Stérilisation d’une boîte de conserve

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 5 • 5 points

Stérilisation d’une boîte de conserve

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T= 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T= 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

Initialisation

T prend la valeur 25

Traitement

Demander la valeur de n

Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,85 × T +15

Fin Pour

Sortie

Afficher T

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a T= 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

f(t)=10075eln510t.

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + [.

b) Justifier que si t10 alorsf(t)85.

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation = 10, = θ, y = 85 et la courbe représentative 𝒞f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

matT_1604_12_01C_08

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.

b) Justifier que, pour θ10, on a A(θ)=15(θ10)7510θeln510tdt.

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1  Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e • E9f Partie A, 3. ; Partie B, 1. b) et 2. c)

Fonction exponentielle  E8b  Partie B, 1. b) et 2. c)

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie B, 1. a)

Intégration  E11 • E13 • E14 • E15  Partie B, 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

 1. a) Étudiez le signe de la dérivée f sur [0;+[ et concluez. N’oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l’intervalle proposé.

 2. c) En vous aidant de l’énoncé, traduisez la question posée à l’aide d’une condition sur A(20) et effectuez le calcul d’intégrale correspondant.

Corrigé

Corrigé

partie a

▶ 1. Déterminer une température

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n non nul, la valeur Tn est calculée à l’aide de l’algorithme fourni par la formule « T prend la valeur 0,85×T+15 ». Cela nous permet d’écrire la formule de récurrence suivante, valable pour tout entier naturel n :

Tn+1=0,85×Tn+15.

Puisque T0=25, nous en déduisons :

T1=0,85×T0+15=0,85×25+15=36,25T2=0,85×T1+15=0,85×36,25+15=45,8125T3=0,85×T2+15=0,85×45,8125+15=53,94062554.

La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est donc d’environ 54 °C.

▶ 2. Justifier la formule explicite d’une suite

Soit P(n) la propriété : Tn=10075×0,85n.

Initialisation

T0=25 et 10075×0,850=1=25 donc T0=10075×0,850 et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété P(k) est vraie pour un entier naturel k :

Tk=10075×0,85k (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que la propriété P(k+1) est aussi vérifiée.

On a :

Tk+1=0,85×Tk+15=0,85×(10075×0,85k)hypothèse de récurrence+15=0,85×10075×0,85k×0,85+15=10075×0,85k+1.

La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n.

Ainsi pour tout n,Tn=10075×0,85n.

▶ 3. Résoudre une inéquation

D’après l’énoncé, la stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C. Nous devons donc résoudre l’inéquation Tn>85.

Notez bien

Pour tout a>0 et tout n, ln(an)=nln(a).

Pour tout a>0 et tout b>0, a>bln(a)>ln(b).

Notez bien

Lorsque l’on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif (ici ln(0,85)<0), on change le sens de l’inégalité.

Tn>8510075×0,85n>8515>75×0,85n15>0,85nln(15)>ln(0,85n)ln(5)>nln(0,85)ln(5)ln(0,85)<n.

Comme ln(5)ln(0,85)9,9, nous prendrons n=10.

La stérilisation débute donc au bout de 10 minutes.

partie b

▶ 1. a) Étudier le sens de variation d’une fonction

Notez bien

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

f est dérivable sur [0;+[ comme différence de fonctions dérivables sur [0;+[.

Pour tout t[0;+[ : f(t)=075×(ln(5)10)eln(5)10t=7,5ln(5)×eln(5)10t.

Or 7,5ln(5)>0 et, pour tout t[0;+[, eln(5)10t>0 donc f(t)=7,5ln(5)×eln(5)10t>0.

Notez bien

Pour tout X, eX>0.

La fonction f est donc strictement croissante sur [0;+[.

b) Justifier une implication

La fonction f est strictement croissante sur [0;+[ donc f conserve l’ordre :

t10f(t)f(10).

Notez bien

Pour tout a, ea=1ea et pour tout b>0, eln(b)=b.

Nous avons aussi :

f(10)=10075eln(5)10×10=10075eln(5)=10075eln(5)=100755=85.

Par conséquent, si t10 alors f(t)85.

▶ 2. a) Justifier une inégalité

matT_1604_12_01C_15

Notez bien

Dans la suite, pour éviter toute confusion et l’ajout d’une notation supplémentaire à l’énoncé original, on désignera indistinctement par A(θ) le domaine délimité par les droites d’équations t=10, t=θ, y=85 et la courbe représentative Cf de f ou l’aire de ce domaine.

D’après l’énoncé, A(25) est le domaine délimité par les droites d’équations t=10, t=25, y=85 et la courbe représentative Cf de f. A(25) est donc le domaine représenté par la zone coloriée en vert sur le graphique ci-dessus.

Avec les correspondances indiquées en dessous du graphique (rectangle d’aire égale à 25 et rectangle d’aire égale à 12,5), on constate que A(25)>25×3+12,5=87,5>80.

b) Établir une égalité

D’après la question B 1. b), si t10 alors f(t)85. Par conséquent, si t10 alors f(t)850 : la fonction f85 est donc positive sur [10;+[.

La fonction f85 est dérivable sur [0;+[ comme différence de fonctions dérivables sur [0;+[ donc la fonction f85 est continue sur [0;+[ donc sur [10;+[.

Nous en déduisons donc que l’aire du domaine délimité par les droites d’équations t=10, t=θ, y=85 et la courbe représentative Cf de fest donnée, pour θ10, par :

A(θ)=10θ[f(t)85]dtA(θ)=10θ(1575eln(5)10t)dt

A(θ)=1510θ1dt7510θeln(5)10tdt   ( linéarité de lintégrale)A(θ)=15[t]10θ7510θeln(5)10tdtA(θ)=15(θ10)7510θeln(5)10tdt.

c) Calculer une aire

D’après l’énoncé, la stérilisation est finie au bout de 20 minutes si et seulement si A(20)>80.

D’après le résultat de la question précédente, nous pouvons écrire :

Notez bien

Soit a*, une primitive sur de la fonction teat est la fonction t1aeat.

Notez bien

Pour tout aea=1ea et pour tout b et n, en×b=(eb)n.

A(20)=15×(2010)751020eln(5)10tdt=15075×[10ln(5)eln(5)10t]1020=150+75×10ln(5)×[eln(5)10t]1020=150+750ln(5)×[eln(5)10×20eln(5)10×10]=150+750ln(5)×[e2ln(5)eln(5)]=150+750ln(5)×[1(eln(5))21eln(5)]=150+750ln(5)×[12515]=150750ln(5)×425=150×(145ln(5))75,44.

Comme A(20)<80, la stérilisation n’est pas finie au bout de 20 minutes.