Solution rationnelle d’une équation de degré 3

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Solution rationnelle d’une équation de degré 3

Arithmétique

Corrigé

44

Ens. de spécialité

matT_1200_00_97C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Partie A

Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls et n un entier naturel non nul.

Démontrer par récurrence la proposition suivante :

Si a et b sont premiers entre eux et si a divise le produit alors a divise c. (1 point)

Partie B

On se propose dans cette partie de résoudre l’équation (E) suivante :

.

>1.a) Déterminer les variations sur de la fonction . (1 point)

b) En déduire que l’équation (E) admet une unique solution réelle avec . (0,5 point)

>2.a) En utilisant le résultat établi dans la partie A, démontrer que si (E) admet une solution rationnelle p et q sont premiers entre eux, alors q divise 4 et p divise 3. (0,5 point)

b) Quels sont les rationnels qui vérifient ces conditions ? (0,5 point)

c) En déduire la solution rationnelle de l’équation (E). (0,5 point)

>3. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x, on a :. (0,5 point)

>4. En poursuivant l’étude dans , donner l’ensemble des solutions de l’équation . (0,5 point)

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Arithmétique • Généralités sur les fonctions • Nombres complexes.

Les conseils du correcteur

Partie A

Pensez à utiliser le théorème de Gauss dont voici l’énoncé :

Soit a, b et c des entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.

Partie B

>1.a) Après avoir justifié que la fonction f est dérivable sur , calculez sa dérivée puis étudiez le signe de f ′. → fiche  C9 A 

b) Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] dont voici l’énoncé :

Soit f une fonction continue sur [a ; b]. Si m est compris entre f(a) et f(b) et si f est strictement monotone sur [a ; b], alors l’équation f(x) = m admet une unique solution sur [a ; b].

Attention ! il vous restera à justifier que l’équation étudiée n’admet pas d’autre solution. → fiche  C11 

>2. En supposant que l’équation (E) admette une solution rationnelle p et q sont premiers entre eux, établissez l’égalité pour justifier l’égalité . Pour conclure utilisez le résultat établi dans la partie A. Faites de même pour démontrer que p divise 3.

>3. Développez l’expression que vous identifierez à l’expression . Vous obtenez ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues que vous résoudrez.

>4. Résolvez dans l’équation (E′) du second degré : . Pour cela référez-vous au rappel de la fiche  C36 B .

Corrigé

Partie A

Soit P(n) la propriété : « Si a et b sont deux entiers premiers entre eux et si a divise le produit alors a divise c. »

Démontrons par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.

Amorce : n = 1, c’est le théorème de Gauss.

Hérédité : supposons que P(k) est vraie pour un entier naturel k non nul. Démontrons P(k + 1).

Si a divise , comme a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, a divise .

a et b sont premiers entre eux et a divise , d’après l’hypothèse de récurrence, a divise c.

Conclusion : comme P(1) est vraie et que la propriété est héréditaire, d’après le principe de récurrence, on déduit que : « Pour tout entier naturel n non nul, si a et b sont premiers entre eux et si a divise le produit alors a divise c ».

Partie B

> 1.a) Étudier les variations d’une fonction

Le polynôme f est dérivable sur . On a pour tout réel x: .

.

On en déduit que a le signe de , donc pour tout réel x, .

Par conséquent la fonction f est strictement croissante sur .

b) Démontrer qu’une équation admet une unique solution

  • La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1]. De plus et . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation qui est équivalente à l’équation (E) admet une unique solution sur ]0 ; 1[.
  • De plus pour tout réel , on a et donc ( f étant strictement croissante sur ).
  • Enfin pour tout réel , on a et donc ( f étant strictement croissante sur ).

Il s’ensuit que l’équation (E) admet une unique solution réelle telle que .

>2. Étudier l’existence d’une solution rationnelle d’une équation

a) Supposons que l’équation (E) admette une solution rationnelle p et q sont premiers entre eux. Les entiers p et q vérifient alors les égalités équivalentes suivantes :

Ainsi, les entiers p et q vérifient d’une part et d’autre part .

Ainsi p divise et comme p et q sont premiers entre eux, d’après le résultat établi à la partie A, on peut en conclure que p divise 3.

De plus q divise et comme p et q sont premiers entre eux, d’après le résultat établi à la partie A, on peut en conclure que q divise 4.

Par conséquent si (E) admet une solution rationnelle p et q sont premiers entre eux, alors p divise 3 et q divise 4.

b) Les rationnels qui vérifient ces conditions sont donc .

c) On a et donc la solution de l’équation (E) est rationnelle : c’est α = .

>3. Trouver trois réels par identification

Pour tout réel x, on a :

Or

Par identification des coefficients, il s’ensuit rapidement que a = b = c = 1.

>4. Résoudre une équation dans l’ensemble des nombres complexes et conclure

On a démontré à la question précédente que pour tout réel x on a : .

Résolvons dans l’équation (E′) du second degré : .

. L’équation (E′) admet donc deux solutions complexes conjuguées : et .

Par conséquent on en déduit que l’équation (E) : admet trois solutions dans  : deux solutions complexes et et une solution rationnelle .