Annale corrigée Exercice Ancien programme

Sous la montagne

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 3 • 4 points • 45 min

Sous la montagne

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

 

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe C.

matT_1704_12_01C_01

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [− 2,5  2,5] par :

f(x= ln(− 2x2 + 13,5).

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f(x) pour x [− 2,5  2,5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5  2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5  2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l'aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est A=802,5f(x)dx.

3. L'algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx, notée a.

S17_algo_001

On admet que : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5.

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation

= 0

= 50

Boucle Pour

Étape k

R

S

1

.........

.........

2

0,130 060

0,260 176

3

0,129 968

0,390 144

4

0,129 837

.........

24

0,118 137

3,025 705

25

0,116 970

3,142 675

49

0,020 106

5,197 538

50

.........

.........

Affichage

= .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Les clés du sujet

Partie A

1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n'oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l'intervalle considéré.

Partie B

1. Déterminez les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l'origine O pour conclure.

Corrigé

partie A

1. Calculer la dérivée d'une fonction  E9d • E9e 

f=ln(u) avec u(x)=2x2+13,5 et xJ=[2,52,5].

u est une fonction polynôme donc u est dérivable sur J.

2,5x2,50x22,52=6,2502x22×6,2512,513,52x2+13,5u(x)1.

Par conséquent, pour tout xJ, u(x)1>0.

La fonction u est donc strictement positive sur J.

Il découle des deux points ci-dessus que la fonction f = ln(u) est dérivable sur J.

Pour tout xJ, f(x)=u(x)u(x)=4x2x2+13,5.

2. Déterminer le signe d'une fonction via le tableau de variation  E9a 

Comme u(x)1>0 d'après la question précédente, le signe de f(x)est celui de 4x. Or 4x>0x0.

Nous obtenons donc le tableau de variation suivant :

005_matT_1704_12_01C_tab1

f(2,5)=f(2,5)=ln(2×2,52+13,5)=ln(1)=0 et f(0)=ln(2×02+13,5)=ln(13,5).

D'après ce tableau de variation, nous pouvons dire que, pour tout xJ, f(x)0.

partie B

1. Analyser la nature d'une courbe  E9d • E9e 

Soit A le point d'intersection, d'abscisse positive, de la courbe C avec l'axe des abscisses. D'après le tableau de variation, les coordonnées de A sont (2,5  0) et OA = 2,5.

Soit B le point d'intersection de la courbe C avec l'axe des ordonnées. D'après le tableau de variation, les coordonnées de B sont (0  ln(13,5)) et OB = ln(13,5) 2,6.

Nous constatons que OAOB donc la courbe C n'est pas un arc de cercle de centre O.

2. Établir une formule pour un calcul d'aire  E7a • E9d • E14 

Nous avons vu à la question 1. de la partie A que la fonction f est dérivable sur J, donc elle est continue sur J.

D'après la question 2. de la partie A, f est positive sur J.

L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d'équations x=2,5 et x=2,5 est l'aire de la zone de creusement. Elle est donnée par :

A = 2,52,5f(x)dx u.a.

D'après l'énoncé, la courbe C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Par conséquent, A = 202,5f(x)dx u.a.

Le repère étant un repère orthonormé d'unité 2 m, nous avons donc 1 u.a. = 4 m2.

L'aire de la zone de creusement, en mètres carrés, est donnée par :

A=802,5f(x)dx.

3. a) Dérouler un algorithme

Nous savons que n=50 et que S a été initialisée à la valeur 0.

Pour k=1 : R=2,550×f(2,550×1)=0,05×f(0,05)0,130116S=0+R0,130116

Pour k=4 : S reçoit S+R donc S0,390144+0,129837=0,519981

Pour k=50 : R=2,550×f(2,550×50)=0,05×f(2,5)=0=0S5,197538+0=5,197538

Affichage : S=5,197538

b) Déterminer une valeur approchée d'une aire

D'après la question précédente, une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx est a=5,197538. D'après l'énoncé : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5 et n=50. Donc :

5,197538I5,197538+ln(13,5)050×2,58×5,1975388×I8×5,197538+8×ln(13,5)×0,0541,5803048I41,580304+0,4×ln(13,5)42,621380

Comme A = 802,5f(x)dx=8I, on en déduit qu'une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement est 42 m2.

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