▶ 1. a) Donner des coordonnées de points par lecture graphique

Les points P, Q et Ω ont pour coordonnées respectives $\text{P}(\text{2 };\text{ 0 };\text{ 0})$, $\text{Q}(\text{0 };\text{ 0 };\text{ 2})$ et $\text{Ω}(\text{3 };\text{ 3 };\text{ 3)}$.

b) Déterminer des coordonnées d'un vecteur normal à un plan

Pour que $\overrightarrow{n}$ soit normal au plan (PQR), il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR). Or les vecteurs $\overrightarrow{\text{PQ}}$ et $\overrightarrow{\text{PR}}$ sont deux vecteurs directeurs du plan (PQR).

$\overrightarrow{\text{PQ}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{Q}}-x_{\text{P}}=0-2=-2\\ y_{\text{Q}}-y_{\text{P}}=0-0=0\\ z_{\text{Q}}-z_{\text{P}}=2-0=2\end{array}\right.\text{et }\overrightarrow{\text{PR}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{R}}-x_{\text{P}}=0-2=-2\\ y_{\text{R}}-y_{\text{P}}=4-0=4\\ z_{\text{R}}-z_{\text{P}}=6-0=6\end{array}\right.$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{PQ}}=0\iff x_{\overrightarrow{n}}\cdot x_{\overrightarrow{\text{PQ}}}+y_{\overrightarrow{n}}\cdot y_{\overrightarrow{\text{PQ}}}+z_{\overrightarrow{n}}\cdot z_{\overrightarrow{\text{PQ}}}=0\\ \iff 1\times (-2)+b\times 0+c\times 2=0\iff c=1.\end{array}$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{PR}}=0\iff x_{\overrightarrow{n}}\cdot x_{\overrightarrow{\text{PR}}}+y_{\overrightarrow{n}}\cdot y_{\overrightarrow{\text{PR}}}+z_{\overrightarrow{n}}\cdot z_{\overrightarrow{\text{PR}}}=0$

$\iff 1\times (-2)+b\times 4+c\times 6=0\iff 1\times (-2)+b\times 4+1\times 6=0\iff b=-1.$

On en conclut que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{1 }; -\text{1 };\text{ 1})$ est normal au plan $(\text{PQR}).$

c) Déterminer une équation cartésienne de plan

$\overrightarrow{n}(\text{1 }; -\text{1 };\text{ 1})$ est un vecteur normal au plan (PQR).

Par conséquent, une équation cartésienne de (PQR) est x - y + z + d = 0 où d est un réel à déterminer.

Puisque le point P appartient au plan (PQR), il vient :

x_P - y_P + z_P + d = 0 ⇔ 2 - 0 + 0 + d = 0 ⇔ d = - 2.

Une équation cartésienne de $(\text{PQR})$ est donc $x-y+z-2=0.$

▶ 2. a) Déterminer une représentation paramétrique de droite

Le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{1 }; -\text{1 };\text{ 1})$, normal au plan (PQR), est un vecteur directeur de la droite ∆, puisque cette dernière est orthogonale au plan (PQR).

Comme le point Ω(3 ; 3 ; 3) appartient à ∆, une représentation paramétrique de ∆ est :

$\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{Ω}}+x_{\overrightarrow{n}}\times t=3+1\times t=3+t\\ y=y_{\text{Ω}}+y_{\overrightarrow{n}}\times t=3-1\times t=3-t\\ z=z_{\text{Ω}}+z_{\overrightarrow{n}}\times t=3+1\times t=3+t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.$

Une représentation paramétrique de la droite $∆$ est donc :

$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=3-t\\ z=3+t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.$

b) Déterminer le point d'intersection d'une droite et d'un plan

La droite ∆ est orthogonale au plan (PQR) donc la droite ∆ et le plan (PQR) sont sécants en un point dont les coordonnées sont à déterminer.

Soit $\text{I}\left(\frac{8}{3};\frac{10}{3};\frac{8}{3}\right)$.

Nous avons $x_{\text{I}}-y_{\text{I}}+z_{\text{I}}-2=\frac{8}{3}-\frac{10}{3}+\frac{8}{3}-2=0$ donc $\text{I}\in (\text{PQR})$.

Ensuite : $\left\{\begin{array}{l}{x}_{\text{I}}=3+t\\ y_{\text{I}}=3-t\\ z_{\text{I}}=3+t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{8}{3}=3+t\\ \frac{10}{3}=3-t\\ \frac{8}{3}=3+t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}=t\\ -\frac{1}{3}=t\\ -\frac{1}{3}=t\end{array}\right.\iff -\frac{1}{3}=t$. Nous constatons que les coordonnées de I vérifient les équations de la représentation paramétrique de la droite ∆, en prenant pour valeur du paramètre t la valeur $-\frac{1}{3}$ ; par conséquent I ∈∆.

Finalement, la droite ∆ coupe le plan $(\text{PQR})$ au point $\text{I}$ de coordonnées $\left(\frac{8}{3} ; \frac{10}{3} ; \frac{8}{3}\right)$.

c) Calculer une longueur

Nous avons :

$\overrightarrow{\text{Ω}\text{I}}\left|\begin{array}{c}{x}_{\text{I}}-x_{\text{Ω}}=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}\\ y_{\text{I}}-y_{\text{Ω}}=\frac{10}{3}-3=\frac{1}{3}\\ z_{\text{I}}-z_{\text{Ω}}=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Ainsi : $\text{Ω}\text{I}=||\overrightarrow{\text{Ω}\text{I}}||=\sqrt[]{{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt[]{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}$.

▶ 3. a) Justifier qu'un point appartient à un plan

Nous avons : x_J - y_J + z_J - 2 = 6 - 4 + 0 - 2 = 0 donc $\text{J}\in (\text{PQR})$.

b) Vérifier que des droites sont parallèles

Nous avons $\overrightarrow{\text{JK}}\left|\begin{array}{c}{x}_{\text{K}}-x_{\text{J}}=6-6=0\\ y_{\text{K}}-y_{\text{J}}=6-4=2\\ z_{\text{K}}-z_{\text{J}}=2-0=2\end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{QR}}\left|\begin{array}{c}{x}_{\text{R}}-x_{\text{Q}}=0-0=0\\ y_{\text{R}}-y_{\text{Q}}=4-0=4\\ z_{\text{R}}-z_{\text{Q}}=6-2=4\end{array}\right.$.

Nous pouvons constater que $\overrightarrow{\text{QR}}=2\overrightarrow{\text{JK}}$. Les vecteurs $\overrightarrow{\text{QR}}$ et $\overrightarrow{\text{JK}}$ sont donc colinéaires. Nous pouvons en déduire que les droites $(\text{JK})$ et $(\text{QR})$ sont parallèles.

c) Tracer la section d'un cube par un plan

On trace les segments [PQ] et [QR].

On place les points J et K et on trace le segment [JK].

On trace le segment [PJ].

Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles et coupés par le plan (PQR). Les intersections des plans (ABC) et (EFG) avec le plan (PQR) sont donc des droites parallèles.

On trace la parallèle à [PJ] passant par R.

Elle coupe [HG] en un point que nous appellerons L.

On trace le segment [LK].

La section du cube par le plan $(\text{PQR})$ est l'hexagone $\text{PQRLKJ}$.