Sous la montagne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2017

Exercice 3 • 4 points • 45 min

Sous la montagne

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Calcul intégral • Algorithme

 

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C.

matT_1704_12_01C_01

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [− 2,5 ; 2,5] par :

f(x= ln(− 2x2 + 13,5).

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f(x) pour x [− 2,5 ; 2,5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [− 2,5 ; 2,5]. En déduire le signe de f sur [− 2,5 ; 2,5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l’aire, en mètres carrés, de la zone de creusement est A=802,5f(x)dx.

3. L’algorithme, donné ci-dessous, permet de calculer une valeur approchée par défaut de I=02,5f(x)dx, notée a.

S17_algo_001

On admet que : aIa+f(0)f(2,5)n×2,5.

a) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de R et de S, arrondies à 10−6, obtenues lors de l’exécution de l’algorithme pour = 50.

Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

Initialisation

= 0

= 50

Boucle Pour

Étape k

R

S

1

.........

.........

2

0,130 060

0,260 176

3

0,129 968

0,390 144

4

0,129 837

.........

24

0,118 137

3,025 705

25

0,116 970

3,142 675

49

0,020 106

5,197 538

50

.........

.........

Affichage

= .........

b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone de creusement.

Les clés du sujet

Partie A

1. Pour justifier la dérivabilité de ln(u), n’oubliez pas que u doit être dérivable et strictement positive sur l’intervalle considéré.

Partie B

1. Déterminez les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec les axes de coordonnées, puis calculez leurs distances à l’origine O pour conclure.