Annale corrigée Exercice

Service et réception au volley-ball

Le mouvement

Service et réception au volley-ball

1 h 50

11 points

Intérêt du sujet  La physique au service du volley ! Quel phénomène physique utilise un radar pour déterminer la vitesse du ballon ? Comment intégrer Newton à une équipe de volley pour valider un service ou prévoir la réception du ballon ?

 

Au volley-ball, le service smashé est le type de service pratiqué le plus fréquemment par les professionnels : le serveur doit se placer un peu après la limite du terrain, lancer très haut son ballon, effectuer une petite course d'élan puis sauter pour frapper la balle.

D'après fr.wikipedia.org/wiki/Volley-ball

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ph © skynesher/iStockphoto

Après la course d'élan, le serveur saute de façon à frapper le ballon en un point B0 situé à la hauteur h au-dessus de la ligne de fond de terrain. La hauteur h désigne alors l'altitude initiale du centre du ballon.

Le vecteur vitesse initiale v0 du ballon est horizontal et perpendiculaire à la ligne de fond du terrain (voir figure 1).

Le mouvement du ballon est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (Ox, Oy) et l'instant de la frappe est choisi comme origine des temps : = 0 s.

Le mouvement a lieu dans le plan (Oxy).

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Figure 1. Dimensions du terrain de volley-ball et allure de la trajectoire du ballon

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de la vitesse initiale du ballon, de vérifier la validité du service et d'étudier la réception du service par un joueur de l'équipe adverse.

Pour cela, on étudie le mouvement du centre du ballon sans tenir compte de l'action de l'air, de la rotation du ballon sur lui-même et de ses déformations.

Données

Le ballon de volley-ball a une masse = 260 g et un rayon = 10 cm.

Intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m ∙ s–2.

La valeur de la célérité c de la lumière dans le vide ou dans l'air est supposée connue du candidat.

Domaines des ondes électromagnétiques en fonction de la longueur d'onde λ :

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Partie 1. mesure de la vitesse initiale du ballon 30 min

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© Bushnell

Figure 2. Radar portatif utilisé lors de la mesure de la vitesse (indiquée en km · h–1)

Afin d'évaluer les performances du serveur, on mesure la valeur de la vitesse initiale v0 du ballon grâce à un radar portatif (voir figure 2), pointé en direction de la position de frappe B0. Le manuel du radar indique qu'il envoie des ondes électromagnétiques haute fréquence (3,47 × 1010 Hz) et mesure la différence de fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie sur un objet en mouvement.

1. Identifier le domaine des ondes électromagnétiques émises par ce radar portatif. Justifier par un calcul. (1 point)

2. Nommer le phénomène à l'origine de la différence de fréquence entre les ondes émise et reçue par le radar portatif. (0,25 point)

3. Le radar est positionné face au serveur et vise le ballon. La fréquence de l'onde reçue est-elle inférieure ou supérieure à celle de l'onde émise ? Justifier. (0,5 point)

4. Dans les mêmes conditions de mesure que pour la question 3., le décalage Δf entre la fréquence fémise de l'onde émise et la fréquence freçue de l'onde reçue vérifie la relation :

|Δf|=|freçuefémise|=2v0×fémisec

Le décalage |Δf| mesuré par le radar portatif est de 4,86 kHz.

En déduire la valeur de la vitesse du ballon. Vérifier l'accord avec l'indication de l'écran du radar portatif de la figure 2. (1,25 point)

Partie 2. validité du service 1 heure

Le service est effectué depuis le point B0 à la vitesse v0 = 21,0 m · s–1. Il sera considéré comme valide à condition que le ballon franchisse le filet sans le toucher et qu'il retombe dans le terrain adverse.

1. Montrer que, si on néglige l'action de l'air, les coordonnées du vecteur accélération du centre du ballon après la frappe sont :

ax(t)=0 et  ay(t)=g. (0,5 point)

2. Établir que les équations horaires du mouvement du centre du ballon s'écrivent : x(t)=v0t et y(t)=gt22+h.

En déduire que l'équation de la trajectoire reliant x et y s'écrit :

y(x)=g2v02x2+h. (1,25 point)

3. En admettant que le ballon franchisse le filet, vérifier qu'il touche le sol avant la ligne de fond. (1 point)

4. Afin de déterminer la vitesse du ballon au moment où il touche le sol, on effectue une étude énergétique. L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est choisie de la manière suivante : Epp = 0 J pour y = 0 m.

a) Rappeler les expressions littérales des énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp et mécanique Em du ballon en un point quelconque de la trajectoire. (0,75 point)

b) Le graphe de la figure 3 représente l'évolution en fonction du temps des trois énergies précédentes. Associer chaque courbe 1, 2, 3 à l'une des trois énergies Em, Epp, Ec. Justifier. (1 point)

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Figure 3. Allure de l'évolution des énergies du ballon au cours du temps

c) À l'aide de l'étude énergétique précédente, déterminer la valeur de la vitesse du centre du ballon vsol lorsque le ballon touche le sol. (1 point)

5. En réalité, la vitesse vsol avec laquelle le ballon atteint le sol est plus faible que celle déterminée à la question 4. c.

Proposer une explication. (0,5 point)

Partie 3. réception du ballon
par un joueur de l'équipe adverse 20 min

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Figure 4. Réception du ballon

ph © Laurent Lardière/LSD Le Sport Dauphinois

Au moment où le serveur frappe le ballon (= 0 s), un joueur de l'équipe adverse est placé au niveau de la ligne de fond de son terrain. Il débute sa course vers l'avant pour réceptionner le ballon en réalisant une « manchette » comme le montre la figure 4.

Le contact entre le ballon et le joueur se fait au point R situé à une hauteur de 80 cm au‑dessus du sol.

On admet que les équations horaires du mouvement du ballon établies à la question 2 de la partie 2 restent valables.

Évaluer la vitesse moyenne minimale du déplacement de ce joueur pour qu'il réalise la réception dans la position photographiée ci-dessus.
Ce résultat semble-t-il réaliste ? (2 points)

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche ­suivie même si elle n'a pas abouti.

La démarche suivie est évaluée et nécessite donc d'être correctement présentée.

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Coups de pouce

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Mesure de la vitesse initiale du ballon; ▶ 1. Calculez la longueur d'onde en utilisant la valeur de fréquence donnée dans l'énoncé puis exploitez l'axe des domaines de longueurs d'onde pour conclure.▶ 3. Identifiez le mouvement relatif du ballon par rapport au radar portatif.▶ 4. Exploitez la relation du décalage Doppler donnée.; Ligne 2 : Partie 2. Validité du service; ▶ 1. et 2. Voir  de la boîte à outils.▶ 3. Pour trouver l'abscisse du point d'impact au sol, utilisez l'équation de la trajectoire y(x) sachant que, lorsque le ballon touche le sol, son altitude est ysol = r. Comparez le résultat obtenu avec la longueur L du terrain pour conclure.▶ 4. b) Exploitez l'évolution de l'altitude et celle de la vitesse du ballon au cours du temps pour identifier les courbes.c) Pensez à exploiter la conservation de l'énergie mécanique entre le point B0 et le point d'impact sur le sol.; Ligne 3 : Partie 3. Réception du ballon par un joueur de l'équipe adverse ; C'est une petite résolution de problème. Commencez par analyser le problème posé et cernez l'objectif à atteindre : il s'agit de déterminer la vitesse moyenne du déplacement du joueur adverse pour qu'il réceptionne le ballon.;

Aide à la résolution de la partie 3

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Partie 1. mesure de la vitesse initiale du ballon

1. Calculer la longueur d'onde associée à une fréquence donnée

Le radar portatif envoie des ondes électromagnétiques de fréquence f = 3,47 × 1010 Hz. Par définition, la longueur d'onde λ associée à cette fréquence est donnée par :

λ = cf d'où λ = 3,00×1083,47×1010 = 8,65 × 10–3 m

Cette longueur d'onde est comprise entre 10–3 m et 1 m.

Par conséquent, d'après les données de l'exercice, on en déduit que ce radar émet dans le domaine des micro-ondes.

2. Identifier un phénomène physique

La différence de fréquence entre les ondes émise et reçue par le radar est due à l'effet Doppler car l'onde émise se réfléchit sur un objet en mouvement par rapport au radar qui est la source de l'onde.

3. Justifier la variation de fréquence en fonction du mouvement relatif

à noter

Pensez à la sirène du camion de pompiers qui se rapproche de vous, quand vous êtes immobile sur un trottoir.

Lors du service, le ballon se rapproche du radar portatif donc la fréquence de l'onde reçue est supérieure à celle de l'onde émise.

4. Calculer une vitesse

attention

La valeur v0 calculée est en m ∙ s–1. Faire la conversion en km ∙ h–1 pour comparer avec l'indication.

Sachant que le décalage Doppler et la vitesse du ballon sont reliés par |Δf|=2×v0×fémisec

la vitesse v0 du ballon s'exprime :

v0 = |Δf|×c2fémise d'où v0 = 4,86×103×3,00×1082×3,47×1010 = 21,0 m ∙ s–1

v0 = 21,0 × 3 600 × 10–3 = 75,6 km · h–1.

La valeur calculée est bien en accord avec les 76 km ∙ h–1 indiqués par le radar portatif de la figure 2, en arrondissant à l'unité près, compte tenu de la précision de l'appareil.

Partie 2. validité du service

1. Établir les coordonnées du vecteur accélération

attention

L'axe vertical (Oy) est dirigé vers le haut tandis que le vecteur g est dirigé vers le bas, d'où le signe « – ».

Le système étudié est le ballon de masse m dans le référentiel terrestre considéré galiléen.

D'après l'énoncé, on néglige l'action de l'air donc on considère que le ballon n'est soumis qu'à son poids P=mg. Appliquons la deuxième loi de Newton au système. On a : Fext = ma.

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Ainsi, on a : P=ma d'où mg=ma.

Donc on obtient a=g. En projetant cette relation vectorielle sur les axes (Ox) et (Oy), on obtient bien : ax(t) = 0 et ay(t) = – g

2. Établir les équations horaires du mouvement du ballon et l'équation de sa trajectoire

Par définition, les coordonnées du vecteur vitesse sont les primitives des coordonnées du vecteur accélération : {vx(t)=C1vy(t)=gt+C2

avec C1 et C2 des constantes à définir à partir des conditions initiales sur la vitesse.

Or, à t = 0 s, on a v0x = v0 et v0y = 0. Ainsi, par identification, on en déduit que C1 = v0 et que C2 = 0. On a donc : vx(t) = v0 et vy(t) = – gt.

Par définition, les coordonnées du vecteur position sont les primitives des coordonnées du vecteur vitesse :

{x(t)=v0t+C3y(t)=12gt2+C4 avec C3 et C4 des constantes à définir à partir des conditions initiales sur la position.

Or, à t = 0 s, on a x0 = 0 et y0 = h. Ainsi, par identification, on en déduit que C3 = 0 et C4 = h.

Par conséquent, les coordonnées du vecteur position ou équations horaires sont : x(t) = v0t et y(t) = – 12gt2 + h.

Finalement, pour trouver l'équation de la trajectoire y(x), il faut éliminer le paramètre temps dans l'équation y(t).

D'après l'équation x(t) = v0t, on en déduit que t = xv0.

On remplace le paramètre t par cette expression dans l'équation horaire y(t), d'où : y(x) = 12g(xv0)2 + h = g2v02x2+h.

3. Vérifier la réussite du service

Le ballon touche le sol avant la ligne de fond si y(x) = r pour x L. Nous devons donc chercher la valeur de x en résolvant l'équation :

r = g2v02x2+h.

On a donc : g2v02x2=hr d'où x=2v02(hr)g

Ainsi x = 2×21,02×(3,50,1)9,81 = 17,5 m.

Comme x 18 m, on en déduit que le ballon touche le sol avant la ligne de fond, donc le service est réussi.

4. a) Donner les expressions littérales des énergies

L'énergie cinétique Ec est donnée par Ec = 12mv2.

L'énergie potentielle de pesanteur EPP est donnée par EPP = mgy.

L'énergie mécanique Em s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique Ec et de l'énergie potentielle de pesanteur EPP en chaque point de la trajectoire : Em = Ec + EPP = 12mv2 + mgy.

b) Identifier des courbes d'énergies

D'après la situation étudiée, lors du service, l'altitude y du ballon diminue. Donc son énergie potentielle de pesanteur Epp = mgy diminue.

La courbe 1 correspond donc à l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur Epp.

Lors du mouvement, la vitesse v du ballon augmente donc son énergie cinétique Ec = 12mv2 augmente.

La courbe 2 correspond à l'évolution de l'énergie cinétique Ec.

Enfin, lors de cette étude, on néglige l'action de l'air donc l'énergie mécanique reste constante au cours du temps.

La courbe 3 correspond à l'évolution de l'énergie mécanique Em.

c) Déterminer une vitesse à partir de la conservation de l'énergie mécanique

On sait qu'à t = 0 s, l'altitude initiale du centre du ballon est y0 = h = 3,5 m et sa vitesse initiale est égale à v0 = 21,0 m ∙ s–1.

On en déduit qu'à l'instant initial (soit à la position B0) on a :

Ec(B0) = 12mv02 et EPP(B0) = mgy0.

Comme on suppose que le ballon n'est pas soumis à l'action de l'air, son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement entre la position initiale B0 et la position finale lorsque le ballon touche le sol en S. On peut ainsi écrire que Em(B0) = Em(S) d'où :

Ec(B0) + EPP(B0) = Ec(S) + EPP(S).

On obtient :

12mv02 + mgy0 = 12mvsol2 + mgyS avec y0 = h et yS = r

donc 12v02 + gh = 12vsol2 + gr

et 12vsol2 = 12v02 +g(hr)

La valeur de la vitesse avec laquelle le ballon atteint le sol est donc :

vsol = v02+2g(hr)

vsol = 21,02+2×9,81×(3,50,10)=22,5 m ∙ s–123 m ∙ s–1.

5. Expliquer un écart de vitesse

La vitesse réelle avec laquelle le ballon touche le sol est inférieure à celle calculée en appliquant la conservation de l'énergie mécanique car on a fait l'hypothèse simplificatrice que le ballon n'était pas soumis aux frottements de l'air. Or, ces derniers existent et tendent à diminuer la vitesse du ballon.

Partie 3. réception du ballon par un joueur de l'équipe adverse

attention

Travaillez avec les expressions littérales le plus longtemps possible pour éviter de faire des calculs intermédiaires et donc des arrondis successifs.

Pour déterminer la vitesse du joueur, il faut déterminer la distance qu'il a à parcourir et le temps dont il dispose pour effectuer la réception du ballon dans la position photographiée.

Étape 1. Déterminer l'instant tR de la réception

La réception se fait au point R d'altitude hR = 80 cm = 0,80 m.

On réutilise l'équation horaire y(t) établie à la question 2 de la partie 2 :

y(t) = 12gt2 + h.

L'ordonnée yR du centre du ballon est donc yR = hr + r = 0,90 m. Et on a : yR = 12gtR2 + h.

D'où l'instant de la réception : tR = 2(hyR)g.

Étape 2. Déterminer l'abscisse xR de la réception

On utilise désormais l'équation horaire x(t) établie à la question 2 de la partie 2 : x(t) = v0t.

À la date tR de la réception, le ballon se trouve à l'abscisse xR donnée par :

xR = x(tR) = v0 × tR.

D'où l'abscisse xR de la réception est : xR = v0 × 2(hyR)g

Étape 3. Déterminer la distance à parcourir par le joueur adverse

Sachant que le joueur part du fond du terrain (d'abscisse L) et que l'abscisse de la réception est xR, on en déduit la distance d que le joueur doit parcourir : d = LxR d'où d = Lv0 × 2(hyR)g.

Étape 4. Calculer la vitesse moyenne du joueur adverse

Le joueur adverse doit donc parcourir la distance d pendant la durée :

Δt = tRt0 = tR (car t0 = 0 s).

Ainsi, sa vitesse moyenne vmoy est : vmoy = dtR.

vmoy = Lv0×2(hyR)g2(hyR)g=L 2(hyR)gv0

vmoy = 18,0 2×(3,50,90)9,8121,0 = 3,7 m · s–1 = 13 km · h–1.

Même si le temps de réaction du joueur n'a pas été pris en compte, cette vitesse semble tout à fait réaliste.

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