Partie A

▶ 1. Traduire des données par un arbre pondéré

La situation peut être traduite par l'arbre suivant :

▶ 2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

La probabilité demandée est P(D ∩ A).

$\begin{array}{c}P(\text{D}\cap \text{A})=P(\text{D})\times P_{\text{D}}(\text{A})\\ P(\text{D}\cap \text{A})=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,6}\\ P(\text{D}\cap \text{A})=\mathrm{0,06}.\end{array}$

La probabilité qu'un candidat au concours, choisi au hasard, soit sélectionné sur dossier et admis à l'école est égale à 0,06.

▶ 3. Calculer la probabilité d'un événement

$\begin{array}{l}P(\text{A})=P(\text{D}\cap \text{A})+P(\overline{\text{D}}\cap \text{A})\\ P(\text{A})=\mathrm{0,06}+\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,2}\\ \boxed{P(\text{A})=\mathrm{0,24}}\end{array}$

▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche $P_{\text{A}}(\overline{\text{D}})$, puisqu'on choisit un candidat parmi ceux qui sont admis à l'école.

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

$P_{\text{A}}(\overline{\text{D}})=\frac{P(\text{A}\cap \overline{\text{D}})}{P(\text{A})}$

$P_{\text{A}}(\overline{\text{D}})=\frac{\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,2}}{\mathrm{0,24}}$

$\boxed{P_{\text{A}}(\overline{\text{D}})=\mathrm{0,75}=\frac{3}{4}}$

Partie B

▶ 1. a) Déterminer les paramètres d'une loi binomiale

L'expérience est la répétition de 7 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont le succès est « le candidat est admis » et a une probabilité égale à 0,24.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres 7 et 0,24.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu'un seul des sept candidats soit admis est P(X = 1).

D'après le cours : $P(X=1)=\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right)\times \mathrm{0,24}\times {\mathrm{0,76}}^6$.

À la calculatrice : $P(X=1)\approx \mathrm{0,32}$ en arrondissant au centième.

La probabilité qu'un seul des sept candidats soit admis est environ 0,32.

c) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu'au moins deux des sept candidats soient admis est P(X ≥ 2). L'événement contraire est « au plus un candidat est admis », donc :

$\begin{array}{c}P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)\\ P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1)).\end{array}$

D'après la calculatrice, $P(X\ge 2)\approx \mathrm{0,53}$ en arrondissant au centième.

La probabilité qu'au moins deux des sept candidats soient admis est environ 0,53.

▶ 2. a) Donner l'expression d'une probabilité

Pour un candidat donné, la probabilité d'être admis est 0,24, donc la probabilité de ne pas être admis est égale à 0,76.

Puisque les résultats des candidats sont supposés indépendants les uns des autres, la probabilité qu'aucun des n candidats ne soit admis est ${\mathrm{0,76}}^n$.

b) Déterminer à partir de quel nombre de candidats une condition est remplie

D'après la question précédente, la probabilité qu'au moins un élève soit admis est égale à $1-{\mathrm{0,76}}^n$.

On cherche donc n tel que $1-{\mathrm{0,76}}^n\ge \mathrm{0,99}$, qui équivaut à : ${\mathrm{0,76}}^n\le \mathrm{0,01}$.

On utilise la fonction logarithme népérien ln.

${\mathrm{0,76}}^n\le \mathrm{0,01}$ équivaut, puisque ln est croissante sur ]0 ; + ∞[, à :

$\ln ({\mathrm{0,76}}^n)\le \text{ln}(\mathrm{0,01})$.

D'après les propriétés de la fonction ln, cette inégalité équivaut successivement à :

$n\ln (\mathrm{0,76})\le \ln (\mathrm{0,01})$

$n\ge \frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,76})}$.

$\frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,76})}\approx \mathrm{16,78}$, donc, puisque n est entier, $n\ge \frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,76})}$ équivaut à n ≥ 17.

On obtient que le plus petit entier naturel n tel que ${\mathrm{0,76}}^n\le \mathrm{0,01}$ est n = 17.

Pour que la probabilité qu'au moins un élève soit admis soit supérieure ou égale à 0,99, le lycée doit présenter au moins 17 candidats.