Sectionnons encore un cube !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 3 • 5 points

Sectionnons encore un cube !

matT_1604_12_01C_06

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification.

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire, sur la figure ci-dessus et en laissant apparents les traits de construction :

le point L 

l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) 

la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère (AAB,AD,AE).

▶ 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

▶ 2. a) Montrer que le vecteur AG est normal au plan (IJK).

b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

▶ 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0  1] tel que AM=tAG.

a) Démontrer que MI2=3t23t+54.

b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N(121212).

▶ 4. Démontrer que pour ce point N(121212) :

a) N appartient au plan (IJK).

b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Positions relatives  E24a • E24b  Partie B, 4. b)

Orthogonalité  E26b • E32  Partie B, 2. a) et 4. b)

Repérage  E29  Partie B, 1.

Produit scalaire  E31c  Partie B, 2. a), 3. a) et 4. b)

Équation cartésienne d’un plan  E33a • E33c  Partie B, 2. a), 2. b) et 4. a)

Nos coups de pouce

Partie B

 3. a) Déterminez les coordonnées du vecteur MI puis calculez le produit scalaire MIMI.

 4. b) N’oubliez pas que le vecteur AG est normal au plan (IJK) pour démontrer que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires. Calculez le produit scalaire INBF pour démontrer que les droites (IN) et (BF) sont perpendiculaires. Dans les deux cas, pensez à la position du point N (appartenance à certaines droites ou à un plan) pour conclure.

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