SUJET COMPLET
France métropolitaine • Juin 2017
pchT_1706_07_01C
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France métropolitaine • Juin 2017
Exercice 2 • 11 points • ⏱ 1 h 50
Son et lumière
Les thèmes clés
Deuxième loi de Newton • Niveau d'intensité sonore
Pour obtenir un feu d'artifice qui produit son, lumière et fumée, on procède à l'éclatement d'une pièce pyrotechnique. Bien que produisant des effets différents, toutes ces pièces sont conçues selon le même principe. Un dispositif permet de projeter la pièce pyrotechnique vers le haut. Une fois que ce projectile a atteint la hauteur prévue par l'artificier, il éclate, créant l'effet « son et lumière » souhaité.
Le but de cet exercice est d'étudier la couleur observée, la trajectoire du projectile et le son émis.
Les caractéristiques de deux pièces pyrotechniques nommées « crackling R100 » et « marron d'air » sont consignées dans le tableau ci-dessous.
Caractéristiques constructeur | Crackling R100 | Marron d'air |
---|---|---|
Masse | 2,8 × 102 g | 40 g |
Vitesse initiale | 250 km ∙ h–1 | 200 km ∙ h–1 |
Niveau d'intensité sonore estimé à 15 m du point d'éclatement | Non renseigné | 120 dB |
Hauteur atteinte à l'éclatement | 120 m | 70 m |
Durée entre la mise à feu et l'éclatement | 3,2 s | 2,5 s |
Couleur de la lumière émise | Rouge (intense) | Blanc (peu intense) |
Distance de sécurité recommandée | 130 m | 95 m |
Données
Domaines de longueur d'onde de la lumière visible :
Couleur | Violet | Bleu | Vert | Jaune | Orange | Rouge |
Domaine de longueurs d'ondes en nm | 380-446 | 446-520 | 520-565 | 565-590 | 590-625 | 625-780 |
Constante de Planck : h = 6,63 × 10–34 J ∙ s.
La valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat.
1 eV = 1,60 × 10–19 J.
Intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m ∙ s–2.
Au cours de la propagation d'une onde et en l'absence d'atténuation, le niveau d'intensité sonore L diminue avec la distance d à la source S suivant la formule :
L2 = L1 + 20 log
où L2 est le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d2 de la source et L1 le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d1 de la source (voir schéma ci-contre).
Échelle des niveaux d'intensité sonore en décibel (dB) et risques auditifs associés :
1. Tout en couleur ⏱ 30 min
Les feux d'artifice émettent de la lumière. Les phénomènes mis en jeu sont notamment l'incandescence et l'émission atomique. Il y a tout d'abord l'incandescence des particules d'oxyde métallique, formées lors de la combustion, qui va du « blanc rouge » (aux alentours de 1 000 °C) au blanc éblouissant (vers 3 000 °C). Pour l'émission atomique, les électrons de l'atome sont excités thermiquement, ce qui leur permet de passer du niveau d'énergie fondamental à un niveau d'énergie supérieur au cours de leur retour vers le niveau d'énergie fondamental, l'énergie qu'ils avaient absorbée est émise sous forme de photons dont la longueur d'onde est caractéristique de l'atome.
https://www.ambafrance-cn.org/Feux-d-artifice-histoire-et-technologie
1 Le texte fait référence à deux processus d'émission de lumière. Citer chacun de ces processus et préciser, dans chaque cas, si le spectre de la lumière émise est un spectre de raies ou un spectre continu. (0,75 point)
2 Le « crackling R100 » est principalement composé de strontium. Les photons émis par le strontium sont responsables de la couleur perçue lors de l'éclatement du « crackling R100 ». Le tableau ci-dessous regroupe les énergies des photons émis par le strontium.
Photon 1 | Photon 2 | Photon 3 | |
---|---|---|---|
Énergie des photons (eV) | 1,753 | 1,802 | 1,825 |
Déterminer la couleur perçue lors de l'émission du photon 3. (1,5 point)
3 Sans effectuer de calcul supplémentaire, montrer que l'émission de ces trois photons permet d'expliquer la couleur de la lumière émise par le « crackling R100 ». (0,75 point)
2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques ⏱ 50 min
On s'intéresse au mouvement de la pièce pyrotechnique jusqu'à son éclatement dans un référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère (Ox, Oy). On étudie le mouvement d'un point M de la pièce « crackling R100 ». On prend l'instant du lancement comme origine des temps t = 0 s.
À cet instant, le vecteur vitesse initiale de M fait un angle α = 80° par rapport à l'horizontale (schéma ci-contre).
1 Donner les expressions littérales des coordonnées du vecteur en fonction de V0 et α. (0,5 point)
2 Montrer que, si on néglige toute action de l'air, le vecteur accélération de M noté est égal au vecteur champ de pesanteur dès que le projectile est lancé. (1 point)
3 Montrer alors que les équations horaires du mouvement de M sont :
xM(t) = 12,1t et yM(t) = – 4,91t2 + 68,4t
en exprimant xM(t) et yM(t) en mètres et le temps « t » en secondes. (2,5 points)
4 Dans le cadre de ce modèle, déterminer, à l'aide des équations horaires, l'altitude théorique atteinte par le projectile à t = 3,2 s. (0,5 point)
5 Sachant que l'éclatement se produit lors de la montée, expliquer l'écart entre cette valeur et celle annoncée par le constructeur. (0,5 point)
3. Le « marron d'air » ⏱ 30 min
Au début et à la fin de chaque feu d'artifice, les artificiers utilisent une pièce pyrotechnique appelée « marron d'air » pour obtenir une détonation brève et puissante. Désireux de l'envoyer le plus haut possible, ils effectuent un tir vertical avec une vitesse initiale vi. Par la suite, on suppose que la pièce n'éclate pas avant d'atteindre sa hauteur maximale h.
1 Dans l'hypothèse où l'énergie mécanique de la pièce pyrotechnique se conserve, montrer que la hauteur maximale h atteinte par cette pièce est donnée par la relation : (1 point)
h =
2 Déterminer la valeur de la hauteur maximale atteinte h. (0,5 point)
Remarque
Sur le schéma, les échelles de distances ne sont pas respectées.
3 En réalité, arrivé à une hauteur H de 70 m, le « marron d'air » éclate au point E et le son émis se propage dans toutes les directions de l'espace. Un artificier A se trouve à la distance l = 95 m, recommandée par le constructeur, du point de tir T du « marron d'air ». (Voir le schéma ci-après.)
Doit-on recommander à l'artificier le port d'un dispositif de protection auditive (casque, bouchons d'oreille…) ? Justifier par un calcul. (1,5 point)
Les clés du sujet
Partie 1
1 Revenez sur les notions de spectres lumineux continu ou discontinu étudiées en seconde et en première.
2 Utilisez la relation : E =
3 Servez-vous de la relation E = mais sans faire de calculs numériques.
Partie 2
1 Exprimez le cosinus de l'angle α à partir des côtés du triangle.
Partie 3
1 Si l'énergie mécanique est conservée alors elle conserve la même valeur. Calculez cette valeur pour t = 0 et au moment de l'explosion.
3 Calculez la distance entre l'artificier et le marron d'air au moment de l'explosion, puis utilisez la formule donnée entre la distance et le niveau sonore.
Corrigé
1. Tout en couleur
1 Connaître les spectres lumineux
Ce texte fait référence à l'émission par incandescence, qui est l'émission de la lumière lorsqu'un objet est chauffé à plusieurs centaines de degrés Celsius. Il s'agit d'une émission continue et son spectre est continu.
À l'inverse, le spectre de la seconde émission est discontinu. C'est un spectre de raies et c'est l'émission atomique.
2 Trouver la couleur d'une radiation
Le photon 3 possède une énergie égale à 1,825 eV, or l'énergie d'un photon est liée à sa longueur d'onde :
E =
Donc λ = , où E doit être exprimée en joules, donc la longueur d'onde du photon 3 est :
λ = 6,81 × 10–7 m = 681 nm
Or, d'après les documents fournis, une radiation de longueur d'onde comprise entre 625 nm et 780 nm est rouge.
3 Utiliser qualitativement une relation mathématique
Gagnez des points
Entraînez-vous à utiliser les formules mathématiques et les termes « proportionnel » et « inversement proportionnel ».
Les photons 1 et 2 ont des énergies inférieures à celle du photon 3. Or, d'après la relation utilisée à la question précédente, la longueur d'onde de la radiation est inversement proportionnelle à l'énergie du photon.
Les longueurs d'onde des photons 1 et 2 sont donc supérieures à celle du photon 3, ce qui veut dire supérieures à 381 nm. L'émission des photons 1 et 2 correspond alors soit à une lumière rouge, soit à une lumière infrarouge. Dans les deux cas, l'ensemble des trois radiations produit une lumière rouge.
2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques
1 Donner les coordonnées du vecteur vitesse
Dans un triangle rectangle, on peut calculer le cosinus et le sinus d'un angle α par les formules :
et
Donc, d'après le schéma ci-contre,
et
D'où on exprime les coordonnées du vecteur vitesse initiale :
2 Démontrer que =
Gagnez des points
Les démonstrations des questions 2 et 3 sont à connaître ! Elles valent beaucoup de points.
On définit la pièce pyrotechnique comme système. D'après l'énoncé, les actions de l'air sont négligées, donc seul le poids s'applique sur le système. On applique alors la deuxième loi de Newton en supposant le référentiel d'étude galiléen :
= =
Or = donc =
La masse de la pièce pyrotechnique étant constante :
= =
À retenir
correspond à la chute libre (système soumis uniquement à son poids).
Donc =
Par définition, = donc = .
3 Démontrer les équations horaires de la position
Par définition, = donc, par intégration, on trouve les équations horaires de la vitesse :
Or = a pour composantes :
Donc C1 = et C2 =
De plus, le vecteur vitesse étant la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on obtient, après intégration,
Or la position du système à l'instant t = 0 est l'origine du repère, donc C3 = C4 = 0. D'où :
Attention
Mettez votre calculatrice en « degrés ».
Calculons maintenant les coefficients de ces 2 équations en utilisant les unités données dans l'énoncé :
V0 = 250 km/h = = 69,4 m/s
d'où V0 cos α = 69,4 cos(80) = 12,1
V0 sin α = 69,4 sin(80) = 68,4
On retrouve effectivement :
xM(t) = 12,1t et yM(t) = – 4,91t2 + 68,4t.
4 Calculer une position à l'aide d'équations horaires
D'après l'équation horaire de la position verticale, on obtient à t = 3,2 s :
yM(3,2) = – 4,91 × 3,22 + 68,4 × 3,2 = 1,7 × 102 m
5 Critiquer un résultat de modélisation
La valeur annoncée par le constructeur (120 m) est nettement inférieure. Cela peut probablement s'expliquer par le fait d'avoir négligé les forces de frottements sur le système. Nous pouvons aussi remarquer que notre démonstration est vraie si la masse du système est constante or cela semble une hypothèse grossière pour une pièce pyrotechnique.
3. Le « marron d'air »
1 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique
À retenir
Lorsque les forces de frottement sont négligées, il y a conservation de l'énergie mécanique.
Si l'énergie mécanique est conservée et si nous notons th comme la durée pour atteindre le sommet de la trajectoire (moment de l'explosion), alors :
Em(0) = Em(th)
Or l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle donc on peut déduire :
Ec(0) + Epp(0) = Ec(th) + Epp(th)
Conseil
Mémorisez ce développement, car il est très classique !
En prenant l'altitude du point de lancement comme altitude à laquelle l'énergie potentielle de pesanteur est nulle, on obtient :
m × vi² + 0 = mv(th)² + mgh
De plus v(th) = 0 puisqu'au sommet de la trajectoire la vitesse du projectile est nulle. Nous avons alors :
mvi2 + 0 = 0 + mgh
D'où la relation demandée, en isolant h « à gauche », h =
2 Faire un calcul numérique
Attention
L'unité officielle de la vitesse est le mètre par seconde.
d'où h = = 157 m
La hauteur maximale est donc 157 mètres.
3 Résoudre un mini-problème sur le niveau sonore
Le problème ici est de calculer la valeur du niveau sonore entendu par l'artificier.
Pour cela, il nous faut déterminer la distance d2. Le schéma ci-dessous nous permet de la calculer facilement à l'aide du théorème de Pythagore.
D'après ce théorème, on a :
d2 =
Calculons, à l'aide de la relation donnée, le niveau sonore perçu à 118 m de l'éclatement du marron d'air :
L2 = L1 + 20 log
Ici, d1 = 15 m et L1 = 120 dB, car le tableau de données précise que le niveau d'intensité sonore à 15 m du point d'éclatement est 120 dB. D'où le niveau d'intensité sonore perçu par l'artificier :
L2 = 120 + 20 log = 102 dB
D'après l'échelle des niveaux sonores fournie, on peut conclure que le son perçu par l'artificier est difficilement supportable. Il faut donc recommander fortement le port d'un casque antibruit ou de bouchons d'oreille efficaces.