Annale corrigée Exercice

Son et lumière

Le mouvement

Son et lumière

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Propulsée vers le ciel, une pièce de feu d'artifice doit atteindre la bonne altitude, puis « claquer » en faisant du bruit et en émettant une couleur précise. Autant de paramètres qui se calculent, pour le plaisir des spectateurs et la sécurité de tous !

 

Pour obtenir un feu d'artifice qui produit son, lumière et fumée, on procède à l'éclatement d'une pièce pyrotechnique. Bien que produisant des effets différents, toutes ces pièces sont conçues selon le même principe. Un dispositif permet de projeter la pièce pyrotechnique vers le haut. Une fois que ce projectile a atteint la hauteur prévue par l'artificier, il éclate, créant l'effet « son et lumière » souhaité.

Le but de cet exercice est d'étudier la couleur observée, la trajectoire du projectile et le son émis.

Les caractéristiques de deux pièces pyrotechniques nommées « crackling R100 » et « marron d'air » sont consignées dans le tableau ci-dessous.

Tableau de 8 lignes, 3 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Caractéristiques constructeur;Crackling R100;Marron d'air;Corps du tableau de 7 lignes ;Ligne 1 : Masse; 2,8 × 102 g; 40 g; Ligne 2 : Vitesse initiale; 250 km ∙ h–1; 200 km ∙ h–1; Ligne 3 : Niveau d'intensité sonore estimé à 15 m du point d'éclatement; Non renseigné; 120 dB; Ligne 4 : Hauteur atteinte à l'éclatement; 120 m; 70 m; Ligne 5 : Durée entre la mise à feu et l'éclatement; 3,2 s; 2,5 s; Ligne 6 : Couleur de la lumière émise; Rouge (intense); Blanc (peu intense); Ligne 7 : Distance de sécurité recommandée; 130 m; 95 m;

Données

Domaines de longueur d'onde de la lumière visible :

Tableau de 2 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Couleur; Violet; Bleu; Vert; Jaune; Orange; Rouge; Ligne 2 : Domaine de longueursd'ondes en nm; 380-446; 446-520; 520-565; 565-590; 590-625; 625-780;

Constante de Planck : h = 6,63 × 10–34 J ∙ s.

La valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat.

1 eV = 1,60 × 10–19 J.

Intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m ∙ s–2.

pchT_1706_07_01C_01

Au cours de la propagation d'une onde et en l'absence d'atténuation, le niveau d'intensité sonore L diminue avec la distance d à la source S suivant la formule :

L2 = L1 + 20 logd1d2

L2 est le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d2 de la source et L1 le niveau d'intensité sonore mesuré à la distance d1 de la source (voir schéma ci-dessous).

Échelle des niveaux d'intensité sonore en décibel (dB) et risques auditifs associés :

pchT_1706_07_01C_01bis

Partie 1. Tout en couleur 30 min

Les feux d'artifice émettent de la lumière. Les phénomènes mis en jeu sont notamment l'incandescence et l'émission atomique. Il y a tout d'abord l'incandescence des particules d'oxyde métallique, formées lors de la combustion, qui va du « blanc rouge » (aux alentours de 1 000 °C) au blanc éblouissant (vers 3 000 °C). Pour l'émission atomique, les électrons de l'atome sont excités thermiquement, ce qui leur permet de passer du niveau d'énergie fondamental à un niveau d'énergie supérieur ; au cours de leur retour vers le niveau d'énergie fondamental, l'énergie qu'ils avaient absorbée est émise sous forme de photons dont la longueur d'onde est caractéristique de l'atome.

www.ambafrance-cn.org

1. Le texte fait référence à deux processus d'émission de lumière. Citer chacun de ces processus et préciser, dans chaque cas, si le spectre de la lumière émise est un spectre de raies ou un spectre continu. (0,75 point)

2. Le « crackling R100 » est principalement composé de strontium. Les photons émis par le strontium sont responsables de la couleur perçue lors de l'éclatement du « crackling R100 ». Le tableau ci-dessous regroupe les énergies des photons émis par le strontium.

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;Photon 1;Photon 2;Photon 3;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Énergie des photons (en eV); 1,753; 1,802; 1,825;

Déterminer la couleur perçue lors de l'émission du photon 3. (1,5 point)

3. Sans effectuer de calcul supplémentaire, montrer que l'émission de ces trois photons permet d'expliquer la couleur de la lumière émise par le « crackling R100 ». (0,75 point)

Partie 2. Étude des trajectoires
des pièces pyrotechniques 50 min

pchT_1706_07_01C_02

On s'intéresse au mouvement de la pièce pyrotechnique jusqu'à son éclatement dans un référentiel terrestre supposé galiléen muni d'un repère (Ox, Oy). On étudie le mouvement d'un point M de la pièce « crackling R100 ». On prend l'instant du lancement comme origine des temps = 0 s.

À cet instant, le vecteur vitesse initiale V0 de M fait un angle α = 80° par rapport à l'horizontale (schéma ci-dessous).

1. Donner les expressions littérales des coordonnées du vecteur V0 en fonction de V0 et α. (0,5 point)

2. Montrer que, si on néglige toute action de l'air, le vecteur accélération de M noté aM est égal au vecteur champ de pesanteur g dès que le projectile est lancé. (1 point)

3. Montrer alors que les équations horaires du mouvement de M sont :

xM(t) = 12,1t et yM(t) = – 4,91t2 + 68,4t

en exprimant xM(t) et yM(t) en mètres et le temps « » en secondes. (2,5 points)

4. Dans le cadre de ce modèle, déterminer, à l'aide des équations horaires, l'altitude théorique atteinte par le projectile à t = 3,2 s. (0,5 point)

5. Sachant que l'éclatement se produit lors de la montée, expliquer l'écart entre cette valeur et celle annoncée par le constructeur. (0,5 point)

Partie 3. Le « marron d'air » 30 min

Au début et à la fin de chaque feu d'artifice, les artificiers utilisent une pièce pyrotechnique appelée « marron d'air » pour obtenir une détonation brève et puissante. Désireux de l'envoyer le plus haut possible, ils effectuent un tir vertical avec une vitesse initiale vi. Par la suite, on suppose que la pièce n'éclate pas avant d'atteindre sa hauteur maximale h.

1. Dans l'hypothèse où l'énergie mécanique de la pièce pyrotechnique se conserve, montrer que la hauteur maximale h atteinte par cette pièce est donnée par la relation : (1 point)

h = vi22g

2. Déterminer la valeur de la hauteur maximale atteinte h. (0,5 point)

3. En réalité, arrivé à une hauteur H de 70 m, le « marron d'air » éclate au point E et le son émis se propage dans toutes les directions de l'espace. Un artificier A se trouve à la distance l = 95 m, recommandée par le constructeur, du point de tir T du « marron d'air ». (Voir le schéma ci-après.)

pchT_1706_07_01C_03

Sur le schéma, les échelles de distances ne sont pas respectées.

Doit-on recommander à l'artificier le port d'un dispositif de protection auditive (casque, bouchons d'oreille…) ? Justifier par un calcul. (1,5 point)

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

pchT_2000_00_02C_01

Les conseils du correcteur

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Tout en couleur; ▶ 1. Revenez sur les notions de spectres lumineux continu ou discontinu étudiées en seconde et en première.▶ 2. Utilisez la relation E = h×cλ⋅▶ 3. Servez-vous de la relation E = h×cλ mais sans faire de calculs numériques.; Ligne 2 : Partie 2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques; ▶ 1. Exprimez cosinus et sinus de l'angle α à partir des côtés du triangle formé par le vecteur V0→ et les axes du repère choisi.; Ligne 3 : Partie 3. Le « marron d'air »; ▶ 1. Si l'énergie mécanique est conservée, elle garde la même valeur. Calculez cette valeur pour t = 0 s et au moment de l'explosion.▶ 3. Calculez la distance entre l'artificier et le marron d'air au moment de l'explosion, puis utilisez la formule donnée entre la distance et le niveau sonore.;

Partie 1. Tout en couleur

1. Connaître les spectres lumineux

Ce texte fait référence à l'émission par incandescence, qui est l'émission de la lumière lorsqu'un objet est chauffé à plusieurs centaines de degrés Celsius. Il s'agit d'une émission continue et son spectre est continu.

À l'inverse, le spectre de la seconde émission est discontinu. C'est un spectre de raies et c'est l'émission atomique.

2. Trouver la couleur d'une radiation

Le photon 3 possède une énergie égale à 1,825 eV, or l'énergie d'un photon est liée à sa longueur d'onde par la relation : E = h×cλ.

Ainsi, λ = h×cE, où E doit être exprimée en joules.

La longueur d'onde du photon 3 est donc :

pchT_1706_07_01C_04

λ=6,63 × 1034 × 3,0 × 1081,825 × 1,6 × 1019=6,81×107m = 681nm

D'après les documents fournis, une radiation de longueur d'onde comprise entre 625 nm et 780 nm est rouge.

3. Utiliser qualitativement une relation mathématique

à noter

Entraînez-vous à utiliser les formules mathématiques et les termes « proportionnel » et « inversement proportionnel ».

Les photons 1 et 2 ont des énergies inférieures à celle du photon 3. Or, d'après la relation utilisée à la question précédente, la longueur d'onde de la radiation est inversement proportionnelle à l'énergie du photon.

Les longueurs d'onde des photons 1 et 2 sont donc supérieures à celle du photon 3, ce qui veut dire supérieures à 381 nm. L'émission des photons 1 et 2 correspond alors soit à une lumière rouge, soit à une lumière infrarouge. Dans les deux cas, l'ensemble des trois radiations produit une lumière rouge.

Partie 2. Étude des trajectoires des pièces pyrotechniques

1. Donner les coordonnées du vecteur vitesse

pchT_1706_07_01C_05

Dans un triangle rectangle, on peut calculer le cosinus et le sinus d'un angle α par les formules :

cosα=côté adjacenthypoténuse et sinα=côté opposéhypoténuse

Donc, d'après le schéma ci-dessous :

cosα=V0xV0 et sinα=V0yV0.

D'où on exprime les coordonnées du vecteur vitesse initiale : V0x=V0cosα et V0y=V0sinα.

2. Démontrer que a = g

attention

Les démonstrations des questions 2 et 3 sont à connaître ! Elles valent beaucoup de points.

On définit la pièce pyrotechnique comme système. D'après l'énoncé, les actions de l'air sont négligées, donc seul le poids P s'applique sur le système.

On applique alors la deuxième loi de Newton en supposant galiléen le référentiel d'étude :

fext = dpdt = P d'où P est le vecteur impulsion.

Or P = mg donc dpdt = mg

La masse m de la pièce pyrotechnique étant constante :

à noter

a=g correspond à la chute libre (système soumis uniquement à son poids).

dpdt = d(mv)dt = mdvdt donc dvdt = g.

Par définition, aM = dvdt donc aM=g.

3. Démontrer les équations horaires de la position

Par intégration de a = dvdt, on trouve les équations horaires de la vitesse selon chaque axe :

vx=C1vy=gt+ C2

Or v0 = V0 a pour composantes :

v0x=V0cosα v0y=V0sinα

Ainsi, on trouve : C1 = V0cosα et C2 = V0sinα.

Donc vx=V0cosα et vy=gt+V0sinα.

Le vecteur vitesse étant la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on obtient après intégration :

{x=(V0cosα)t+C3y=12gt2+(V0sinα)t+C4C3 et C4 sont des constantes.

La position du système à l'instant t = 0 étant l'origine du repère, C3 = C4 = 0. D'où :

{xM(t)=(V0cosα)tyM(t)=12gt2+(V0sinα)t

attention

Mettez votre calculatrice en « degrés ».

Le résultat montré ici est l'erreur commise si votre calculatrice est en radians :

pchT_1706_07_01C_06

Calculons maintenant les valeurs des coefficients de ces 2 équations en utilisant les unités données dans l'énoncé.

V0 = 250 km · h–1 = 2503,6 = 69,4 m · s–1

d'où V0 cos α = 69,4 cos(80) = 12,1

et V0 sin α = 69,4 sin(80) = 68,4.

On retrouve effectivement :

xM(t= 12,1tetyM(t= – 4,91t2 + 68,4t.

4. Calculer une position à l'aide d'équations horaires

D'après l'équation horaire de la position verticale yM(t), on obtient à = 3,2 s : yM(3,2) = – 4,91 × 3,22 + 68,4 × 3,2 = 1,7 × 102 m.

5. Critiquer un résultat de modélisation

La valeur annoncée par le constructeur (120 m) est nettement inférieure. Cela peut probablement s'expliquer par le fait que nous avons ici négligé les forces de frottements sur le système.

Nous pouvons aussi remarquer que notre démonstration est vraie si la masse du système est constante or cela semble une hypothèse grossière pour une pièce pyrotechnique.

Partie 3. Le « marron d'air »

1. Utiliser la conservation de l'énergie mécanique

à noter

Lorsque les forces de frottement sont négligées, il y a conservation de l'énergie mécanique.

Si l'énergie mécanique est conservée et si nous notons th comme la durée pour atteindre le sommet de la trajectoire (moment de l'explosion), alors :

Em(0) = Em(th).

Or l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, donc :

Ec(0) + Epp(0) = Ec(th) + Epp(th).

attention

Mémorisez ce développement, car il est très classique !

En prenant l'altitude du point de lancement comme altitude à laquelle l'énergie potentielle de pesanteur est nulle Epp(0), on obtient :

12m × vi² + 0 = 12mv(th)² + mgh

De plus v(th) = 0 puisqu'au sommet de la trajectoire la vitesse du projectile est initialement nulle. Nous avons alors :

12mvi2 + 0 = 0 + mgh

D'où la relation demandée, en isolant h « à gauche », h = vi22g.

2. Faire un calcul numérique

attention

L'unité officielle de la vitesse est le mètre par seconde.

vi=200kmh1=2003,6=55,6ms1

d'où h = vi22g=55,622×9,81 = 157 m.

La hauteur maximale est donc 157 mètres.

3. Résoudre un mini-problème sur le niveau sonore

Le problème ici est de calculer la valeur du niveau sonore entendu par l'artificier.

Pour cela, il nous faut déterminer la distance d2. Le schéma ci-dessous nous permet de la calculer facilement à l'aide du théorème de Pythagore.

pchT_1706_07_01C_07

D'après ce théorème, on a :

d2 = H2+l2= 702+952=118 m.

Calculons, à l'aide de la relation donnée, le niveau sonore perçu à 118 m de l'éclatement du marron d'air :

L2 = L1 + 20 log (d1d2)

Ici, d1 = 15 m et L1 = 120 dB (le tableau de données précise que le niveau d'intensité sonore à 15 m du point d'éclatement est 120 dB).

Le niveau d'intensité sonore perçu par l'artificier est donc :

L2 = 120 + 20 log (15118) = 102 dB.

D'après l'échelle des niveaux sonores fournie, on peut conclure que le son perçu par l'artificier est difficilement supportable. Il faut donc fortement recommander le port d'un casque antibruit ou de bouchons d'oreille efficaces.

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