Sectionnons encore un cube !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 3 • 5 points

Sectionnons encore un cube !

matT_1604_12_01C_06

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :

le point L ;

l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;

la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère (A;AB,AD,AE).

▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

▶ 2. a) Montrer que le vecteur AG est normal au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que AM=tAG.

a) Démontrer que MI2=3t23t+54.

b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N(12;12;12).

▶ 4. Démontrer que pour ce point N(12;12;12) :

a) N appartient au plan (IJK).

b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Positions relatives  E24a • E24b  Partie B, 4. b)

Orthogonalité  E26b • E32  Partie B, 2. a) et 4. b)

Repérage  E29  Partie B, 1.

Produit scalaire  E31c  Partie B, 2. a), 3. a) et 4. b)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c  Partie B, 2. a), 2. b) et 4. a)

Nos coups de pouce

Partie B

 3. a) Déterminez les coordonnées du vecteur MI puis calculez le produit scalaire MIMI.

 4. b) N’oubliez pas que le vecteur AG est normal au plan (IJK) pour démontrer que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires. Calculez le produit scalaire INBF pour démontrer que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires. Dans les deux cas, pensez à la position du point N (appartenance à certaines droites ou à un plan) pour conclure.

Corrigé

Corrigé

partie a

Notez bien

Les éléments suivants sont uniquement des indications pour construire correctement la figure. Aucune justification, aucune explication n’est demandée.

Construction du point L

Traçons les droites (IJ) et (CG) (droites coloriées en bleu).

Ces droites se coupent au point L.

Construction de l’intersection des plans (IJK) et (CDH)

Cette intersection 𝒟 est une droite dont il suffit de trouver deux points.K(CD)(CDH) et K(IJK) donc K𝒟.

L(CG)(CDH) et L(IJ)(IJK) donc L𝒟.

Ainsi, la droite 𝒟 n’est autre que la droite (KL) (droite coloriée en vert).

Construction de la section du cube par le plan (IJK)

L’intersection du plan (IJK) et de la face BCGF est le segment [IJ] (tracé en rouge).

L’intersection du plan (IJK) et de la face ABCD est le segment [JK] (tracé en rouge).

La droite (LK) coupe la droite (DH) au point que nous noterons M. L’intersection du plan (IJK) et de la face CDHG est le segment [KM] (tracé en rouge).

Traçons la parallèle à la droite (IJ) passant par M (tracée en orange). Cette droite coupe la droite (EH) au point que nous noterons P. L’intersection du plan (IJK) et de la face ADHE est le segment [MP] (tracé en rouge).

Traçons la parallèle à la droite (LK) passant par I (tracée en violet). Cette droite coupe la droite (EF) au point que nous noterons Q. L’intersection du plan (IJK) et de la face ABFE est le segment [QI] (tracé en rouge).

L’intersection du plan (IJK) et de la face EFGH est le segment [QP] (tracé en rouge).

La section du cube par le plan (IJK) est l’hexagone IJKMPQ.

matT_1604_12_01C_14

partie b

▶ 1. Donner les coordonnées d’un point de l’espace

Le point A est l’origine du repère. Ses coordonnées sont ainsi (0 ; 0 ; 0).

On a :

AG=AB+BC+CG      (relation de Chasles)      = AB+AD+AE       (ABCDEFGH est un cube).  

Le point G a ainsi pour coordonnées (1 ; 1 ; 1).

On a :

AI=AB+BI           (relation de Chasles)    =AB+12BF       (I milieu de [BF])    =AB+12AE       (ABCDEFGH est un cube).

Le point I a ainsi pour coordonnées (1 ; 0 ; 12).

De même, on a AJ=AB+12AD et AK=12AB+AD. Le point J a alors pour coordonnées (1 ; 12 ; 0) et le point K (12 ; 1 ; 0).

▶ 2. a) Démontrer qu’un vecteur est normal à un plan

On a IJ (xJxIyJyIzJzI)=(11120012)=(01212) et IK (xKxIyKyIzKzI)=(12110012)=(12112).

Les coordonnées des vecteurs IJ et IK n’étant pas proportionnelles, ces deux vecteurs du plan (IJK) ne sont pas colinéaires.

Notez bien

Pour tous vecteurs u(x ; y ; z) et v(x ; y ; z), uv=x×x+y×y+z×z.

On a AG (xGxAyGyAzGzA)=(111) et par suite :

IJAG=0×1+12×1+(12)×1=0 et IKAG=12×1+1×1+(12)×1=0.

Ainsi, le vecteur AG est orthogonal aux deux vecteurs IJ et IK, vecteurs non colinéaires du plan (IJK).

Le vecteur AG est donc normal au plan (IJK).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

D’après la question précédente, le vecteur AG de coordonnées (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (IJK). Par suite, ce plan admet une équation cartésienne de la forme : 1×x+1×y+1×z+d=0d est un nombre réel à déterminer. Or le point I, par exemple, appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient ainsi l’équation précédente du plan, à savoir : xI+yI+zI+d=0. Ce qui nous amène à 1+0+12+d=0, ainsi d=32.

Le plan (IJK) a pour équation cartésienne x+y+z32=0.

▶ 3. a) Déterminer une distance

Comme AM=t AG et que les coordonnées du vecteur AG sont (1 ; 1 ; 1) le point M a pour coordonnées (; ; t).

Le vecteur MI a pour coordonnées (xIxMyIyMzIzM)=(1t0t12t)=(1tt12t)

Par conséquent, on a :

MI2=MIMI=(1t)2+(t)2+(12t)2                        =(12t+t2)+t2+(14t+t2)=3t23t+54.

On a donc MI2=3t23t+54.

b) Déterminer les coordonnées d’un point sous contrainte

La distance MI est minimale si et seulement si cette distance au carré est minimale.

Or, d’après la question précédente, MI2=3t23t+54. On remarque que la fonction t3t23t+54(t[0 ; 1]) est un polynôme de degré 2 avec a=3,b=3 et c=54. Comme a>0, ce polynôme admet un minimum en t=b2a=32×3=36=12.

La distance MI est donc minimale pour t=12. Dans ce cas, le point M est tel que AM=12AG, autrement dit, voir question 3. a), le point M est de coordonnées (12 ; 12 ; 12).

On notera, dans la suite, N le point de coordonnées (12 ; 12 ; 12).

▶ 4. a) Vérifier qu’un point appartient à un plan

On a xN+yN+zN32=12+12+1232=0. Les coordonnées du point N vérifient l’équation du plan (IJK).

Par conséquent, le point N appartient au plan (IJK).

b) Démontrer que des droites sont perpendiculaires

Comme le vecteur AG est orthogonal au plan (IJK) d’après la question 2. a), la droite (AG) est orthogonale au plan (IJK) et par suite à toute droite de ce plan. Or, la droite (IN) est une droite incluse dans ce plan. En effet, le point N appartient au plan (IJK) d’après la question 4. a). Les droites (IN) et (AG) sont donc orthogonales. Mais, par la question précédente, AN=12AG. Le point N qui est donc le milieu du segment [AG] appartient également à la droite (AG).

On en conclut que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires au point N.

Le vecteur IN a pour coordonnées : (121 ; 120 ;1212)=(12 ; 12 ; 0).

Comme ABCDEFGH est un cube, les vecteurs BF et AE sont égaux, et donc ils ont les mêmes coordonnées. Le vecteur BF a ainsi pour coordonnées (0 ; 0 ; 1). Comme INBF=12×0+12×0+0×1=0, les vecteurs IN et BF sont orthogonaux et par suite, les droites (IN) et (BF) sont orthogonales. Le point I appartenant à la fois à la droite (IN) et à la droite (BF) (milieu du segment [BF]), on en conclut que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires au point I.