Section d’un octaèdre par un plan

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2016

Exercice 1 • 4 points

Section d’un octaèdre par un plan

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB,AD,AK).

matT_1605_09_01C_01

1. a) Montrer que IE=22.

En déduire les coordonnées des points I, E et F.

b) Montrer que le vecteur n(022) est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).

2. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

a) Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection des plans (EMN) et (FDC).

c) Construire sur la figure ci-dessus la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Positions relatives  E24c • E25  2. a) et b)

Vecteur normal à un plan  E33a  1. b)

Repérage  E29  1. a)

Produit scalaire  E31c  1. b) et 2. a)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c  1. c)

Nos coups de pouce

1. a) Justifiez que (EI) est une hauteur du triangle EAC et appliquez ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle EIA.

2. a) Démontrez que le plan (ABE) contient deux droites sécantes qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan (FDC) ou alors démontrez que n est normal au plan (FDC).

Corrigé

Corrigé

1. a) Déterminer des coordonnées de points

Dans le triangle ABC rectangle en B (ABCD est un carré), d’après le théorème de Pythagore : AC2=AB2+BC2=12+12=2 et AC=2.

Toutes les arêtes du solide ADECBF sont de longueur 1 donc EA = EC. Le triangle EAC est donc isocèle en E. I est le centre du carré ABCD donc I est le milieu de [AC].

La droite (EI) est ainsi une médiane dans le triangle EAC isocèle en E, c’est donc aussi une hauteur. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à (AC) en I.

Dans le triangle EIA rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore :

AE2=AI2+IE2=(12AC)2+IE2.

Donc IE2=AE214AC2=1214×2=12.

Par conséquent, IE=12=22.

Notez bien

Si ABCD est un parallélogramme alors AC=AB+AD (règle du parallélogramme).

AI=12ACI milieu de [AC]=12(AB+AD)=12AB+12AD=12AB+12AD+0AK.

Nous avons donc I(0,5 ; 0,5 ; 0).

Nous avons vu que (EI) est perpendiculaire à (AC) en I. Nous pouvons démontrer de manière similaire que (EI) est perpendiculaire à (BD) en I. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (ABC). La droite (EI) est donc orthogonale au plan (ABC) et le vecteur IE est colinéaire au vecteur AK. Remarquons que IE et AK sont de même sens donc IE=IE×AK.

AE=AI+IE=12AB+12AD+IE×AK=12AB+12AD+22AK.

Nous avons donc E(0,5;0,5;22).

Les deux pyramides qui forment le solide ADECBF sont identiques donc IE=IF=22. Nous pouvons démontrer comme précédemment que la droite (FI) est orthogonale au plan (ABC). Ainsi le vecteur IF est colinéaire au vecteur AK et, en remarquant que IF et AK sont de sens opposé, nous avons IF=IE×AK.

AF=AI+IF=12AB+12ADIE×AK=12AB+12AD22AK

Nous avons donc F(0,5;0,5;22).

b) Identifier un vecteur normal à un plan

Le point A étant l’origine du repère, nous avons directement AB(1;0;0) et AE(0,5;0,5;22).

Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

nAB=0×12×0+2×0=0 donc nAB.

nAE=0×0,52×0,5+2×22=0 donc nAE.

n est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABE) donc n est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

n est normal au plan (ABE) donc une équation cartésienne de (ABE) est 0x2y+z2+d=0d est un réel à déterminer.

A(ABE) donc 2yA+zA2+d=0 or yA=zA=0 donc d = 0.

Une équation cartésienne de (ABE) est donc 2y+z2=0.

2. a) Démontrer que deux plans sont parallèles

Méthode géométrique

ABCD est un carré donc (AB) et (CD) sont parallèles.

Notez bien

Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

I est le milieu de [EF] car IF=IE. I est aussi le milieu de [BD] car I est le centre du carré ABCD. Ainsi [EF] et [BD] se coupent en leur milieu donc EBFD est un parallélogramme et (EB) est parallèle à (FD).

Le plan (ABE) contient deux droites sécantes (AB) et (EB) qui sont respectivement parallèles à (CD) et (FD) qui sont deux droites sécantes du plan (FDC).

Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

Méthode analytique

DC=ABABCD est un carré=1AB+0AD+0AK donc nous avons DC(1;0;0).

FD=FA+AD=AF+AD=12AB12AD+22×AK+AD=12AB+12AD+22×AK

donc nous avons FD(0,5;0,5;22).

Les coordonnées de DC et FD ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

nDC=0×12×0+2×0=0 donc nDC.

nFD=0×(0,5)2×0,5+2×22=0 donc nFD.

n est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FDC) donc n est normal au plan (FDC).

Nous avons ainsi n qui est normal au plan (FDC) et n qui est normal au plan (ABE) (question 1. b)). Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection de deux plans

D’après l’énoncé, M est le milieu de [DF] donc M(FDC). Nous avons aussi M(EMN). Ainsi M(FDC)(EMN).

Attention !

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

D’après l’énoncé, N est le milieu de [AB] donc N(ABE). Nous avons aussi N(EMN). Ainsi N(ABE)(EMN). Or nous avons aussiE(ABE)(EMN). Par conséquent, l’intersection des plans (ABE) et (EMN) est la droite (NE). (ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

Or (FDC) et (ABE) sont parallèles et M(FDC)(EMN).

L’intersection des plans (FDC) et (EMN) est donc la parallèle à (NE) passant par M.

c) Construire la section d’un solide par un plan

(ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

L’intersection des plans (FDC) et (EMN) est la parallèle à (NE) passant par M. Cette droite coupe (CD) en G. (CDE) et (EMN) sont alors sécants suivant la droite (EG).

matT_1605_09_01C_05

Comme dans la question 2. b), on pourrait démontrer de manière similaire que les plans (EDC) et (ABF) sont parallèles. L’intersection des plans (ABF) et (EMN) est donc la parallèle à (EG) passant par N. Elle coupe [AF] en H. Reste à tracer le segment [HM].

La section du solide ADECBF par le plan (EMN) est donc le polygone NHMGE.