Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [− 2,5 ; 2,5] par :

f(x) = ln(− 2x2 + 13,5).

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

▶ 1. Calculer f′(x) pour x ∈[− 2,5 ; 2,5].

▶ 2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 ; 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 ; 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

▶ 1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

▶ 2. Justifier que l’aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est $\mathcal{A}=8{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{2,5}}f(x)\text{d}x}$.

▶ 3. L’algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{2,5}}f(x)\text{d}x}$, notée a.

On admet que : $a\le I\le a+\frac{f(0)-f(\mathrm{2,5})}{n}\times \mathrm{2,5}$.

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour n = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.