Sondage auprès d’étudiants

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sondage auprès d’étudiants
 
 

Inervalles de fluctuation et de confiance

Corrigé

37

Ens. spécifique

matT_1306_04_10C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 2 • 5 points

Partie A

Soient n un entier naturel, p un nombre réel compris entre 0 et 1, et Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. On note et f une valeur prise par Fn.

On rappelle que, pour n assez grand, l’intervalle contient la fréquence f avec une probabilité au moins égale à 0,95.

En déduire que l’intervalle contient p avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Partie B

On cherche à étudier le nombre d’étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF.

Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées A, B et C, la bonne réponse étant la A.

On note r la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond A, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

>1. On interroge un étudiant au hasard.

On note :

A l’événement « l’étudiant répond A » ;

B l’événement « l’étudiant répond B » ;

C l’événement « l’étudiant répond C » ;

R l’événement « l’étudiant connaît la réponse » ;

l’événement contraire de R.

a) Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

b) Montrer que la probabilité de l’événement A est .

c) Exprimer en fonction de r la probabilité qu’une personne ayant choisi A connaisse la bonne réponse.

>2. Pour estimer r, on interroge 400 personnes et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu’interroger au hasard 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400 étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants.

a) Donner la loi de X et ses paramètres n et p en fonction de r.

b) Dans un premier sondage, on constate que 240 étudiants répondent A, parmi les 400 interrogés.

Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l’estimation de p.

En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de r.

c) Dans la suite, on suppose que r = 0,4. Compte-tenu du grand nombre d’étudiants, on considérera que X suit une loi normale.

  • Donner les paramètres de cette loi normale.
  • Donner une valeur approchée de P(X  250) à 10−2 près.

On pourra s’aider de la table en annexe, qui donne une valeur approchée de P(X t) où X est la variable aléatoire de la question 2.c).

Annexe

Extrait d’une feuille de calcul

 

Exemple d’utilisation : au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre 0,706 correspond à P(X  245,3).

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi binomiale • Intervalle de confiance • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Conditionnement et probabilité  E35 • E37 Partie B, 1. b) et 1. c)
  • Loi binomiale  E39 Partie B, 2. a)
  • Intervalle de confiance  E44 Partie B, 2. b)
  • Probabilité d’un événement et loi normale  E40a • E40e  → Partie B, 1. et 2.

Calculatrice

Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  C3 Partie B, 2. c)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. b) Exprimez P(A) à l’aide de l’arbre pondéré en suivant les chemins et

>2. b) Préciser la fréquence observée de bonnes réponses sur l’échantillon considéré.

Justifiez que les conditions sur n (taille de l’échantillon) et f sont vérifiées, puis déterminez l’intervalle de confiance correspondant. Utilisez la relation entre et pour conclure.

Corrigé

Partie A

Travailler par équivalence sur des inégalités

D’après le rappel, pour assez grand, nous avons , désignant la variable aléatoire fréquence.

Or, pour toute valeur prise par la variable aléatoire

Par suite,

Pour assez grand, l’intervalle contient donc avec une probabilité au moins égale à 0,95.

Partie B

>1.a) Construire un arbre pondéré

  • « On note r la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse » donc P(R) =r.
  • Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1, .
  • « Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond A » donc .
  • « Sinon il répond au hasard (de façon équiprobable) » donc .
  • Nous obtenons ainsi l’arbre pondéré suivant.

 

b) Déterminer une probabilité à l’aide d’un arbre

À l’aide de l’arbre pondéré, nous avons :

DoncP(A).

c) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’une personne ayant choisi A connaisse la bonne réponse est la probabilité . Par définition d’une probabilité conditionnelle,

>2.a) Déterminer une loi de probabilité

Nous avons une épreuve de Bernoulli.

  • Nous interrogeons une personne : la réponse est correcte (« succès ») ou la réponse n’est pas correcte (« échec »). D’après la question 1. b), la probabilité qu’une personne interrogée réponde correctement à la question posée (soit la réponse A) est :
  • Nous répétons 400 fois cette épreuve (épreuves identiques). De plus, comme interroger 400 étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de 400 étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants, ces épreuves sont indépendantes.

La variable aléatoire X qui, à 400 étudiants interrogés, associe le nombre de bonnes réponses fournies au questionnaire, suit la loi binomiale de paramètreset.

b) Déterminer un intervalle de confiance

Sur les 400 étudiants interrogés, 240 étudiants ont répondu correctement. La fréquence observée sur cet échantillon de bonnes réponses est donc :

  • Comme , et , les conditions sur  et  sont vérifiées. L’intervalle de confiance au seuil de 95 % de l’estimation de  relatif à cet échantillon est donc défini et donné par :

  • Comme , Par suite, un intervalle de confiance au seuil de 95 % de  en découle :

c) Déterminer les paramètres d’une loi normale

Comme est supposé être égale à 0,4, nous avons

L’espérance est

L’écart type est

Calculer une probabilité avec une loi normale

 

Info

TI 83+ : normalFRép renvoie une valeur approchée de .

Casio Graph 35+ : NormCD renvoie une valeur approchée de .

  • Première méthode :

Or

En utilisant une calculatrice, nous obtenons :

  • Deuxième méthode :

Par lecture directe du tableau (cellule B17), nous avons :

Une valeur approchée deàprès est 0,85.