Partie 1. mesure de la vitesse initiale du ballon

▶ 1. Calculer la longueur d'onde associée à une fréquence donnée

Le radar portatif envoie des ondes électromagnétiques de fréquence f = 3,47 × 10¹⁰ Hz. Par définition, la longueur d'onde λ associée à cette fréquence est donnée par :

λ = $\frac{c}{f}$ d'où λ = $\frac{\mathrm{3,00}\times {10}^8}{\mathrm{3,47}\times {10}^{10}}$ = 8,65 × 10^–3 m

Cette longueur d'onde est comprise entre 10^–3 m et 1 m.

Par conséquent, d'après les données de l'exercice, on en déduit que ce radar émet dans le domaine des micro-ondes.

▶ 2. Identifier un phénomène physique

La différence de fréquence entre les ondes émise et reçue par le radar est due à l'effet Doppler car l'onde émise se réfléchit sur un objet en mouvement par rapport au radar qui est la source de l'onde.

▶ 3. Justifier la variation de fréquence en fonction du mouvement relatif

Lors du service, le ballon se rapproche du radar portatif donc la fréquence de l'onde reçue est supérieure à celle de l'onde émise.

▶ 4. Calculer une vitesse

Sachant que le décalage Doppler et la vitesse du ballon sont reliés par $\left|\text{Δ}f\right|=\frac{2\times v_0\times f_{\text{émise}}}{c}$

la vitesse v₀ du ballon s'exprime :

v₀ = $\frac{\left|\text{Δ}f\right|\times c}{2f_{\text{émise}}}$ d'où v₀ = $\frac{\mathrm{4,86}\times {10}^3\times \mathrm{3,00}\times {10}^8}{2\times \mathrm{3,47}\times {10}^{10}}$ = 21,0 m ∙ s^–1

v₀ = 21,0 × 3 600 × 10^–3 = 75,6 km · h^–1.

La valeur calculée est bien en accord avec les 76 km ∙ h^–1 indiqués par le radar portatif de la figure 2, en arrondissant à l'unité près, compte tenu de la précision de l'appareil.

Partie 2. validité du service

▶ 1. Établir les coordonnées du vecteur accélération

Le système étudié est le ballon de masse m dans le référentiel terrestre considéré galiléen.

D'après l'énoncé, on néglige l'action de l'air donc on considère que le ballon n'est soumis qu'à son poids $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$. Appliquons la deuxième loi de Newton au système. On a : ${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}\overrightarrow{F_{\text{ext}}}$ = $m\overrightarrow{a}$.

Ainsi, on a : $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}$ d'où $m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}$.

Donc on obtient $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$. En projetant cette relation vectorielle sur les axes (Ox) et (Oy), on obtient bien : a_x(t) = 0 et a_y(t) = – g

▶ 2. Établir les équations horaires du mouvement du ballon et l'équation de sa trajectoire

Par définition, les coordonnées du vecteur vitesse sont les primitives des coordonnées du vecteur accélération : $\{\begin{array}{l}{v}_x(t)=C_1\\ v_y(t)=–gt+C_2\end{array}$

avec C₁ et C₂ des constantes à définir à partir des conditions initiales sur la vitesse.

Or, à t = 0 s, on a v_0x = v₀ et v_0y = 0. Ainsi, par identification, on en déduit que C₁ = v₀ et que C₂ = 0. On a donc : v_x(t) = v₀ et v_y(t) = – gt.

Par définition, les coordonnées du vecteur position sont les primitives des coordonnées du vecteur vitesse :

$\{\begin{array}{l}x(t)=v_{0}t+C_3\\ y(t)=–\frac{1}{2}g{t}^2+C_4\end{array}$ avec C₃ et C₄ des constantes à définir à partir des conditions initiales sur la position.

Or, à t = 0 s, on a x₀ = 0 et y₀ = h. Ainsi, par identification, on en déduit que C₃ = 0 et C₄ = h.

Par conséquent, les coordonnées du vecteur position ou équations horaires sont : x(t) = v₀t et y(t) = – $\frac{1}{2}$gt² + h.

Finalement, pour trouver l'équation de la trajectoire y(x), il faut éliminer le paramètre temps dans l'équation y(t).

D'après l'équation x(t) = v₀t, on en déduit que t = $\frac{x}{v_0}$.

On remplace le paramètre t par cette expression dans l'équation horaire y(t), d'où : y(x) = $-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x}{v_0}\right)}^2$ + h = $-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2+h$.

▶ 3. Vérifier la réussite du service

Le ballon touche le sol avant la ligne de fond si y(x) = r pour x L. Nous devons donc chercher la valeur de x en résolvant l'équation :

r = $-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2+h$.

On a donc : $\frac{g}{2v_0^2}{x}^2=h-r$ d'où $x=\sqrt{\frac{2v_0^2(h-r)}{g}}$

Ainsi x = $\sqrt{\frac{2\times {\mathrm{21,0}}^2\times (\mathrm{3,5}-\mathrm{0,1})}{\mathrm{9,81}}}$ = 17,5 m.

Comme x 18 m, on en déduit que le ballon touche le sol avant la ligne de fond, donc le service est réussi.

▶ 4. a) Donner les expressions littérales des énergies

L'énergie cinétique E_c est donnée par E_c = $\frac{1}{2}m{v}^2$.

L'énergie potentielle de pesanteur E_PP est donnée par E_PP = mgy.

L'énergie mécanique E_m s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique E_c et de l'énergie potentielle de pesanteur E_PP en chaque point de la trajectoire : E_m = E_c + E_PP = $\frac{1}{2}m{v}^2$ + mgy.

b) Identifier des courbes d'énergies

D'après la situation étudiée, lors du service, l'altitude y du ballon diminue. Donc son énergie potentielle de pesanteur E_pp = mgy diminue.

La courbe 1 correspond donc à l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur E_pp.

Lors du mouvement, la vitesse v du ballon augmente donc son énergie cinétique E_c = $\frac{1}{2}m{v}^2$ augmente.

La courbe 2 correspond à l'évolution de l'énergie cinétique E_c.

Enfin, lors de cette étude, on néglige l'action de l'air donc l'énergie mécanique reste constante au cours du temps.

La courbe 3 correspond à l'évolution de l'énergie mécanique E_m.

c) Déterminer une vitesse à partir de la conservation de l'énergie mécanique

On sait qu'à t = 0 s, l'altitude initiale du centre du ballon est y₀ = h = 3,5 m et sa vitesse initiale est égale à v₀ = 21,0 m ∙ s^–1.

On en déduit qu'à l'instant initial (soit à la position B₀) on a :

E_c(B₀) = $\frac{1}{2}m{v}_0^2$ et E_PP(B₀) = mgy₀.

Comme on suppose que le ballon n'est pas soumis à l'action de l'air, son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement entre la position initiale B₀ et la position finale lorsque le ballon touche le sol en S. On peut ainsi écrire que E_m(B₀) = E_m(S) d'où :

E_c(B₀) + E_PP(B₀) = E_c(S) + E_PP(S).

On obtient :

$\frac{1}{2}m{v}_0^2$ + mgy₀ = $\frac{1}{2}m{v}_{\text{sol}}^2$ + mgy_S avec y₀ = h et y_S = r

donc $\frac{1}{2}{v}_0^2$ + gh = $\frac{1}{2}{v}_{\text{sol}}^2$ + gr

et $\frac{1}{2}{v}_{\text{sol}}^2$ = $\frac{1}{2}{v}_0^2$ +g(h – r)

La valeur de la vitesse avec laquelle le ballon atteint le sol est donc :

v_sol = $\sqrt{v_0^2+2g(h-r)}$

v_sol = $\sqrt{{\mathrm{21,0}}^2+2\times \mathrm{9,81}\times (\mathrm{3,5}-\mathrm{0,10})}=\mathrm{22,5}$ m ∙ s^–1 ≈ 23 m ∙ s^–1.

▶ 5. Expliquer un écart de vitesse

La vitesse réelle avec laquelle le ballon touche le sol est inférieure à celle calculée en appliquant la conservation de l'énergie mécanique car on a fait l'hypothèse simplificatrice que le ballon n'était pas soumis aux frottements de l'air. Or, ces derniers existent et tendent à diminuer la vitesse du ballon.

Partie 3. réception du ballon par un joueur de l'équipe adverse

Pour déterminer la vitesse du joueur, il faut déterminer la distance qu'il a à parcourir et le temps dont il dispose pour effectuer la réception du ballon dans la position photographiée.

Étape 1. Déterminer l'instant t_R de la réception

La réception se fait au point R d'altitude h_R = 80 cm = 0,80 m.

On réutilise l'équation horaire y(t) établie à la question 2 de la partie 2 :

y(t) = $-\frac{1}{2}g{t}^2$ + h.

L'ordonnée y_R du centre du ballon est donc y_R = h_r + r = 0,90 m. Et on a : y_R = $-\frac{1}{2}g{t}_{\text{R}}^2$ + h.

D'où l'instant de la réception : t_R = $\sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}$.

Étape 2. Déterminer l'abscisse x_R de la réception

On utilise désormais l'équation horaire x(t) établie à la question 2 de la partie 2 : x(t) = v₀t.

À la date t_R de la réception, le ballon se trouve à l'abscisse x_R donnée par :

x_R = x(t_R) = v₀ × t_R.

D'où l'abscisse x_R de la réception est : x_R = v₀ × $\sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}$

Étape 3. Déterminer la distance à parcourir par le joueur adverse

Sachant que le joueur part du fond du terrain (d'abscisse L) et que l'abscisse de la réception est x_R, on en déduit la distance d que le joueur doit parcourir : d = L – x_R d'où d = L – v₀ × $\sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}$.

Étape 4. Calculer la vitesse moyenne du joueur adverse

Le joueur adverse doit donc parcourir la distance d pendant la durée :

Δt = t_R – t₀ = t_R (car t₀ = 0 s).

Ainsi, sa vitesse moyenne v_moy est : v_moy = $\frac{d}{t_{\text{R}}}$.

v_moy = $\frac{L-v_0\times \sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}}{\sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}}=\frac{L }{\sqrt{\frac{2(h-y_{\text{R}})}{g}}}-v_0$

v_moy = $\frac{\mathrm{18,0}}{\sqrt{\frac{2\times (\mathrm{3,5}-\mathrm{0,90})}{\mathrm{9,81}}}}-\mathrm{21,0}$ = 3,7 m · s^–1 = 13 km · h^–1.

Même si le temps de réaction du joueur n'a pas été pris en compte, cette vitesse semble tout à fait réaliste.