Fonction logarithme népérien

Ens. spécifique

matT_1704_12_08C

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 3 • 4 points • ⏱ 45 min

Sous la montagne

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.

matT_1704_12_01C_01

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [− 2,5 2,5] par :

f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

▶ 1. Calculer f′(x) pour x ∈[− 2,5 2,5].

▶ 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

▶ 1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

▶ 2. Justifier que l'aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est $A = 8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ .

▶ 3. L'algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ , notée a.

S17_algo_001

On admet que : $a \leq I \leq a + \frac{f (0) - f (2,5)}{n} \times 2,5$ .

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour n = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation	S = 0 n = 50
Boucle Pour	Étape k	R	S
	1	.........	.........
	2	0,130 060	0,260 176
	3	0,129 968	0,390 144
	4	0,129 837	.........
	$⋮$		$⋮$
	24	0,118 137	3,025 705
	25	0,116 970	3,142 675
	$⋮$		$⋮$
	49	0,020 106	5,197 538
	50	.........	.........
Affichage	S = .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n'oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l'intervalle considéré.

Partie B

▶ 1. Déterminez les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l'origine O pour conclure.

Corrigé

partie A

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction E9d • E9e

$f = \ln (u)$ avec $u (x) = - 2 x^{2} + 13,5$ et $x \in J = [- 2,5 2,5]$ .

$u$ est une fonction polynôme donc $u$ est dérivable sur $J$ .

$\begin{array}{l} - 2,5 \leq x \leq 2,5 \Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq \underset{= 6,25}{\underset{︸}{{2,5}^{2}}} \Leftrightarrow 0 \geq - 2 x^{2} \geq \underset{- 12,5}{\underset{︸}{- 2 \times 6,25}} \\ \Leftrightarrow 13,5 \geq \underset{u (x)}{\underset{︸}{- 2 x^{2} + 13,5}} \geq 1 . \end{array}$

Par conséquent, pour tout $x \in J$ , $u (x) \geq 1 > 0$ .

La fonction $u$ est donc strictement positive sur J.

Il découle des deux points ci-dessus que la fonction f = ln(u) est dérivable sur J.

Pour tout $x \in J$ , $f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)} = \frac{- 4 x}{- 2 x^{2} + 13,5}$ .

▶ 2. Déterminer le signe d'une fonction via le tableau de variation E9a

Comme $u (x) \geq 1 > 0$ d'après la question précédente, le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $- 4 x$ . Or $- 4 x > 0 \Leftrightarrow x 0$ .

Nous obtenons donc le tableau de variation suivant :

005_matT_1704_12_01C_tab1

$f (- 2,5) = f (2,5) = \ln (- 2 \times {2,5}^{2} + 13,5) = \ln (1) = 0$ et $f (0) = \ln (- 2 \times 0^{2} + 13,5) = \ln (13,5)$ .

D'après ce tableau de variation, nous pouvons dire que, pour tout $x \in J$ , $f (x) \geq 0$ .

partie B

▶ 1. Analyser la nature d'une courbe E9d • E9e

Soit A le point d'intersection, d'abscisse positive, de la courbe C avec l'axe des abscisses. D'après le tableau de variation, les coordonnées de A sont (2,5 0) et OA = 2,5.

Soit B le point d'intersection de la courbe C avec l'axe des ordonnées. D'après le tableau de variation, les coordonnées de B sont (0 ln(13,5)) et OB = ln(13,5) $\approx 2,6$ .

Nous constatons que $OA \neq OB$ donc la courbe C n'est pas un arc de cercle de centre O.

▶ 2. Établir une formule pour un calcul d'aire E7a • E9d • E14

Nous avons vu à la question 1. de la partie A que la fonction $f$ est dérivable sur J, donc elle est continue sur J.

D'après la question 2. de la partie A, $f$ est positive sur $J$ .

L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de $f$ et les droites d'équations $x = - 2,5$ et $x = 2,5$ est l'aire de la zone de creusement. Elle est donnée par :

A = $\int_{- 2,5}^{2,5} f (x) d x$ u.a.

D'après l'énoncé, la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Par conséquent, A = $2 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ u.a.

Le repère étant un repère orthonormé d'unité 2 m, nous avons donc 1 u.a. = 4 m2.

L'aire de la zone de creusement, en mètres carrés, est donnée par :

$A = 8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ .

▶ 3. a) Dérouler un algorithme

Nous savons que $n = 50$ et que $S$ a été initialisée à la valeur 0.

Pour $k = 1$ : $\begin{array}{l} R = \frac{2,5}{50} \times f (\frac{2,5}{50} \times 1) = 0,05 \times f (0,05) \approx 0,130 116 \\ S = 0 + R \approx 0,130 116 \end{array}$

Pour $k = 4$ : $S$ reçoit $S + R$ donc $S \approx 0,390 144 + 0,129 837 = 0,519 981$

Pour $k = 50$ : $\begin{array}{l} R = \frac{2,5}{50} \times f (\frac{2,5}{50} \times 50) = 0,05 \times \underset{= 0}{\underset{︸}{f (2,5)}} = 0 \\ S \approx 5,197 538 + 0 = 5,197 538 \end{array}$

Affichage : $S = 5,197 538$

b) Déterminer une valeur approchée d'une aire

D'après la question précédente, une valeur approchée par défaut de $I = \int_{0}^{2,5} f (x) d x$ est $a = 5,197 538$ . D'après l'énoncé : $a \leq I \leq a + \frac{f (0) - f (2,5)}{n} \times 2,5$ et $n = 50$ . Donc :

$\begin{array}{l} 5,197 538 \leq I \leq 5,197 538 + \frac{\ln (13,5) - 0}{50} \times 2,5 \\ 8 \times 5,197 538 \leq 8 \times I \leq 8 \times 5,197 538 + 8 \times \ln (13,5) \times 0,05 \\ 41,580 304 \leq 8 I \leq \underset{\approx 42,621380}{\underset{︸}{41,580 304 + 0,4 \times \ln (13,5)}} \end{array}$

Comme A = $8 \int_{0}^{2,5} f (x) d x = 8 I$ , on en déduit qu'une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement est 42 m2.