Section d’un octaèdre par un plan

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Mai 2016

Exercice 1 • 4 points

Section d’un octaèdre par un plan

On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (AAB,AD,AK).

matT_1605_09_01C_01

1. a) Montrer que IE=22.

En déduire les coordonnées des points I, E et F.

b) Montrer que le vecteur n(022) est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).

2. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].

a) Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l’intersection des plans (EMN) et (FDC).

c) Construire sur la figure ci-dessus la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Positions relatives  E24c • E25  2. a) et b)

Vecteur normal à un plan  E33a  1. b)

Repérage  E29  1. a)

Produit scalaire  E31c  1. b) et 2. a)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c  1. c)

Nos coups de pouce

1. a) Justifiez que (EI) est une hauteur du triangle EAC et appliquez ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle EIA.

2. a) Démontrez que le plan (ABE) contient deux droites sécantes qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan (FDC) ou alors démontrez que n est normal au plan (FDC).

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