Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
28
Ens. spécifique
matT_1206_06_01C
Centres étrangers • Juin 2012
Exercice 3 • 5 points
Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.
Ce sondage révèle que 55 % d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10 % ont intégré une école d'ingénieurs et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).
Ce sondage révèle aussi que :
45 % des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
30 % des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieurs ont fait le choix de vivre en colocation.
15 % des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :
F l'événement « l'ancien élève poursuit ses études à la faculté »
I l'événement « l'ancien élève a intégré une école d'ingénieurs »
T l'événement « l'ancien élève est sur le marché du travail »
C l'événement « l'ancien élève vit en colocation ».
, puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.
est égale à 0,33.
Le responsable du sondage affirme « plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études ».
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation.
On arrondira le résultat à 
près.
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles.
Les conseils du correcteur
Remarquez aussi que l'événement contraire de « au moins un des anciens élèves vit en colocation » est « aucun des anciens élèves ne vit en colocation ».
> 1. Construire un arbre pondéré pour résumer une situation probabiliste
La situation peut être résumée par l'arbre pondéré suivant :
Conseil
Les événements figurant à l'extrémité des branches « de premier niveau », sont les événements dont on connaît la probabilité. Ceux pour lesquels on connaît seulement une probabilité conditionnelle figurent à l'extrémité des branches « de second niveau ».
> 2. a) Calculer la probabilité de l'événement 
Attention
Il s'agit de la probabilité de l'intersection de deux événements, et pas d'une probabilité conditionnelle.
L'événement 
est « l'ancien élève interrogé poursuit ses études à la faculté et il vit en colocation ».
Sa probabilité est, d'après l'arbre, le produit des probabilités portées par les branches du « chemin » de l'arbre conduisant à 
:
b) Calculer la probabilité de l'événement C
Les événements F, I et T forment une partition de l'univers car leur intersection deux à deux est vide (ces deux événements sont deux à deux incompatibles) et leur réunion est l'univers entier.
Info
On peut interpréter ce résultat en disant que 33 % des anciens élèves vivent en colocation.
On a donc :
> 3. Calculer une probabilité conditionnelle
On cherche la probabilité qu'un ancien élève poursuive ses études à la faculté sachant qu'il vit en colocation, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle 
.
Info
On peut interpréter ce résultat en disant que 75 % des anciens élèves vivant en colocation poursuivent leurs études en faculté.
Par définition d'une probabilité conditionnelle :
> 4. Examiner la validité d'une affirmation énoncée en termes de probabilité
Pour savoir si l'affirmation « plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études » peut être considérée comme correcte, on calcule la probabilité qu'un ancien élève poursuive ses études (en faculté ou en école d'ingénieurs) sachant qu'il ne vit pas en colocation, c'est-à-dire 
.
Notez bien
est l'événement « l'ancien élève poursuit ses études à la faculté ou en école d'ingénieurs », c'est-à-dire « l'ancien élève poursuit ses études ».
Les événements F et I sont incompatibles il en est donc de même des événements 
, d'où :
(à 
près).
On peut interpréter ce résultat en disant « environ 55,6 % des anciens élèves n'ayant pas choisi la colocation poursuivent leurs études ».
, donc on peut considérer que plus de la moitié des anciens élèves n'ayant pas choisi la colocation poursuivent leurs études.
> 5. Calculer la probabilité d'un événement associé à la répétition d'expériences identiques et indépendantes
On cherche la probabilité de l'événement A « au moins un des trois anciens élèves interrogés vit en colocation ».
L'événement contraire de A est l'événement 
« aucun des trois anciens élèves interrogés ne vit en colocation ».
Puisque les choix des trois élèves sont supposés faits de manière indépendante : 
.
Notez bien
On sait que 
.
D'où :
à 
près.