Fonction logarithme népérien
Ens. spécifique
matT_1704_12_08C
17
Pondichéry • Avril 2017
Exercice 3 • 4 points • ⏱ 45 min
Sous la montagne
Les thèmes clés
Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme
Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.
Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.
On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [− 2,5 ; 2,5] par :
f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).
L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
Partie A : Étude de la fonction f
▶ 1. Calculer f′(x) pour x ∈[− 2,5 ; 2,5].
▶ 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 ; 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 ; 2,5].
Partie B : Aire de la zone de creusement
On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.
▶ 1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.
▶ 2. Justifier que l’aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est .
▶ 3. L’algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de , notée a.
On admet que : .
a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour n = 50.
Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
Initialisation | S = 0 n = 50 | ||
Boucle Pour | Étape k | R | S |
1 | ......... | ......... | |
2 | 0,130 060 | 0,260 176 | |
3 | 0,129 968 | 0,390 144 | |
4 | 0,129 837 | ......... | |
24 | 0,118 137 | 3,025 705 | |
25 | 0,116 970 | 3,142 675 | |
49 | 0,020 106 | 5,197 538 | |
50 | ......... | ......... | |
Affichage | S = ......... |
b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n’oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l’intervalle considéré.
Partie B
▶ 1. Déterminez les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l’origine O pour conclure.