Société Vélibre

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Société Vélibre
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1200_14_00C

 

D’après France métropolitaine • Septembre 2011

Exercice 2 • 5 points

Certaines questions ont été modifiées ou remplacées pour adapter le sujet au nouveau programme.

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.

Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

  • de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
  • de revendre 20 % des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
  • de revendre 20 % au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.

>1. Pour tout nombre entier naturel , on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l’année par les termes de la suite définie pour tout nombre entier naturel par :

 et .

Vérifier que et correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012. (0,5 point)

>2. Pour connaître l’évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

 

A

B

C

D

E

1

Valeur de n

Valeur de Un

Valeur de n

Valeur de Un

2

0

150

18

199,1

3

1

160

19

199,28

4

2

168

20

199,42

5

3

174,4

21

199,54

6

4

179,52

22

199,63

7

5

183,62

23

199,71

8

6

186,89

24

199,76

9

7

189,51

25

199,81

10

8

191,61

26

199,85

11

9

193,29

27

199,88

12

10

194,63

28

199,90

13

11

195,71

29

199,92

14

12

196,56

30

199,94

 

a) Conjecturer le sens de variation de la suite . (0,25 point)

b) Quelle semble être la limite de la suite  ? (0,5 point)

>3. Pour tout nombre entier naturel on pose .

a) Prouver que la suite est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) En déduire, pour tout nombre entier naturel , l’expression de puis celle de en fonction du nombre entier . (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite . (0,75 point)

d) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel on a : (0,5 point)

e) En déduire le sens de variation de la suite . (0,5 point)

>4. La municipalité prévoit d’implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d’offrir aux usagers 250 emplacements. La société « Vélibre » pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

>  3. c)  Utilisez le résultat sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que .

>  4. Déterminez s’il existe une valeur de telle que .

Corrigé

>1. Calculer les premiers termes d’une suite

D’après la définition de la suite  :

 ;

.

 

Notez bien

est le nombre initial de vélos (année 2010), donc .

En janvier 2010, le parc se compose de 150 vélos ; en janvier 2011, la société revend 20 % de ces vélos et en achète 40 neufs, donc le nombre de vélos en janvier 2011 est :

.

En janvier 2012, la société revend 20 % de ces 160 vélos et en achète 40 neufs. Le nombre de vélos en janvier 2012 est donc :

.

On observe que et représentent bien le nombre de vélos du parc en janvier 2011 et janvier 2012.

>2.a) Émettre une conjecture sur le sens de variation d’une suite

D’après la feuille de calcul, les valeurs de calculées par le tableur sont de plus en plus grandes, donc la suite semble être croissante.

b) Émettre une conjecture sur la limite éventuelle d’une suite

Les valeurs de calculées par le tableur sont de plus en plus proches de 200, donc la suite semble avoir pour limite 200.

>3.a) Prouver qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout nombre entier naturel  :

On en déduit que la suite est géométrique de raison 0,8.

Son premier terme est , soit :

b) Déterminer l’expression explicite du terme général d’une suite

D’après la formule du cours sur l’expression du terme général d’une suite géométrique, pour tout entier naturel , .

D’où, pour tout entier naturel n :

c) Étudier la convergence et la limite d’une suite à partir d’une suite géométrique

 

Notez bien

Ce résultat confirme la conjecture émise à la question 2. b) à partir de la feuille de calcul.

La suite est géométrique de raison 0,8 et , donc la suite a pour limite 0.

Comme pour tout entier naturel , la suite a pour limite 200.

d) Calculer la différence de deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel  :

e) Étudier le sens de variation d’une suite

 

Notez bien

Cette conclusion confirme la conjecture émise à la question 2. a) à partir de la feuille de calcul.

D’après la question précédente, pour tout entier naturel , , soit 

La suite est croissante.

>4. Majorer ou minorer une suite

La société « Vélibre » pourra satisfaire la demande si elle est dispose d’un parc de 250 vélos ou davantage.

On cherche donc s’il existe une valeur de telle que .

Or on a vu (question 1. b)) que, pour tout entier naturel , , donc  pour tout entier naturel  ; le nombre de vélos du parc sera toujours inférieur à 200.

Il n’existe donc aucun entier naturel tel que .

La société « Vélibre » ne pourra pas satisfaire la demande.