SUJET COMPLET

France métropolitaine • Juin 2017

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France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 2 • 11 points • ⏱ 1 h 50

Son et lumière

Les thèmes clés

Deuxième loi de Newton • Niveau d'intensité sonore

Pour obtenir un feu d'artifice qui produit son, lumière et fumée, on procède à l'éclatement d'une pièce pyrotechnique. Bien que produisant des effets différents, toutes ces pièces sont conçues selon le même principe. Un dispositif permet de projeter la pièce pyrotechnique vers le haut. Une fois que ce projectile a atteint la hauteur prévue par l'artificier, il éclate, créant l'effet « son et lumière » souhaité.

Le but de cet exercice est d'étudier la couleur observée, la trajectoire du projectile et le son émis.

Les caractéristiques de deux pièces pyrotechniques nommées « crackling R100 » et « marron d'air » sont consignées dans le tableau ci-dessous.

Caractéristiques constructeur	Crackling R100	Marron d'air
Masse	2,8 × 102 g	40 g
Vitesse initiale	250 km ∙ h–1	200 km ∙ h–1
Niveau d'intensité sonore estimé à 15 m du point d'éclatement	Non renseigné	120 dB
Hauteur atteinte à l'éclatement	120 m	70 m
Durée entre la mise à feu et l'éclatement	3,2 s	2,5 s
Couleur de la lumière émise	Rouge (intense)	Blanc (peu intense)
Distance de sécurité recommandée	130 m	95 m

Données

Domaines de longueur d'onde de la lumière visible :

Couleur

Violet

Bleu

Vert

Jaune

Orange

Rouge

Domaine de longueurs

d'ondes en nm

380-446

446-520

520-565

565-590

590-625

625-780

Constante de Planck : h = 6,63 × 10–34 J ∙ s.

La valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat.

1 eV = 1,60 × 10–19 J.

Intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m ∙ s–2.

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Au cours de la propagation d'une onde et en l'absence d'atténuation, le niveau d'intensité sonore L diminue avec la distance d à la source S suivant la formule :

L2 = L1 + 20 log $(\frac{d_{1}}{d_{2}})$

où L2 est le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d2 de la source et L1 le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d1 de la source (voir schéma ci-contre).

Échelle des niveaux d'intensité sonore en décibel (dB) et risques auditifs associés :

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1. Tout en couleur ⏱ 30 min

Les feux d'artifice émettent de la lumière. Les phénomènes mis en jeu sont notamment l'incandescence et l'émission atomique. Il y a tout d'abord l'incandescence des particules d'oxyde métallique, formées lors de la combustion, qui va du « blanc rouge » (aux alentours de 1 000 °C) au blanc éblouissant (vers 3 000 °C). Pour l'émission atomique, les électrons de l'atome sont excités thermiquement, ce qui leur permet de passer du niveau d'énergie fondamental à un niveau d'énergie supérieur au cours de leur retour vers le niveau d'énergie fondamental, l'énergie qu'ils avaient absorbée est émise sous forme de photons dont la longueur d'onde est caractéristique de l'atome.

https://www.ambafrance-cn.org/Feux-d-artifice-histoire-et-technologie

1 Le texte fait référence à deux processus d'émission de lumière. Citer chacun de ces processus et préciser, dans chaque cas, si le spectre de la lumière émise est un spectre de raies ou un spectre continu. (0,75 point)

2 Le « crackling R100 » est principalement composé de strontium. Les photons émis par le strontium sont responsables de la couleur perçue lors de l'éclatement du « crackling R100 ». Le tableau ci-dessous regroupe les énergies des photons émis par le strontium.

	Photon 1	Photon 2	Photon 3
Énergie des photons (eV)	1,753	1,802	1,825

Déterminer la couleur perçue lors de l'émission du photon 3. (1,5 point)

3 Sans effectuer de calcul supplémentaire, montrer que l'émission de ces trois photons permet d'expliquer la couleur de la lumière émise par le « crackling R100 ». (0,75 point)

2. Étude des trajectoires  des pièces pyrotechniques ⏱ 50 min

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On s'intéresse au mouvement de la pièce pyrotechnique jusqu'à son éclatement dans un référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère (Ox, Oy). On étudie le mouvement d'un point M de la pièce « crackling R100 ». On prend l'instant du lancement comme origine des temps t = 0 s.

À cet instant, le vecteur vitesse initiale $\vec{V_{0}}$ de M fait un angle α = 80° par rapport à l'horizontale (schéma ci-contre).

1 Donner les expressions littérales des coordonnées du vecteur $\vec{V_{0}}$ en fonction de V0 et α. (0,5 point)

2 Montrer que, si on néglige toute action de l'air, le vecteur accélération de M noté $\vec{a_{M}}$ est égal au vecteur champ de pesanteur $\vec{g}$ dès que le projectile est lancé. (1 point)

3 Montrer alors que les équations horaires du mouvement de M sont :

xM(t) = 12,1t et yM(t) = – 4,91t2 + 68,4t

en exprimant xM(t) et yM(t) en mètres et le temps « t » en secondes. (2,5 points)

4 Dans le cadre de ce modèle, déterminer, à l'aide des équations horaires, l'altitude théorique atteinte par le projectile à t = 3,2 s. (0,5 point)

5 Sachant que l'éclatement se produit lors de la montée, expliquer l'écart entre cette valeur et celle annoncée par le constructeur. (0,5 point)

3. Le « marron d'air » ⏱ 30 min

Au début et à la fin de chaque feu d'artifice, les artificiers utilisent une pièce pyrotechnique appelée « marron d'air » pour obtenir une détonation brève et puissante. Désireux de l'envoyer le plus haut possible, ils effectuent un tir vertical avec une vitesse initiale vi. Par la suite, on suppose que la pièce n'éclate pas avant d'atteindre sa hauteur maximale h.

1 Dans l'hypothèse où l'énergie mécanique de la pièce pyrotechnique se conserve, montrer que la hauteur maximale h atteinte par cette pièce est donnée par la relation : (1 point)

h = $\frac{v_{i}^{2}}{2 g}$

2 Déterminer la valeur de la hauteur maximale atteinte h. (0,5 point)

Remarque

Sur le schéma, les échelles de distances ne sont pas respectées.

3 En réalité, arrivé à une hauteur H de 70 m, le « marron d'air » éclate au point E et le son émis se propage dans toutes les directions de l'espace. Un artificier A se trouve à la distance l = 95 m, recommandée par le constructeur, du point de tir T du « marron d'air ». (Voir le schéma ci-après.)

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Doit-on recommander à l'artificier le port d'un dispositif de protection auditive (casque, bouchons d'oreille…) ? Justifier par un calcul. (1,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

1 Revenez sur les notions de spectres lumineux continu ou discontinu étudiées en seconde et en première.

2 Utilisez la relation : E = $\frac{h \times c}{λ}$

3 Servez-vous de la relation E = $\frac{h \times c}{λ}$ mais sans faire de calculs numériques.

Partie 2

1 Exprimez le cosinus de l'angle α à partir des côtés du triangle.

Partie 3

1 Si l'énergie mécanique est conservée alors elle conserve la même valeur. Calculez cette valeur pour t = 0 et au moment de l'explosion.

3 Calculez la distance entre l'artificier et le marron d'air au moment de l'explosion, puis utilisez la formule donnée entre la distance et le niveau sonore.

Corrigé

1. Tout en couleur

1 Connaître les spectres lumineux

Ce texte fait référence à l'émission par incandescence, qui est l'émission de la lumière lorsqu'un objet est chauffé à plusieurs centaines de degrés Celsius. Il s'agit d'une émission continue et son spectre est continu.

À l'inverse, le spectre de la seconde émission est discontinu. C'est un spectre de raies et c'est l'émission atomique.

2 Trouver la couleur d'une radiation

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Le photon 3 possède une énergie égale à 1,825 eV, or l'énergie d'un photon est liée à sa longueur d'onde :

E = $\frac{h \times c}{λ}$

Donc λ = $\frac{h \times c}{E}$ , où E doit être exprimée en joules, donc la longueur d'onde du photon 3 est :

λ = $\frac{6,63 \times 10^{- 34} \times 3,0 \times 10^{8}}{1,825 \times 1,6 \times 10^{- 19}} =$ 6,81 × 10–7 m = 681 nm

Or, d'après les documents fournis, une radiation de longueur d'onde comprise entre 625 nm et 780 nm est rouge.

3 Utiliser qualitativement une relation mathématique

Gagnez des points

Entraînez-vous à utiliser les formules mathématiques et les termes « proportionnel » et « inversement proportionnel ».

Les photons 1 et 2 ont des énergies inférieures à celle du photon 3. Or, d'après la relation utilisée à la question précédente, la longueur d'onde de la radiation est inversement proportionnelle à l'énergie du photon.

Les longueurs d'onde des photons 1 et 2 sont donc supérieures à celle du photon 3, ce qui veut dire supérieures à 381 nm. L'émission des photons 1 et 2 correspond alors soit à une lumière rouge, soit à une lumière infrarouge. Dans les deux cas, l'ensemble des trois radiations produit une lumière rouge.

2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques

1 Donner les coordonnées du vecteur vitesse

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Dans un triangle rectangle, on peut calculer le cosinus et le sinus d'un angle α par les formules :

$\cos α = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}$ et $\sin α = \frac{côté opposé}{hypoténuse}$

Donc, d'après le schéma ci-contre,

$\cos α = \frac{V_{0 x}}{V_{0}}$ et $\sin α = \frac{V_{0 y}}{V_{0}}$

D'où on exprime les coordonnées du vecteur vitesse initiale : $\vec{V_{0}} (\begin{matrix} V_{0 x} = V_{0} \cos α \\ V_{0 y} = V_{0} \sin α \end{matrix})$

2 Démontrer que $\vec{a}$ = $\vec{g}$

Gagnez des points

Les démonstrations des questions 2 et 3 sont à connaître ! Elles valent beaucoup de points.

On définit la pièce pyrotechnique comme système. D'après l'énoncé, les actions de l'air sont négligées, donc seul le poids s'applique sur le système. On applique alors la deuxième loi de Newton en supposant le référentiel d'étude galiléen :

$\sum^{} {\vec{f}}_{ext}$ = $\frac{d \vec{p}}{d t}$ = $\vec{P}$

Or $\vec{P}$ = $m \vec{g}$ donc $\frac{d \vec{p}}{d t}$ = $m \vec{g}$

La masse de la pièce pyrotechnique étant constante :

$\frac{d \vec{p}}{d t}$ = $\frac{d m \vec{v}}{d t}$ = $m \frac{d \vec{v}}{d t}$

À retenir

$\vec{a} = \vec{g}$ correspond à la chute libre (système soumis uniquement à son poids).

Donc $\frac{d \vec{v}}{d t}$ = $\vec{g}$

Par définition, $\vec{a_{M}}$ = $\frac{d \vec{v}}{d t}$ donc $\vec{a_{M}}$ = $\vec{g}$ .

3 Démontrer les équations horaires de la position

Par définition, $\vec{a}$ = $\frac{d \vec{v}}{d t}$ donc, par intégration, on trouve les équations horaires de la vitesse :

${\begin{cases} v_{x} = C_{1} \\ v_{y} = - g t + C_{2} \end{cases}$

Or $\vec{v (0)}$ = ${\vec{V}}_{0}$ a pour composantes :

${\begin{cases} v_{0 x} = V_{0} \cos α \\ v_{0 y} = V_{0} \sin α \end{cases}$

Donc C1 = $V_{0} \cos α$ et C2 = $V_{0} \sin α .$

De plus, le vecteur vitesse étant la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on obtient, après intégration,

${\begin{cases} x = (V_{0} \cos α) t + C_{3} \\ y = - \frac{1}{2} g t^{2} + (V_{0} \sin α) t + C_{4} \end{cases}$

Or la position du système à l'instant t = 0 est l'origine du repère, donc C3 = C4 = 0. D'où :

${\begin{cases} x_{M} (t) = (V_{0} \cos α) t \\ y_{M} (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + (V_{0} \sin α) t \end{cases}$

Attention

Mettez votre calculatrice en « degrés ».

Calculons maintenant les coefficients de ces 2 équations en utilisant les unités données dans l'énoncé :

V0 = 250 km/h = $\frac{250}{3,6}$ = 69,4 m/s

d'où V0 cos α = 69,4 cos(80) = 12,1

V0 sin α = 69,4 sin(80) = 68,4

On retrouve effectivement :

xM(t) = 12,1t et yM(t) = – 4,91t2 + 68,4t.

4 Calculer une position à l'aide d'équations horaires

D'après l'équation horaire de la position verticale, on obtient à t = 3,2 s :

yM(3,2) = – 4,91 × 3,22 + 68,4 × 3,2 = 1,7 × 102 m

5 Critiquer un résultat de modélisation

La valeur annoncée par le constructeur (120 m) est nettement inférieure. Cela peut probablement s'expliquer par le fait d'avoir négligé les forces de frottements sur le système. Nous pouvons aussi remarquer que notre démonstration est vraie si la masse du système est constante or cela semble une hypothèse grossière pour une pièce pyrotechnique.

3. Le « marron d'air »

1 Utiliser la conservation de l'énergie mécanique

À retenir

Lorsque les forces de frottement sont négligées, il y a conservation de l'énergie mécanique.

Si l'énergie mécanique est conservée et si nous notons th comme la durée pour atteindre le sommet de la trajectoire (moment de l'explosion), alors :

Em(0) = Em(th)

Or l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle donc on peut déduire :

Ec(0) + Epp(0) = Ec(th) + Epp(th)

Conseil

Mémorisez ce développement, car il est très classique !

En prenant l'altitude du point de lancement comme altitude à laquelle l'énergie potentielle de pesanteur est nulle, on obtient :

$\frac{1}{2}$ m × vi² + 0 = $\frac{1}{2}$ mv(th)² + mgh

De plus v(th) = 0 puisqu'au sommet de la trajectoire la vitesse du projectile est nulle. Nous avons alors :

$\frac{1}{2}$ mvi2 + 0 = 0 + mgh

D'où la relation demandée, en isolant h « à gauche », h = $\frac{v_{i}^{2}}{2 g}$

2 Faire un calcul numérique

Attention

L'unité officielle de la vitesse est le mètre par seconde.

$v_{i} = 200 km/h = \frac{200}{3,6} = 55,6 m/s$

d'où h = $\frac{v_{i}^{2}}{2 g} = \frac{{55,6}^{2}}{2 \times 9,81}$ = 157 m

La hauteur maximale est donc 157 mètres.

3 Résoudre un mini-problème sur le niveau sonore

Le problème ici est de calculer la valeur du niveau sonore entendu par l'artificier.

Pour cela, il nous faut déterminer la distance d2. Le schéma ci-dessous nous permet de la calculer facilement à l'aide du théorème de Pythagore.

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D'après ce théorème, on a :

d2 = $\sqrt[]{H^{2} + l^{2}} = \sqrt[]{70^{2} + 95^{2}} = 118 m$

Calculons, à l'aide de la relation donnée, le niveau sonore perçu à 118 m de l'éclatement du marron d'air :