Partie 1. Tout en couleur

▶ 1. Connaître les spectres lumineux

Ce texte fait référence à l'émission par incandescence, qui est l'émission de la lumière lorsqu'un objet est chauffé à plusieurs centaines de degrés Celsius. Il s'agit d'une émission continue et son spectre est continu.

À l'inverse, le spectre de la seconde émission est discontinu. C'est un spectre de raies et c'est l'émission atomique.

▶ 2. Trouver la couleur d'une radiation

Le photon 3 possède une énergie égale à 1,825 eV, or l'énergie d'un photon est liée à sa longueur d'onde par la relation : E = $\frac{\text{h}\times \text{c}}{\text{λ}}$.

Ainsi, λ = $\frac{\text{h}\times \text{c}}{E}$, où E doit être exprimée en joules.

La longueur d'onde du photon 3 est donc :

$\begin{array}{c}\text{λ}=\frac{\text{6,63 }\times {10}^{-34}\times \text{ 3,0 }\times {10}^8}{\text{1,825 }\times \text{ 1,6 }\times {10}^{-19}}\\ =\text{6,81}\times {\text{10}}^{–\text{7}}\text{m = 681}\text{nm}\end{array}$

D'après les documents fournis, une radiation de longueur d'onde comprise entre 625 nm et 780 nm est rouge.

▶ 3. Utiliser qualitativement une relation mathématique

Les photons 1 et 2 ont des énergies inférieures à celle du photon 3. Or, d'après la relation utilisée à la question précédente, la longueur d'onde de la radiation est inversement proportionnelle à l'énergie du photon.

Les longueurs d'onde des photons 1 et 2 sont donc supérieures à celle du photon 3, ce qui veut dire supérieures à 381 nm. L'émission des photons 1 et 2 correspond alors soit à une lumière rouge, soit à une lumière infrarouge. Dans les deux cas, l'ensemble des trois radiations produit une lumière rouge.

Partie 2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques

▶ 1. Donner les coordonnées du vecteur vitesse

Dans un triangle rectangle, on peut calculer le cosinus et le sinus d'un angle α par les formules :

$\cos \text{α}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin \text{α}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

Donc, d'après le schéma ci-dessous :

$\cos \text{α}=\frac{V_{0\text{x}}}{V_0}$ et $\sin \text{α}=\frac{V_{0\text{y}}}{V_0}$.

D'où on exprime les coordonnées du vecteur vitesse initiale : $V_{0\text{x}}=V_0\cos \text{α}$ et $V_{0\text{y}}=V_0\sin \text{α}$.

▶ 2. Démontrer que $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{g}$

On définit la pièce pyrotechnique comme système. D'après l'énoncé, les actions de l'air sont négligées, donc seul le poids $\overrightarrow{P}$ s'applique sur le système.

On applique alors la deuxième loi de Newton en supposant galiléen le référentiel d'étude :

${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\overrightarrow{f}}_{\text{ext}}$ = $\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$ = $\overrightarrow{P}$ d'où $\overrightarrow{P}$ est le vecteur impulsion.

Or $\overrightarrow{P}$ = $m\overrightarrow{g}$ donc $\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$ = $m\overrightarrow{g}$

La masse m de la pièce pyrotechnique étant constante :

$\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$ = $\frac{\text{d(}m\overrightarrow{v})}{\text{d}t}$ = $m\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ = $\overrightarrow{g}$.

Par définition, $\overrightarrow{a_{\text{M}}}$ = $\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\overrightarrow{a_{\text{M}}}=\overrightarrow{g}$.

▶ 3. Démontrer les équations horaires de la position

Par intégration de $\overrightarrow{a}$ = $\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$, on trouve les équations horaires de la vitesse selon chaque axe :

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{\text{x}}=C_1\\ v_{\text{y}}=-gt+C_2\end{array}\right.$

Or $\overrightarrow{v\left(0\right)}$ = ${\overrightarrow{V}}_0$ a pour composantes :

$\left\{\begin{array}{l}{v}_{0\text{x}}=V_0\cos \text{α}\\ v_{\text{0y}}=V_0\sin \text{α}\end{array}\right.$

Ainsi, on trouve : C₁ = $V_0\cos \text{α}$ et C₂ = $V_0\sin \text{α}.$

Donc $v_{\text{x}}=V_0\cos \text{α}$ et $v_{\text{y}}=-gt+V_0\sin \text{α}$.

Le vecteur vitesse étant la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on obtient après intégration :

$\{\begin{array}{l}x=(V_0\cos \text{α})t+C_3\\ y=–\frac{1}{2}g{t}^2+(V_0\sin \text{α})t+C_4\end{array}$ où C₃ et C₄ sont des constantes.

La position du système à l'instant t = 0 étant l'origine du repère, C₃ = C₄ = 0. D'où :

$\{\begin{array}{l}{x}_{\text{M}}(t)=(V_0\cos \text{α})t\\ y_{\text{M}}(t)=–\frac{1}{2}g{t}^2+(V_0\sin \text{α})t\end{array}$

Calculons maintenant les valeurs des coefficients de ces 2 équations en utilisant les unités données dans l'énoncé.

V₀ = 250 km · h^–1 = $\frac{250}{\mathrm{3,6}}$ = 69,4 m · s^–1

d'où V₀ cos α = 69,4 cos(80) = 12,1

et V₀ sin α = 69,4 sin(80) = 68,4.

On retrouve effectivement :

x_M(t) = 12,1t et y_M(t) = – 4,91t² + 68,4t.

▶ 4. Calculer une position à l'aide d'équations horaires

D'après l'équation horaire de la position verticale y_M(t), on obtient à t = 3,2 s : y_M(3,2) = – 4,91 × 3,2² + 68,4 × 3,2 = 1,7 × 10² m.

▶ 5. Critiquer un résultat de modélisation

La valeur annoncée par le constructeur (120 m) est nettement inférieure. Cela peut probablement s'expliquer par le fait que nous avons ici négligé les forces de frottements sur le système.

Nous pouvons aussi remarquer que notre démonstration est vraie si la masse du système est constante or cela semble une hypothèse grossière pour une pièce pyrotechnique.

Partie 3. Le « marron d'air »

▶ 1. Utiliser la conservation de l'énergie mécanique

Si l'énergie mécanique est conservée et si nous notons t_h comme la durée pour atteindre le sommet de la trajectoire (moment de l'explosion), alors :

E_m(0) = E_m(t_h).

Or l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, donc :

E_c(0) + E_pp(0) = E_c(t_h) + E_pp(t_h).

En prenant l'altitude du point de lancement comme altitude à laquelle l'énergie potentielle de pesanteur est nulle E_pp(0), on obtient :

$\frac{1}{2}$m × v_i² + 0 = $\frac{1}{2}$mv(t_h)² + mgh

De plus v(t_h) = 0 puisqu'au sommet de la trajectoire la vitesse du projectile est initialement nulle. Nous avons alors :

$\frac{1}{2}$mv_i² + 0 = 0 + mgh

D'où la relation demandée, en isolant h « à gauche », h = $\frac{v_{\text{i}}^2}{2g}$.

▶ 2. Faire un calcul numérique

$v_{\text{i}}=200\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}=\frac{200}{\mathrm{3,6}}=\mathrm{55,6}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

d'où h = $\frac{v_{\text{i}}^2}{2g}=\frac{{\mathrm{55,6}}^2}{\text{2}\times \text{9,81}}$ = 157 m.

La hauteur maximale est donc 157 mètres.

▶ 3. Résoudre un mini-problème sur le niveau sonore

Le problème ici est de calculer la valeur du niveau sonore entendu par l'artificier.

Pour cela, il nous faut déterminer la distance d₂. Le schéma ci-dessous nous permet de la calculer facilement à l'aide du théorème de Pythagore.

D'après ce théorème, on a :

d₂ = $\sqrt[]{H^2+{\mathcal{l}}^2}=\sqrt[]{{70}^2+{95}^2}=\text{118 m}$.

Calculons, à l'aide de la relation donnée, le niveau sonore perçu à 118 m de l'éclatement du marron d'air :

L₂ = L₁ + 20 log $\left(\frac{d_1}{d_2}\right)$

Ici, d₁ = 15 m et L₁ = 120 dB (le tableau de données précise que le niveau d'intensité sonore à 15 m du point d'éclatement est 120 dB).

Le niveau d'intensité sonore perçu par l'artificier est donc :

L₂ = 120 + 20 log $\left(\frac{15}{118}\right)$ = 102 dB.

D'après l'échelle des niveaux sonores fournie, on peut conclure que le son perçu par l'artificier est difficilement supportable. Il faut donc fortement recommander le port d'un casque antibruit ou de bouchons d'oreille efficaces.