Société Vélibre

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Société Vélibre
 
 

Analyse • Suites numériques

Corrigé

8

Ens. spécifique

matT_1200_14_00C

 

D’après France métropolitaine • Septembre 2011

Exercice 2 • 5 points

Certaines questions ont été modifiées ou remplacées pour adapter le sujet au nouveau programme.

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.

Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

  • de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année 
  • de revendre 20 % des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 
  • de revendre 20 % au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.

>1. Pour tout nombre entier naturel , on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l’année par les termes de la suite définie pour tout nombre entier naturel par :

&ensp et&ensp .

Vérifier que et correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012. (0,5 point)

>2. Pour connaître l’évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

 

A

B

C

D

E

1

Valeur de n

Valeur de Un

Valeur de n

Valeur de Un

2

0

150

18

199,1

3

1

160

19

199,28

4

2

168

20

199,42

5

3

174,4

21

199,54

6

4

179,52

22

199,63

7

5

183,62

23

199,71

8

6

186,89

24

199,76

9

7

189,51

25

199,81

10

8

191,61

26

199,85

11

9

193,29

27

199,88

12

10

194,63

28

199,90

13

11

195,71

29

199,92

14

12

196,56

30

199,94

 

a) Conjecturer le sens de variation de la suite . (0,25 point)

b) Quelle semble être la limite de la suite  ? (0,5 point)

>3. Pour tout nombre entier naturel on pose .

a) Prouver que la suite est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) En déduire, pour tout nombre entier naturel , l’expression de puis celle de en fonction du nombre entier . (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite . (0,75 point)

d) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel on a : (0,5 point)

e) En déduire le sens de variation de la suite . (0,5 point)

>4. La municipalité prévoit d’implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d’offrir aux usagers 250 emplacements. La société « Vélibre » pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

>  3. c)  Utilisez le résultat sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que .

>  4. Déterminez s’il existe une valeur de telle que .