par exemple :

B(6 ; 0 ; 0), F(6 ; 0 ; 6) et R(0 ; 4 ; 6).

1. a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et Ω.

b) Déterminer les nombres réels b et c tels que n(1 ; ; c) soit un vecteur normal au plan (PQR).

c) En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : xyz − 2 = 0.

2. a) On note Δ la droite orthogonale au plan (PQR) passant par le point Ω, centre du cube.

Donner une représentation paramétrique de la droite Δ.

b) En déduire que la droite Δ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées 83 ; 103 ; 83.

c) Calculer la distance ΩI.

3. On considère les points J(6 ; 4 ; 0) et K(6 ; 6 ; 2).

a) Justifier que le point J appartient au plan (PQR).

b) Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.

c) Sur la figure ci-dessous, tracer la section du cube par le plan (PQR).

On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.

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Les clés du sujet

1. b) N'oubliez pas qu'un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

3. c) Pensez à exploiter le fait que, si deux plans sont parallèles, alors tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

1. a) Donner des coordonnées de points par lecture graphique

Les points P, Q et Ω ont pour coordonnées respectives P(; 0 ; 0), Q(; 0 ; 2) et Ω(; 3 ; 3).

b) Déterminer des coordonnées d'un vecteur normal à un plan

Pour que n soit normal au plan (PQR), il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR). Or les vecteurs PQ et PR sont deux vecteurs directeurs du plan (PQR).

PQxQxP=02=2yQyP=00=0zQzP=20=2et PRxRxP=02=2yRyP=40=4zRzP=60=6.

nPQ=0xnxPQ+ynyPQ+znzPQ=01×(2)+b×0+c×2=0c=1.

nPR=0xnxPR+ynyPR+znzPR=0

1×(2)+b×4+c×6=01×(2)+b×4+1×6=0b=1.

On en conclut que le vecteur n(; ; 1) est normal au plan (PQR).

c) Déterminer une équation cartésienne de plan

n(; ; 1) est un vecteur normal au plan (PQR).

Par conséquent, une équation cartésienne de (PQR) est x - yzd = 0 où d est un réel à déterminer.

Puisque le point P appartient au plan (PQR), il vient :

xP - yPzPd = 0 ⇔ 2 - 0 + 0 + d = 0 ⇔ d = - 2.

Une équation cartésienne de (PQR) est donc xy+z2=0.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de droite

Le vecteur n(; ; 1), normal au plan (PQR), est un vecteur directeur de la droite ∆, puisque cette dernière est orthogonale au plan (PQR).

Comme le point Ω(3 ; 3 ; 3) appartient à ∆, une représentation paramétrique de ∆ est :

x=xΩ+xn×t=3+1×t=3+ty=yΩ+yn×t=31×t=3tz=zΩ+zn×t=3+1×t=3+t, t.

Une représentation paramétrique de la droite est donc :

x=3+ty=3tz=3+t, t.

b) Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

La droite ∆ est orthogonale au plan (PQR) donc la droite ∆ et le plan (PQR) sont sécants en un point dont les coordonnées sont à déterminer.

Soit I83 ; 103 ; 83.

Nous avons xIyI+zI2=83103+832=0 donc I(PQR).

Ensuite : xI=3+tyI=3tzI=3+t83=3+t103=3t83=3+t13=t13=t13=t13=t. Nous constatons que les coordonnées de I vérifient les équations de la représentation paramétrique de la droite ∆, en prenant pour valeur du paramètre t la valeur 13 ; par conséquent I ∈∆.

Finalement, la droite coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées 83 ; 103 ; 83.

c) Calculer une longueur

Nous avons :

ΩIxIxΩ=833=13yIyΩ=1033=13zIzΩ=833=13

Ainsi : ΩI=ΩI=132+132+132=39=33.

3. a) Justifier qu'un point appartient à un plan

Nous avons : xJ - yJzJ - 2 = 6 - 4 + 0 - 2 = 0 donc J(PQR).

b) Vérifier que des droites sont parallèles

Nous avons JKxKxJ=66=0yKyJ=64=2zKzJ=20=2 et QRxRxQ=00=0yRyQ=40=4zRzQ=62=4.

Nous pouvons constater que QR=2JK. Les vecteurs QR et JK sont donc colinéaires. Nous pouvons en déduire que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.

c) Tracer la section d'un cube par un plan

On trace les segments [PQ] et [QR].

On place les points J et K et on trace le segment [JK].

On trace le segment [PJ].

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles et coupés par le plan (PQR). Les intersections des plans (ABC) et (EFG) avec le plan (PQR) sont donc des droites parallèles.

On trace la parallèle à [PJ] passant par R.

Elle coupe [HG] en un point que nous appellerons L.

On trace le segment [LK].

La section du cube par le plan (PQR) est l'hexagone PQRLKJ.

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