Sondage sur la poursuite d’études post-bac

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Centres étrangers
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sondage sur la poursuite d’études post-bac

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

28

Ens. spécifique

matT_1206_06_01C

Centres étrangers • Juin 2012

Exercice 3 • 5 points

Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d’un lycée quelques années après l’obtention de leur baccalauréat.

Ce sondage révèle que 55 % d’entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10 % ont intégré une école d’ingénieurs et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d’emploi).

Ce sondage révèle aussi que :

45 % des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.

30 % des anciens élèves qui ont intégré une école d’ingénieurs ont fait le choix de vivre en colocation.

15 % des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.

On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :

F l’événement « l’ancien élève poursuit ses études à la faculté » ;

I l’événement « l’ancien élève a intégré une école d’ingénieurs » ;

T l’événement « l’ancien élève est sur le marché du travail » ;

C l’événement « l’ancien élève vit en colocation ».

>1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

>2.a) Exprimer à l’aide d’une phrase l’événement , puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.

b) Montrer que la probabilité de l’événement est égale à 0,33.

>3. Un ancien élève vit en colocation. Calculer la probabilité qu’il poursuive ses études à la faculté.

>4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le responsable du sondage affirme « plus de la moitié des élèves n’ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études ».

Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

>5. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d’anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.

Calculer la probabilité pour qu’au moins un des anciens élèves vive en colocation.

On arrondira le résultat à près.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles.

Les conseils du correcteur

>3. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

>4. On utilise à nouveau une probabilité conditionnelle.

>5. On peut introduire une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Remarquez aussi que l’événement contraire de « au moins un des anciens élèves vit en colocation » est « aucun des anciens élèves ne vit en colocation ».

Corrigé

>1. Construire un arbre pondéré pour résumer une situation probabiliste

La situation peut être résumée par l’arbre pondéré suivant :


Conseil

Les événements figurant à l’extrémité des branches « de premier niveau », sont les événements dont on connaît la probabilité. Ceux pour lesquels on connaît seulement une probabilité conditionnelle figurent à l’extrémité des branches « de second niveau ».

>2.a) Calculer la probabilité de l’événement

Attention

Il s’agit de la probabilité de l’intersection de deux événements, et pas d’une probabilité conditionnelle.

L’événement est « l’ancien élève interrogé poursuit ses études à la faculté et il vit en colocation ».

Sa probabilité est, d’après l’arbre, le produit des probabilités portées par les branches du « chemin » de l’arbre conduisant à  :

b) Calculer la probabilité de l’événement C

Les événements F, I et T forment une partition de l’univers car leur intersection deux à deux est vide (ces deux événements sont deux à deux incompatibles) et leur réunion est l’univers entier.

Info

On peut interpréter ce résultat en disant que 33 % des anciens élèves vivent en colocation.

On a donc :

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche la probabilité qu’un ancien élève poursuive ses études à la faculté sachant qu’il vit en colocation, c’est-à-dire la probabilité conditionnelle .

Info

On peut interpréter ce résultat en disant que 75 % des anciens élèves vivant en colocation poursuivent leurs études en faculté.

Par définition d’une probabilité conditionnelle :

>4. Examiner la validité d’une affirmation énoncée en termes de probabilité

Pour savoir si l’affirmation « plus de la moitié des élèves n’ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études » peut être considérée comme correcte, on calcule la probabilité qu’un ancien élève poursuive ses études (en faculté ou en école d’ingénieurs) sachant qu’il ne vit pas en colocation, c’est-à-dire .

Notez bien

est l’événement « l’ancien élève poursuit ses études à la faculté ou en école d’ingénieurs », c’est-à-dire « l’ancien élève poursuit ses études ».

Les événements F et I sont incompatibles ; il en est donc de même des événements , d’où :

près).

On peut interpréter ce résultat en disant « environ 55,6 % des anciens élèves n’ayant pas choisi la colocation poursuivent leurs études ».

, donc on peut considérer que plus de la moitié des anciens élèves n’ayant pas choisi la colocation poursuivent leurs études.

Le responsable du sondage a raison.

>5. Calculer la probabilité d’un événement associé à la répétition d’expériences identiques et indépendantes

On cherche la probabilité de l’événement A « au moins un des trois anciens élèves interrogés vit en colocation ».

L’événement contraire de A est l’événement « aucun des trois anciens élèves interrogés ne vit en colocation ».

Puisque les choix des trois élèves sont supposés faits de manière indépendante : .

Notez bien

On sait que .

D’où :

à près.

La probabilité pour que, sur trois anciens élèves choisis au hasard, au moins un vive en colocation, est environ égale à 0,7.