▶ 1. a) Donner la probabilité d’un événement

Puisque le stage a été suivi par 25 % des salariés de l’entreprise, on a $\boxed{P(\text{S})=\mathrm{0,25}}$.

b) Compléter un arbre pondéré

D’après l’énoncé, $P(\text{F})=\mathrm{0,52}$ car 52 % des salariés de l’entreprise sont des femmes. On a donc $P(\overline{\text{F}})=\mathrm{0,48}.$

D’autre part, 40 % des femmes salariées de l’entreprise ont suivi le stage, donc $P_{\text{F}}(\text{S})=\mathrm{0,4}$.

On en déduit que 60 % des femmes salariées de l’entreprise n’ont pas suivi le stage, ce qui se traduit par $P_{\text{F}}(\overline{\text{S}})=\mathrm{0,6}$.

L’arbre peut donc être complété de la manière suivante :

c) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est P(F ∩ S).

$P(\text{F}\cap \text{S})=P(\text{F})\times P_{\text{F}}(\text{S})=\mathrm{0,52}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,208}$.

La probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est bien 0,208.

d) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est P_S(F), car on sait que la personne interrogée a suivi le stage. Par définition d’une probabilité conditionnelle :

$P_{\text{S}}\left(\text{F}\right)=\frac{P(\text{F}\cap \text{S})}{P(\text{S})}=\frac{\mathrm{0,208}}{\mathrm{0,25}}$, soit $\boxed{P_{\text{S}}(\text{F})=\mathrm{0,832}}$.

e) Calculer une probabilité conditionnelle

Pour connaître, parmi les hommes, la proportion de ceux qui ont suivi le stage, on calcule $P_{\overline{\text{F}}}\left(\text{S}\right)$ :

$P_{\overline{\text{F}}}\left(\text{S}\right)=\frac{P(\overline{\text{F}}\cap \text{S})}{P(\overline{\text{F}})}$.

Puisque F et $\overline{\text{F}}$ forment une partition de l’univers, on a, d’après la formule des probabilités totales :

$P(\text{S})=P(\text{F}\cap \text{S})+P(\overline{\text{F}}\cap \text{S})$, donc $P(\overline{\text{F}}\cap \text{S})=P(\text{S})-P(\text{F}\cap \text{S})$.

Or $P(\text{S})=\text{0,25 }$d’après l’énoncé et $P(\text{F}\cap \text{S})=\mathrm{0,208}$ (question 1. c)), donc $P(\overline{\text{F}}\cap \text{S})=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,208}=$ 0,042.

On en déduit $P_{\overline{\text{F}}}(\text{S})=\frac{\mathrm{0,042}}{\mathrm{0,48}}=\mathrm{0,0875}$.

Ce résultat signifie que parmi les hommes salariés de l’entreprise, 8,75 % ont suivi le stage.

8,75 < 10, donc le directeur a raison lorsqu’il affirme que parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage.

▶ 2. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

On assimile le choix des 20 salariés à un tirage avec remise, ce qui assure l’indépendance des épreuves successives.

Donc l’expérience est un schéma de Bernoulli constitué de la répétition de 20 épreuves identiques et indépendantes, dont le succès est « le salarié a suivi le stage » et a une probabilité égale à 0,25.

X donne le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,25.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

D’après la calculatrice, $P(X=5)\approx \mathrm{0,202}$.

La probabilité que, dans un échantillon de 20 salariés, exactement 5 aient suivi le stage est égale à environ 0,202.

c) Déterminer la valeur renvoyée par un programme Python

Ce programme calcule, pour une valeur de l’entier naturel k saisie au départ, la somme des probabilités P(X = i) pour i de 0 à k.

Si on saisit proba(5), on obtient la somme des P(X = i) pour i de 0 à 5, c’est-à-dire $P(X\le 5)$.

D’après la calculatrice : $P(X\le 5)\approx \mathrm{0,617}$.

Cela signifie que la probabilité que, dans un échantillon de 20, au plus 5 salariés aient suivi le stage est environ 0,617.

d) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

$P(X\ge 6)=1-P(X<6)=1-P(X\le 5)$, donc $P(X\ge 6)\approx \mathrm{0,383}$.

La probabilité que, dans un échantillon de 20 salariés, au moins 6 aient suivi le stage est environ 0,383.

▶ 3. Calculer un pourcentage moyen d’augmentation

25 %, c’est-à-dire un quart, des salariés de l’entreprise ont suivi le stage, donc bénéficient d’une augmentation de 5 %, les trois quarts ont une augmentation de 2 %.

$\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 2=\mathrm{2,75}$

Dans l’entreprise, le pourcentage moyen d’augmentation des salaires est de 2,75 %.