On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a Tn = 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

$f(t)=100-75{\text{e}}^{-\frac{\ln 5}{10}t}$.

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0  + ∞[.

b) Justifier que si $t\ge 10$ alors$f(t)\ge 85$.

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.

b) Justifier que, pour $\theta \ge 10$, on a $A(\theta )=15(\theta -10)-75{\displaystyle {\int }_{10}^{\theta }{\text{e}}^{\frac{-\ln 5}{10}t}}\text{d}t$.

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?