Terminale générale Mathématiques Primitives, équations différentielles

Analyse

Primitives, équations différentielles

matT_2000_00_46C

Primitives, équations différentielles

Solution d'une équation différentielle

40 min

4 points

Intérêt du sujet • Dans ce sujet classique, il suffit de bien connaître son cours pour résoudre l'équation différentielle sans difficultés.

▶ 1. Résoudre sur $ℝ$ l'équation différentielle $(E_{0}) : 3 y^{'} + 2 y = 0 .$

▶ 2. On considère l'équation différentielle $(E) : 3 y^{'} + 2 y = x e^{\frac{- 2 x}{3}} .$

a) Déterminer deux réels a et b tels que la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{\frac{- 2 x}{3}} (a x^{2} + b x)$ soit solution de $(E)$ sur $ℝ .$

b) Soit g une fonction définie et dérivable sur $ℝ$ . Montrer que g est solution de $(E)$ si et seulement si $(g - f)$ est solution de $(E_{0})$ sur $ℝ .$

c) Donner l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $ℝ .$

▶ 3. a) Démontrer que l'unique solution h de $(E)$ telle que $h (0) = 0$ est définie sur $ℝ$ par $h (x) = \frac{x^{2}}{6} e^{\frac{- 2 x}{3}} .$

b) Étudier les variations de h sur $ℝ$ .

c) Déterminer les limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ de la fonction h.

d) Tracer la courbe représentative de h dans un repère adapté.

Les clés du sujet

▶ 1. Appliquez le résultat vu en cours.

▶ 2. a) Après avoir dérivé f, remplacez y par f dans $(E)$ , simplifiez l'équation, puis identifiez les coefficients des polynômes.

b) Sachant que $(g - f)$ est solution de $(E_{0})$ et f est elle-même solution de $(E)$ , il faut que vous arriviez à g solution de $(E)$ en raisonnant toujours par équivalences.

c) Grâce à l'équivalence de la question 2. b) et la connaissance de f, déterminez toutes les solutions de $(E) .$

▶ 3. a) Déterminez la constante qui apparaît dans l'expression de la solution générale de $(E)$ en utilisant la condition $h (0) = 0 .$

b) Étudiez le signe de h′ grâce à l'étude du signe d'un trinôme du second degré.

c) Pensez au théorème des croissances comparées pour l'une des limites.

d) Utilisez le tableur de la calculatrice pour choisir les unités adaptées.

▶ 1. Trouver les solutions générales d'une équation différentielle auxiliaire

y solution de $(E_{0}) \Leftrightarrow y^{'} = - \frac{2}{3} y .$ Donc $S = \{x \mapsto C e^{- \frac{2 x}{3}}, C \in ℝ\}$ .

▶ 2. a) Trouver une solution particulière de l'équation différentielle initiale

f est dérivable sur $ℝ$ (car produit de fonctions dérivables). Pour tout réel x,

$f^{'} (x) = \frac{- 2}{3} e^{\frac{- 2 x}{3}} (a x^{2} + b x) + e^{\frac{- 2 x}{3}} (2 a x + b) = \frac{- 2}{3} f (x) + e^{\frac{- 2 x}{3}} (2 a x + b) .$

Ainsi f est solution de $(E)$ si et seulement si, pour tout réel x,

$3 (\frac{- 2}{3} f (x) + e^{\frac{- 2 x}{3}} (2 a x + b)) + 2 f (x) = x e^{\frac{- 2 x}{3}} \Leftrightarrow e^{\frac{- 2 x}{3}} (6 a x + 3 b) = x e^{\frac{- 2 x}{3}} .$

La fonction exponentielle ne s'annulant pas sur $ℝ$ , on obtient donc que f est solution de $(E) \Leftrightarrow 6 a x + 3 b = x \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 a = 1 \\ 3 b = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} a = \frac{1}{6} \\ b = 0 \end{cases}$ .

b) Montrer une équivalence

On sait que f est solution de $(E)$ donc $3 f^{'} (x) + 2 f (x) = x e^{\frac{- 2 x}{3}} (1)$ .

On a $g - f$ solution de $(E_{0})$ sur $ℝ$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, $3 {(g - f)}^{'} (x) + 2 (g - f) (x) = 0$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, $3 g^{'} (x) + 2 g (x) = 3 f^{'} (x) + 2 f (x)$

$\Leftrightarrow$ pour tout réel x, $3 g^{'} (x) + 2 g (x) = x e^{\frac{- 2 x}{3}}$ d'après (1)

$\Leftrightarrow$ g est solution de $(E_{1})$ sur ℝ.

c) En déduire les solutions générales de l'équation différentielle initiale

On déduit de ce qui précède que g est solution de $(E)$

$\Leftrightarrow g - f$ est solution de $(E_{0})$

$\Leftrightarrow$ il existe un réel C tel que $g (x) - f (x) = C e^{\frac{- 2 x}{3}}$ , pour tout réel x

$\Leftrightarrow$ il existe un réel C tel que $g (x) = C e^{\frac{- 2 x}{3}} + f (x),$ pour tout réel x

$\Leftrightarrow$ il existe un réel C tel que $g (x) = C e^{\frac{- 2 x}{3}} + \frac{1}{6} x^{2} e^{\frac{- 2 x}{3}},$ pour tout réel x

Donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est : $S = \{x \mapsto (C + \frac{x^{2}}{6}) e^{\frac{- 2 x}{3}}, C \in ℝ\}$ .

▶ 3. a) Déterminer une solution particulière avec condition initiale

h est solution de $(E)$ donc, d'après la question précédente, il existe une constante réelle C telle que, pour tout réel x, $h (x) = (C + \frac{x^{2}}{6}) e^{\frac{- 2 x}{3}}$ . Or $h (0) = C = 0$ .

Donc l'unique solution h de $(E)$ vérifiant $h (0) = 0$ est définie par $h (x) = \frac{x^{2} e^{\frac{- 2 x}{3}}}{6}$ .

b) Étudier une fonction

à noter

On a utilisé ici le fait que h est solution de $(E)$ . On aurait aussi pu dériver directement h comme produit de fonctions usuelles.

h est solution de $(E)$ , elle est donc dérivable sur $ℝ$ et, pour tout réel x, $\begin{matrix} h^{'} (x) = \frac{- 2}{3} h (x) + \frac{x}{3} e^{\frac{- 2 x}{3}} = (\frac{- x^{2}}{9} + \frac{x}{3}) e^{\frac{- 2 x}{3}} \\ = \frac{x}{3} (\frac{- x}{3} + 1) e^{\frac{- 2 x}{3}} . \end{matrix}$

La fonction exponentielle est strictement positive, donc $h^{'} (x)$ est du signe de $x (\frac{- x}{3} + 1)$ , c'est-à-dire positif sur $[0; 3]$ , négatif ailleurs.

h est décroissante sur $]- \infty; 0[$ et sur $]3; + \infty[$ , croissante sur $]0; 3[$ .

c) Calculer des limites

$\lim_{X \to + \infty} e^{X} = + \infty,$ donc, par composition, $\lim_{x \to - \infty} e^{\frac{- 2 x}{3}} = + \infty$ et par produit $\lim_{x \to - \infty} h (x) = + \infty$ .

On a $h (x) = \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{3})}^{2} e^{\frac{- 2 x}{3}}$ . Le théorème des croissances comparées donne $\lim_{X \to + \infty} X^{2} e^{- X} = 0,$ donc $\lim_{x \to + \infty} {(\frac{2 x}{3})}^{2} e^{\frac{- 2 x}{3}} = 0,$ et $\lim_{x \to + \infty} h (x) = 0$ .

d) Tracer une courbe représentative

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