▶ 1. a) Déterminer des coordonnées de points

Dans le triangle ABC rectangle en B (ABCD est un carré), d'après le théorème de Pythagore : ${\text{AC}}^2={\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2=1^2+1^2=2$ et $\text{AC}=\sqrt{2}$.

Toutes les arêtes du solide ADECBF sont de longueur 1 donc EA = EC. Le triangle EAC est donc isocèle en E. I est le centre du carré ABCD donc I est le milieu de [AC]. La droite (EI) est ainsi une médiane dans le triangle EAC isocèle en E, c'est donc aussi une hauteur. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à (AC) en I.

Dans le triangle EIA rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore :

${\text{AE}}^2={\text{AI}}^2+{\text{IE}}^2={\left(\frac{1}{2}\text{AC}\right)}^2+{\text{IE}}^2.$

${\text{Donc IE}}^2={\text{AE}}^{\text{2}}-\frac{1}{4}{\text{AC}}^2=1^2-\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}.$

Par conséquent, $\text{IE}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\begin{array}{c}\underset{\text{I milieu de }[\text{AC}]}{\underbrace{\overrightarrow{\text{AI}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}\\ =\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AK}}.\end{array}$

Nous avons donc I(0,5 ; 0,5 ; 0).

Nous avons vu que (EI) est perpendiculaire à (AC) en I. Nous pouvons démontrer de manière similaire que (EI) est perpendiculaire à (BD) en I. Par conséquent, (EI) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (ABC). La droite (EI) est donc orthogonale au plan (ABC) et le vecteur $\overrightarrow{\text{IE}}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{\text{AK}}$. Remarquons que $\overrightarrow{\text{IE}}$ et $\overrightarrow{\text{AK}}$ sont de même sens donc $\overrightarrow{\text{IE}}=\text{IE}\times \overrightarrow{\text{AK}}$.

$\overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{IE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+\text{IE}\times \overrightarrow{\text{AK}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{AK}}$.

Nous avons donc $\text{E}\left(\mathrm{0,5};\mathrm{0,5};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Les deux pyramides qui forment le solide ADECBF sont identiques donc $\text{IE}=\text{IF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Nous pouvons démontrer comme précédemment que la droite (FI) est orthogonale au plan (ABC). Ainsi le vecteur $\overrightarrow{\text{IF}}$ est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{\text{AK}}$ et, en remarquant que $\overrightarrow{\text{IF}}$ et $\overrightarrow{\text{AK}}$ sont de sens opposé, nous avons $\overrightarrow{\text{IF}}=-\text{IE}\times \overrightarrow{\text{AK}}$.

$\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{IF}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}-\text{IE}\times \overrightarrow{\text{AK}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{\text{AK}}$

Nous avons donc $\text{F}\left(0\text{,5};\mathrm{0,5};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

b) Identifier un vecteur normal à un plan

Le point A étant l'origine du repère, nous avons directement $\overrightarrow{\text{AB}}(1;0;0)$ et $\overrightarrow{\text{AE}}\left(\mathrm{0,5};\mathrm{0,5};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=0\times 1-2\times 0+\sqrt{2}\times 0=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{AB}}$.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}=0\times \mathrm{0,5}-2\times \mathrm{0,5}+\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{AE}}$.

$\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABE) donc $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (ABE).

c) Déterminer une équation cartésienne d'un plan

$\overrightarrow{n}$ est normal au plan (ABE) donc une équation cartésienne de (ABE) est $0x-2y+z\sqrt{2}+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer.

$\text{A}\in (\text{ABE})$ donc $-2y_{\text{A}}+z_{\text{A}}\sqrt{2}+d=0$ or $y_{\text{A}}=z_{\text{A}}=0$ donc d = 0.

Une équation cartésienne de (ABE) est donc $-2y+z\sqrt{2}=0$.

▶ 2. a) Démontrer que deux plans sont parallèles

Méthode géométrique

ABCD est un carré donc (AB) et (CD) sont parallèles.

I est le milieu de [EF] car $\overrightarrow{\text{IF}}=-\overrightarrow{\text{IE}}$. I est aussi le milieu de [BD] car I est le centre du carré ABCD. Ainsi [EF] et [BD] se coupent en leur milieu donc EBFD est un parallélogramme et (EB) est parallèle à (FD).

Le plan (ABE) contient deux droites sécantes (AB) et (EB) qui sont respectivement parallèles à (CD) et (FD) qui sont deux droites sécantes du plan (FDC).

Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

Méthode analytique

$\underset{\text{ABCD est un carré}}{\underbrace{\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{AB}}}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+0\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AK}}$ donc nous avons $\overrightarrow{\text{DC}}(1;0;0)$.

$\begin{array}{c}\overrightarrow{\text{FD}}=\overrightarrow{\text{FA}}+\overrightarrow{\text{AD}}=-\overrightarrow{\text{AF}}+\overrightarrow{\text{AD}}\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \overrightarrow{\text{AK}}+\overrightarrow{\text{AD}}\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \overrightarrow{\text{AK}}\end{array}$

donc nous avons $\overrightarrow{\text{FD}}\left(-\mathrm{0,5};\mathrm{0,5};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{FD}}$ ne sont pas proportionnelles donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{DC}}=0\times 1-2\times 0+\sqrt{2}\times 0=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{DC}}$.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{FD}}=0\times \left(-\mathrm{0,5}\right)-2\times \mathrm{0,5}+\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\text{FD}}$.

$\overrightarrow{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FDC) donc $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (FDC).

Nous avons ainsi $\overrightarrow{n}$ qui est normal au plan (FDC) et $\overrightarrow{n}$ qui est normal au plan (ABE) (question 1. b)). Par conséquent, les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

b) Déterminer l'intersection de deux plans

D'après l'énoncé, M est le milieu de [DF] donc $\text{M}\in (\text{FDC})$. Nous avons aussi $\text{M}\in (\text{EMN})$. Ainsi $\text{M}\in (\text{FDC})\cap (\text{EMN})$.

D'après l'énoncé, N est le milieu de [AB] donc $\text{N}\in (\text{ABE})$. Nous avons aussi $\text{N}\in (\text{EMN})$. Ainsi $\text{N}\in (\text{ABE})\cap (\text{EMN})$. Or nous avons aussi$\text{E}\in (\text{ABE})\cap (\text{EMN})$. Par conséquent, l'intersection des plans (ABE) et (EMN) est la droite (NE). (ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

Or (FDC) et (ABE) sont parallèles et $\text{M}\in (\text{FDC})\cap (\text{EMN})$.

L'intersection des plans (FDC) et (EMN) est donc la parallèle à (NE) passant par M.

c) Construire la section d'un solide par un plan

(ABE) et (EMN) sont sécants suivant la droite (NE).

L'intersection des plans (FDC) et (EMN) est la parallèle à (NE) passant par M. Cette droite coupe (CD) en G. (CDE) et (EMN) sont alors sécants suivant la droite (EG).

Comme dans la question 2. b), on pourrait démontrer de manière similaire que les plans (EDC) et (ABF) sont parallèles. L'intersection des plans (ABF) et (EMN) est donc la parallèle à (EG) passant par N. Elle coupe [AF] en H. Reste à tracer le segment [HM].

La section du solide ADECBF par le plan (EMN) est donc le polygone NHMGE.