Fonction exponentielle
matT_1604_12_06C
Ens. spécifique
14
Pondichéry • Avril 2016
Exercice 5 • 5 points
Stérilisation d'une boîte de conserve
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A : Modélisation discrète
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.
Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :
Initialisation | T prend la valeur 25 | |
Traitement | Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire | |
T prend la valeur 0,85 × T +15 | ||
Fin Pour | ||
Sortie | Afficher T |
▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité.
▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
on a Tn = 100 − 75 × 0,85n.
▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B : Modélisation continue
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu'à l'instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :
.
▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 + ∞[.
b) Justifier que si alors.
▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A(θ) le domaine délimité par les droites d'équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps θ, si l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.
a) Justifier, à l'aide du graphique ci-dessus, que l'on a A(25) > 80.
b) Justifier que, pour , on a .
c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Raisonnement par récurrence E1 → Partie A, 2.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e • E9f → Partie A, 3. Partie B, 1. b) et 2. c)
Fonction exponentielle E8b → Partie B, 1. b) et 2. c)
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 1. a)
Intégration E11 • E13 • E14 • E15 → Partie B, 2. b) et 2. c)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.
Partie B
▶ 1. a) Étudiez le signe de la dérivée sur et concluez. N'oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l'intervalle proposé.
▶ 2. c) En vous aidant de l'énoncé, traduisez la question posée à l'aide d'une condition sur et effectuez le calcul d'intégrale correspondant.
Corrigé
partie a
▶ 1. Déterminer une température
D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n non nul, la valeur est calculée à l'aide de l'algorithme fourni par la formule « ». Cela nous permet d'écrire la formule de récurrence suivante, valable pour tout entier naturel :
.
Puisque , nous en déduisons :
La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est donc d'environ 54 °C.
▶ 2. Justifier la formule explicite d'une suite
Soit la propriété : .
Initialisation
et donc et la propriété est initialisée.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel :
(hypothèse de récurrence).
On démontre alors que la propriété est aussi vérifiée.
On a :
La propriété est donc héréditaire.
Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel .
Ainsi pour tout .
▶ 3. Résoudre une inéquation
D'après l'énoncé, la stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C. Nous devons donc résoudre l'inéquation .
Notez bien
Pour tout et tout , .
Pour tout et tout , .
Notez bien
Lorsque l'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre négatif (ici ), on change le sens de l'inégalité.
Comme , nous prendrons .
La stérilisation débute donc au bout de 10 minutes.
partie b
▶ 1. a) Étudier le sens de variation d'une fonction
Notez bien
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors est dérivable sur I et .
est dérivable sur comme différence de fonctions dérivables sur .
Pour tout :
Or et, pour tout , donc .
Notez bien
Pour tout , .
La fonction est donc strictement croissante sur .
b) Justifier une implication
La fonction est strictement croissante sur donc conserve l'ordre :
.
Notez bien
Pour tout , et pour tout , .
Nous avons aussi :
Par conséquent, si alors .
▶ 2. a) Justifier une inégalité
Notez bien
Dans la suite, pour éviter toute confusion et l'ajout d'une notation supplémentaire à l'énoncé original, on désignera indistinctement par le domaine délimité par les droites d'équations , , et la courbe représentative de ou l'aire de ce domaine.
D'après l'énoncé, est le domaine délimité par les droites d'équations , , et la courbe représentative de . est donc le domaine représenté par la zone coloriée en vert sur le graphique ci-dessus.
Avec les correspondances indiquées en dessous du graphique (rectangle d'aire égale à 25 et rectangle d'aire égale à 12,5), on constate que .
b) Établir une égalité
D'après la question B 1. b), si alors . Par conséquent, si alors : la fonction est donc positive sur .
La fonction est dérivable sur comme différence de fonctions dérivables sur donc la fonction est continue sur donc sur .
Nous en déduisons donc que l'aire du domaine délimité par les droites d'équations , , et la courbe représentative de est donnée, pour , par :
c) Calculer une aire
D'après l'énoncé, la stérilisation est finie au bout de 20 minutes si et seulement si .
D'après le résultat de la question précédente, nous pouvons écrire :
Notez bien
Soit , une primitive sur de la fonction est la fonction .
Notez bien
Pour tout et pour tout , .
Comme , la stérilisation n'est pas finie au bout de 20 minutes.