Séries statistiques à deux variables

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Statistique

Cinquième exercice de type Bac – Pourcentage, ajustement affine et suite géométrique

Partie A

Le tableau suivant, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution de la production de déchets municipaux, par kg et par habitant, dans une région, depuis l’année 2005.

1. a. Calculer le taux d’évolution de la production de déchets municipaux, en kg par habitant entre l’année 2005 et 2006. On donnera le résultat en pourcentage, arrondi à 0,1 %.

b. Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule D4, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d’évolution de la production de déchets municipaux par habitant entre deux années consécutives ? (On admet que les cellules C4 à I4 sont en pourcentages, voir tableau page suivante).

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_7

2. a. Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées (xiyi), dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 1 cm pour une unité sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 10 kg par habitant sur l’axe des ordonnées. On commencera la graduation à 470 kg par habitant sur l’axe des ordonnées.

b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer le point G dans le repère.

c. On admet que la droite ∆ d’équation y = 8,77x + 479,91 réalise un ajustement affine du nuage de points, fiable jusqu’en 2015. Vérifier que le point G appartient à la droite ∆. Tracer la droite ∆ dans le repère.

d. Déterminer alors graphiquement la production de déchets municipaux en kg par habitant pour l’année 2015.

Partie B

En 2015, un bureau d’étude a prévu de réduire la production de déchets municipaux de 7 % par habitant et par an pour atteindre moins de 390 kg de déchets par habitant et par an.

On admet que la production de déchets municipaux en kg par habitant et par an est modélisée par une suite géométrique de terme général unn désigne un entier naturel et un représente la production de l’année (2015 + n). On a alors u0 = 576.

1. a. Montrer que la raison de cette suite est égale à 0,93.

b. Calculer la production de déchets municipaux en kg par habitant en 2016. On arrondira le résultat à l’unité.

2. a. Exprimer un en fonction de n.

b. Calculer u5 et u6. En déduire l’année à partir de laquelle l’objectif du bureau d’étude sera atteint.

Corrigé

A. 1. a. On a : 14964804800,033=3,3%.

b. Dans la cellule D4, on rentre : (D3 – C3)/C3.

2.

Maths_C06_08_stdi

b. Les coordonnées de G sont : xG=1++88=4,5 et yG=480++5398=519,375.

On place G sur la figure.

c. G est sur ∆ puisque : 8,7 × 4,5 + 479,91 = 579,375.

Pour tracer ∆, on détermine les coordonnées d’un second point de ∆, par exemple A (1 ; 488,68).

d. 2015 est l’année de rang 11. L’ordonnée du point de ∆ d’abscisse 11 est voisine de 576. D’où une production de 576 kg pour 2015.

B. 1. a. Pour tout entier n, on a : un+1=un7100un=un0,07un, un+1=(10,07)un=0,93un. La raison de la suite est donc 0,93.

Voir la définition du paragraphe A du chapitre 2.

b. Pour 2016, la production en kg est : u1 = 576 × 0,93 = 535,68  536.

Voir la définition du paragraphe B du chapitre 2.

2. a. Pour tout entier n, un = 576 × 0,93n.

b. u5 = 576 × 0,935 400,72 ; u6 = 576 × 0,936 = 372,67.

L’objectif de 390 kg est atteint pour n = 6, en 2021.