Station spatiale ISS

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Station spatiale ISS

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

12

Comprendre

pchT_1306_02_02C

Amérique du Nord • Juin 2013

Exercice 2 • 6,5 points


La station spatiale internationale ISS (International Space Station) est à ce jour le plus grand des objets artificiels placé en orbite terrestre à une altitude de 400 km.

Elle est occupée en permanence par un équipage international qui se consacre à la recherche scientifique dans l’environnement spatial. Jusqu’à présent, trois vaisseaux cargos ATV ont permis de ravitailler la station ISS.

Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.

1. Étude du mouvement de la station spatiale ISS

La station spatiale internationale, supposée ponctuelle et notée S, évolue sur une orbite qu’on admettra circulaire, dont le plan est incliné de 51,6° par rapport au plan de l’équateur. Son altitude est environ égale à 400 km.

Données

Rayon de la Terre : R = 6 380 km ;

Masse de la station : m = 435 tonnes ;

Masse de la Terre, supposée ponctuelle : M = 5,98 × 1024 kg ;

Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10–11 m3 . kg–1 . s–2 ;

Altitude de la station ISS : h ;

Expression de la valeur de la force d’interaction gravitationnelle F entre deux corps A et B ponctuels de masses respectives mA et mB, distants de d = AB :

F=GmAmBd2

1 Représenter sur un schéma :

  • la Terre et la station S, supposée ponctuelle ;
  • un vecteur unitaire

    u

    orienté de la station S vers la Terre (T) ;

  • la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la station S.

Donner l’expression vectorielle de cette force en fonction du vecteur unitaire u.

2 En considérant la seule action de la Terre, établir l’expression vectorielle de l’accélération aS de la station dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, en fonction de G, M, h, R et du vecteur unitaire u.

3 Vitesse du satellite

1. Montrer que, dans le cas d’un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse du satellite de la station a pour expression v=GMR+h.

2. Calculer la valeur de la vitesse de la station en m . s–1.

4 Combien de révolutions autour de la Terre un astronaute présent à bord de la station spatiale internationale fait-il en 24 h ?

2. Ravitaillement de la station ISS


Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l’Europe à Kourou (Guyane), emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la station spatiale internationale (ISS).

Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8 × 102 tonnes, dont environ 3,5 tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et vêtements pour l’équipage à bord de l’ATV (d’après http://www.esa.int/esaCP/Pr_10_2012_p_FR.html).

On se propose dans cette partie d’étudier le décollage de la fusée.

Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

À la date t = 0 s, le système est immobile.

À t = 1 s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée mg, à la vitesse vg. Sa masse est alors notée mf et sa vitesse vf.

Données

Intensité de la pesanteur à Kourou : g = 9,78 N . kg–1 ;

Débit d’éjection des gaz au décollage : D = 2,9 × 103 kg . s–1 ;

Vitesse d’éjection des gaz au décollage : vg = 4,0 km . s–1.

1 Modèle simplifié du décollage

Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée + gaz} est isolé.

1. En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t = 0 s et t = 1 s, montrer que :

vf=mgmfvg

Quelle est la conséquence de l’éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?

2. Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable au bout d’une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet instant.

2 Étude plus réaliste du décollage

1. En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 1. En supposant que le système {fusée + gaz} est isolé, quelle force n’aurait-on pas dû négliger ?

2. On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids P et à la force de poussée F définie par F=DvgD est la masse de gaz éjecté par seconde.

a) Montrer que le produit (D vg) est homogène à une force.

b) Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.

Notions et compétences en jeu

Connaître les lois de Newton • Savoir faire la différence entre un nombre et un vecteur • Connaître la loi de conservation de la quantité de mouvement.

Conseils du correcteur

Partie A

2 Pensez à utiliser la 2e loi de Newton.

3 Souvenez-vous que l’ISS a une trajectoire circulaire.

Partie B

11. Utilisez la conservation de la quantité de mouvement.

22.b) Appliquez la 2e loi de Newton.

Corrigé

1. Étude du mouvement de la station spatiale ISS

1 Représenter la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la station

Notez bien

d est la distance entre le centre de la Terre et la station d = R + H.

F=GMm(R+h)2u


2 Exprimer vectoriellement l’accélération

Appliquons la seconde loi de Newton, dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, on a ΣF=dpdt.

La seule force s’exerçant sur la station est la force F définie à la question 1. Donc on a F=dpdt.

La masse de la station spatiale ne varie pas, donc  dpdt=d(mv)dt=mdvdt=maS.

On peut écrire maS=GMm(R+h)2u.

Soit aS=GM(R+h)2u.

31. Exprimer la vitesse de la station

Attention

Il faut convertir les distances en mètres.

Par définition, dans un mouvement circulaire, a=v2rr est le rayon de la trajectoire.

Ici, on a aS=v2(R+h).

Donc v=aS(R+h)=(R+h)GM(R+h)2=GM(R+h).

2. Calculer la valeur de la vitesse de la station

v=6,67×1011×5,98×10246,380×106+4×105=7 700 ms1

4 Déterminer le nombre de révolutions autour de la Terre que la ­station effectue en 24 h

Distance parcourue par l’astronaute quand il fait le tour de la Terre :

D = 2π(R + h) = 4,3 × 107 m.

Durée effectuée par l’astronaute pour faire un tour de Terre :

T=Dv=5600 s

.

Nombre de révolutions par jour :

N=24×60×605600=15

.

La station effectue 15 révolutions par 24 h.

2. Ravitaillement de la station ISS

11. Étudier le mouvement de la fusée

Puisque le système est considéré comme isolé, la quantité de mouvement du système {fusée + gaz} se conserve.

À t = 0 s, le système est immobile donc pS0=0.

À t = 1 s, le système a une quantité de mouvement pS1=mgvg+mfvf.

Puisque la quantité de mouvement se conserve pS0=pS1=0.

Donc mgvg+mfvf=0 soit vf=mgmfvg.

La fusée est donc poussée vers le haut puisque les gaz sont éjectés vers le bas.

2. Calculer la vitesse de la fusée

Attention

Il ne faut pas confondre la notation vectorielle v (représentée par un vecteur) et la notation scalaire v (qui représente la valeur de la vitesse).

Dans les données est donné D, le débit des gaz au décollage. Nous en déduisons que, au bout de 1 s, la masse de gaz vaut :

mg = 2,9 × 103 kg.

La masse de la fusée est 7,8 × 105 kg au décollage.

Comme 7,8 × 105 kg est très grand devant 2,9 × 103 kg, on en conclut que la masse de la fusée a très peu varié 1 s après le décollage.

On a donc vg=2,9×1037,8×105×4,0×103=15 ms1=54 kmh1.

21. Identifier une force non négligeable

Le poids du système {fusée + gaz} n’est pas négligeable.

2.a) Réaliser une analyse dimensionnelle

[D] . [v] = kg . s–1 . m . s–1 = kg . m . s–2

D’après la 2e loi de Newton, ΣF=dpdt

alors [F]=[p][t]=[m][v][t]=kgms1s=kgms2.

Le produit Dv est bien homogène à une force.

b) Effectuer une application numérique

P = mfg = 7,8 × 105 × 9,78 = 7,6 × 106 N.

F = Dvg = 2,9 × 103 × 4,0 × 103 = 11,6 ×106 N.

F > P : la fusée peut décoller. D’après la 2e loi de Newton, la variation de quantité de mouvement sera orientée verticalement vers le haut.