Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Société Vélibre

Analyse • Suites numériques

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1200_14_00C

D'après France métropolitaine • Septembre 2011

Exercice 2 • 5 points

Certaines questions ont été modifiées ou remplacées pour adapter le sujet au nouveau programme.

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.

Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année
de revendre 20 % des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012
de revendre 20 % au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.

>1. Pour tout nombre entier naturel , on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année par les termes de la suite définie pour tout nombre entier naturel par :

et .

Vérifier que et correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012. (0,5 point)

>2. Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

	A	B	D	E
1	Valeur de n	Valeur de U_n	Valeur de n	Valeur de U_n
2	0	150	18	199,1
3	1	160	19	199,28
4	2	168	20	199,42
5	3	174,4	21	199,54
6	4	179,52	22	199,63
7	5	183,62	23	199,71
8	6	186,89	24	199,76
9	7	189,51	25	199,81
10	8	191,61	26	199,85
11	9	193,29	27	199,88
12	10	194,63	28	199,90
13	11	195,71	29	199,92
14	12	196,56	30	199,94

a) Conjecturer le sens de variation de la suite . (0,25 point)

b) Quelle semble être la limite de la suite ? (0,5 point)

>3. Pour tout nombre entier naturel on pose .

a) Prouver que la suite est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) En déduire, pour tout nombre entier naturel , l'expression de puis celle de en fonction du nombre entier . (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite . (0,75 point)

d) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel on a : (0,5 point)

e) En déduire le sens de variation de la suite . (0,5 point)

>4. La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société « Vélibre » pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

> 3. c) Utilisez le résultat sur la limite d'une suite géométrique de raison telle que .

> 4. Déterminez s'il existe une valeur de telle que .

>1. Calculer les premiers termes d'une suite

D'après la définition de la suite :

Notez bien

est le nombre initial de vélos (année 2010), donc .

En janvier 2010, le parc se compose de 150 vélos en janvier 2011, la société revend 20 % de ces vélos et en achète 40 neufs, donc le nombre de vélos en janvier 2011 est :