Sectionner un cube

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Sectionner un cube

Géométrie dans l’espace

matT_1405_02_06C

Ens. spécifique

23

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Exercice 3 • 4 points

On considère un cube ABCDEFGH donné ci-dessous.

On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que .


 

Partie A : Section du cube par le plan (MNP)

>1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.

Construire le point L.

>2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersection.

On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection.

a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.

b) Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).

>3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

Partie B

L’espace est rapporté au repère .

>1. Donner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère.

>2. Déterminer les coordonnées du point L.

>3. On admet que le point T a pour coordonnées .

Le triangle TPN est-il rectangle en T ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Positions relatives de plans et de droites  E24 Partie A, 1., 2. a), 2. b) et 3.
  • Décomposition d’un vecteur et repérage  E29 Partie B, 1.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30 Partie B, 2.
  • Produit scalaire dans l’espace  E31c  → Partie B, 3.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. b) Par un raisonnement analogue à la question 1., remarquez que les droites et sont sécantes en un point que nous noterons S. N’oubliez pas que le point Q appartient aux plans et pour conclure.

Partie B

>1. Exprimez les vecteurs , et en fonction des vecteurs , et .

Corrigé
Corrigé

partie a : Section du cube par le plan (MNP)

>1. Justifier la position relative de deux droites

ABCDEFGH est un cube dont la face supérieure est EFGH. Le point P appartient au segment [HG] et le point M appartient au segment [EH]. Les points E, F, G, H, M et P sont donc dans le même plan.

En particulier les droites (MP), (EH) et (FG) sont coplanaires. Comme M est le milieu du segment [EH], les droites (MP) et (HE) sont naturellement sécantes en M. Or les droites (HE) et (FG) sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l’une est sécante à l’autre.

Par conséquent, les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point que nous notons L.


 

Remarque. Le plan (MNP) et la face EFGH du cube sont sécants : leur intersection est le segment [MP].

>2. a) Construire des points dans l’espace


 

Remarques :

  • le plan (MNP) et la face BCGF du cube sont sécants : leur intersection est le segment [TQ] ;
  • le plan (MNP) et la face CDHG du cube sont sécants : leur intersection est le segment [PT].

b) Construire l’intersection de deux plans

Par un raisonnement analogue à la question 1. de la partie A, les droites (MP) et (EF) sont sécantes en un point que nous notons S. Comme S appartient à la droite (MP) et Q appartient à la droite (LN), les points S et Q appartiennent au plan (MNP). Comme ces points appartiennent également au plan (ABF), la droite recherchée est la droite (QS).


 

>3. Construire la section d’un cube par un plan

Nous notons R le point d’intersection de la droite (QS) et de la droite (EA). Le plan (MNP) et la face ABFE sont sécants : leur intersection est le segment [QR]. En prenant en compte les remarques faites dans les réponses aux questions précédentes, nous en concluons que la section du cube par le plan (MNP) est le pentagone MPTQR.


 

partie b

>1. Déterminer les coordonnées d’un point de l’espace

Par suite, M a pour coordonnées

Par suite, P a pour coordonnées .

Par suite, N a pour coordonnées

>2. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

  • Une représentation paramétrique de la droite (MP) est :

  • Une représentation paramétrique de la droite (FG) est :

  • Le point L appartenant à la droite (MP) et à la droite (FG), il existe deux nombres réels et tels que :

 et 

Ce qui équivaut à :

Le point L a donc pour coordonnées

>3. Étudier la nature d’un triangle

Le vecteur a pour coordonnées

Le vecteur a pour coordonnées .

Comme , alors les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. Par suite, les droites (TP) et (TN) dont le point commun est T ne sont pas perpendiculaires.

Le triangle TPN n’est donc pas rectangle en T.