Annale corrigée Exercice

Sélection sur dossier ou épreuve écrite

Sujet spécimen 2021 n° 1 • exercice 1

Sélection sur dossier ou épreuve écrite

1 h 05

5 points

Intérêt du sujet • Cet exercice permet d'étudier dans un premier temps une expérience aléatoire représentée par un arbre pondéré. Dans la deuxième partie, on introduit une variable aléatoire en lien avec la situation considérée dans la première partie de l'exercice.

 

Exercice commun à tous les candidats

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :

10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.

Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.

Partie A

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement.

On notera :

D l'événement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;

A l'événement « le candidat a été admis à l'école » ;

D¯ et A¯ les événements contraires des événements D et A respectivement.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.

3. Montrer que la probabilité de l'événement A est égale à 0,24.

4. On choisit au hasard un candidat admis à l'école.

Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné ?

Partie B

1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à 0,24.

On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par X la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.

a) On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi ?

b) Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.

c) Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.

2. Un lycée présente n candidats au recrutement dans cette école, où n est un entier naturel non nul.

On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à 0,24 et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.

a) Donner l'expression, en fonction de n, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.

b) À partir de quelle valeur de l'entier n la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à 0,99 ?

 

Les clés du sujet

Partie A

1. Sur les branches de l'arbre de premier niveau, on a des probabilités simples. Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles, conditionnées par l'événement « dont elles sont issues ».

2. On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.

3. Les candidats admis ont été sélectionnés sur dossier ou non ; la probabilité cherchée est donc P(DA)+P(D¯A).

4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle ; utilisez la définition.

Partie B

1. a) On demande uniquement les paramètres de la loi de X.

c) « Au moins deux » signifie « deux ou plus ».

2. b) Utilisez la calculatrice, ou bien la fonction ln.

Partie A

1. Traduire des données par un arbre pondéré

La situation peut être traduite par l'arbre suivant :

matT_2100_07_00C_01

2. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

info +

Les candidats sélectionnés sur dossier et admis représentent 6 % de l'ensemble des candidats.

La probabilité demandée est P(D ∩ A).

P(DA)=P(D)×PD(A) P(DA)=0,1×0,6P(DA)=0,06.

La probabilité qu'un candidat au concours, choisi au hasard, soit sélectionné sur dossier et admis à l'école est égale à 0,06.

3. Calculer la probabilité d'un événement

info +

24 % des candidats qui se présentent sont finalement admis.

P(A)=P(DA)+P(D¯A) P(A)=0,06+0,9×0,2P(A)=0,24

4. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche PA(D¯), puisqu'on choisit un candidat parmi ceux qui sont admis à l'école.

Par définition d'une probabilité conditionnelle :

info +

Parmi les candidats admis, 75 % n'avaient pas été sélectionnés sur dossier.

PA(D¯)=P(AD¯)P(A)

PA(D¯)=0,9×0,20,24

PA(D¯)=0,75=34

Partie B

1. a) Déterminer les paramètres d'une loi binomiale

L'expérience est la répétition de 7 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont le succès est « le candidat est admis » et a une probabilité égale à 0,24.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres 7 et 0,24.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu'un seul des sept candidats soit admis est P(X = 1).

D'après le cours : P(X=1)=71×0,24×0,766.

À la calculatrice : P(X=1)0,32 en arrondissant au centième.

La probabilité qu'un seul des sept candidats soit admis est environ 0,32.

c) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité qu'au moins deux des sept candidats soient admis est P(X ≥ 2). L'événement contraire est « au plus un candidat est admis », donc :

P(X2)=1P(X1)P(X2)=1(P(X=0)+P(X=1)).

D'après la calculatrice, P(X2)0,53 en arrondissant au centième.

La probabilité qu'au moins deux des sept candidats soient admis est environ 0,53.

2. a) Donner l'expression d'une probabilité

Pour un candidat donné, la probabilité d'être admis est 0,24, donc la probabilité de ne pas être admis est égale à 0,76.

Puisque les résultats des candidats sont supposés indépendants les uns des autres, la probabilité qu'aucun des n candidats ne soit admis est 0,76n.

b) Déterminer à partir de quel nombre de candidats une condition est remplie

D'après la question précédente, la probabilité qu'au moins un élève soit admis est égale à 10,76n.

On cherche donc n tel que 10,76n0,99, qui équivaut à : 0,76n0,01.

On utilise la fonction logarithme népérien ln.

0,76n0,01 équivaut, puisque ln est croissante sur ]0 ; + [, à :

ln(0,76n)ln(0,01).

D'après les propriétés de la fonction ln, cette inégalité équivaut successivement à :

nln(0,76)ln(0,01)

nln(0,01)ln(0,76).

ln(0,01)ln(0,76)16,78, donc, puisque n est entier, nln(0,01)ln(0,76) équivaut à n ≥ 17.

remarque

ln(0,76)0, donc l'inégalité change de sens quand on divise par ln(0,76).

On obtient que le plus petit entier naturel n tel que 0,76n0,01 est n = 17.

Pour que la probabilité qu'au moins un élève soit admis soit supérieure ou égale à 0,99, le lycée doit présenter au moins 17 candidats.

Le conseil de méthode

Vous auriez également pu, à l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée des puissances de 0,76 et noter la plus petite valeur de l'exposant n tel que 0,76n0,01.

Vous obtenez : 0,76160,0124>0,01 et 0,76170,00940,01 et donc n = 17.

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