Fonction exponentielle

matT_1604_12_06C

Ens. spécifique

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 5 • 5 points

Stérilisation d’une boîte de conserve

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 = 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

Initialisation	T prend la valeur 25
Traitement	Demander la valeur de n Pour i allant de 1 à n faire
		T prend la valeur 0,85 × T +15
	Fin Pour
Sortie	Afficher T

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a Tn = 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

$f (t) = 100 - 75 e^{- \frac{\ln 5}{10} t}$ .

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[.

b) Justifier que si $t \geq 10$ alors $f (t) \geq 85$ .

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation t = 10, t = θ, y = 85 et la courbe représentative 𝒞f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

matT_1604_12_01C_08

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) > 80.

b) Justifier que, pour $θ \geq 10$ , on a $A (θ) = 15 (θ - 10) - 75 \int_{10}^{θ} e^{\frac{- \ln 5}{10} t} d t$ .

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence E1 → Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien E9a • E9b • E9e • E9f → Partie A, 3. ; Partie B, 1. b) et 2. c)

Fonction exponentielle E8b → Partie B, 1. b) et 2. c)

Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 1. a)

Intégration E11 • E13 • E14 • E15 → Partie B, 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

▶ 1. a) Étudiez le signe de la dérivée $f^{'}$ sur $[0; + \infty [$ et concluez. N’oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l’intervalle proposé.

▶ 2. c) En vous aidant de l’énoncé, traduisez la question posée à l’aide d’une condition sur $A (20)$ et effectuez le calcul d’intégrale correspondant.

Corrigé

partie a

▶ 1. Déterminer une température

D’après l’énoncé, pour tout entier naturel n non nul, la valeur $T_{n}$ est calculée à l’aide de l’algorithme fourni par la formule « $T prend la valeur 0,85 \times T + 15$ ». Cela nous permet d’écrire la formule de récurrence suivante, valable pour tout entier naturel $n$ :

$T_{n + 1} = 0,85 \times T_{n} + 15$ .

Puisque $T_{0} = 25$ , nous en déduisons :

$\begin{array}{l} T_{1} = 0,85 \times T_{0} + 15 = 0,85 \times 25 + 15 = 36,25 \\ T_{2} = 0,85 \times T_{1} + 15 = 0,85 \times 36,25 + 15 = 45,8125 \\ T_{3} = 0,85 \times T_{2} + 15 = 0,85 \times 45,8125 + 15 = 53,940625 \approx 54 . \end{array}$

La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est donc d’environ 54 °C.

▶ 2. Justifier la formule explicite d’une suite

Soit $P (n)$ la propriété : $T_{n} = 100 - 75 \times {0,85}^{n}$ .

Initialisation

$T_{0} = 25$ et $100 - 75 \times \underset{= 1}{\underset{︸}{{0,85}^{0}}} = 25$ donc $T_{0} = 100 - 75 \times {0,85}^{0}$ et la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété $P (k)$ est vraie pour un entier naturel $k$ :

$T_{k} = 100 - 75 \times {0,85}^{k}$ (hypothèse de récurrence).

On démontre alors que la propriété $P (k + 1)$ est aussi vérifiée.

On a :

$\begin{matrix} T_{k + 1} = 0,85 \times T_{k} + 15 \\ = 0,85 \times \underset{hypothèse de récurrence}{\underset{︸}{(100 - 75 \times {0,85}^{k})}} + 15 \\ = 0,85 \times 100 - 75 \times {0,85}^{k} \times 0,85 + 15 \\ = 100 - 75 \times {0,85}^{k + 1} . \end{matrix}$

La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété est initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Ainsi pour tout $n \in ℕ, T_{n} = 100 - 75 \times {0,85}^{n}$ .

▶ 3. Résoudre une inéquation

D’après l’énoncé, la stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C. Nous devons donc résoudre l’inéquation $T_{n} > 85$ .

Notez bien

Pour tout $a > 0$ et tout $n \in ℤ$ , $\ln (a^{n}) = n \ln (a)$ .

Pour tout $a > 0$ et tout $b > 0$ , $a > b \Leftrightarrow \ln (a) > \ln (b)$ .

Notez bien

Lorsque l’on divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif (ici $\ln (0,85) < 0$ ), on change le sens de l’inégalité.

$\begin{array}{l} T_{n} > 85 \Leftrightarrow 100 - 75 \times {0,85}^{n} > 85 \\ \Leftrightarrow 15 > 75 \times {0,85}^{n} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{5} > {0,85}^{n} \\ \Leftrightarrow \ln (\frac{1}{5}) > \ln ({0,85}^{n}) \\ \Leftrightarrow - \ln (5) > n \ln (0,85) \\ \Leftrightarrow - \frac{\ln (5)}{\ln (0,85)} < n . \end{array}$

Comme $- \frac{\ln (5)}{\ln (0,85)} \approx 9,9$ , nous prendrons $n = 10$ .

La stérilisation débute donc au bout de 10 minutes.

partie b

▶ 1. a) Étudier le sens de variation d’une fonction

Notez bien

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $e^{u}$ est dérivable sur I et ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}$ .

$f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ comme différence de fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ .

Pour tout $t \in [0; + \infty [$ : $\begin{matrix} f^{'} (t) = 0 - 75 \times (- \frac{\ln (5)}{10}) e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} \\ = 7,5 \ln (5) \times e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} . \end{matrix}$

Or $7,5 \ln (5) > 0$ et, pour tout $t \in [0; + \infty [$ , $e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} > 0$ donc $f^{'} (t) = 7,5 \ln (5) \times e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} > 0$ .

Notez bien

Pour tout $X \in ℝ$ , $e^{X} > 0$ .

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .

b) Justifier une implication

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ donc $f$ conserve l’ordre :

$t \geq 10 \Rightarrow f (t) \geq f (10)$ .

Notez bien

Pour tout $a \in ℝ$ , $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ et pour tout $b > 0$ , $e^{\ln (b)} = b$ .

Nous avons aussi :

$\begin{matrix} f (10) = 100 - 75 e^{- \frac{\ln (5)}{10} \times 10} \\ = 100 - 75 e^{- \ln (5)} \\ = 100 - \frac{75}{e^{\ln (5)}} \\ = 100 - \frac{75}{5} \\ = 85 . \end{matrix}$

Par conséquent, si $t \geq 10$ alors $f (t) \geq 85$ .

▶ 2. a) Justifier une inégalité

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Notez bien

Dans la suite, pour éviter toute confusion et l’ajout d’une notation supplémentaire à l’énoncé original, on désignera indistinctement par $A (θ)$ le domaine délimité par les droites d’équations $t = 10$ , $t = θ$ , $y = 85$ et la courbe représentative $C_{f}$ de $f$ ou l’aire de ce domaine.

D’après l’énoncé, $A (25)$ est le domaine délimité par les droites d’équations $t = 10$ , $t = 25$ , $y = 85$ et la courbe représentative $C_{f}$ de $f$ . $A (25)$ est donc le domaine représenté par la zone coloriée en vert sur le graphique ci-dessus.

Avec les correspondances indiquées en dessous du graphique (rectangle d’aire égale à 25 et rectangle d’aire égale à 12,5), on constate que $A (25) > 25 \times 3 + 12,5 = 87,5 > 80$ .

b) Établir une égalité

D’après la question B 1. b), si $t \geq 10$ alors $f (t) \geq 85$ . Par conséquent, si $t \geq 10$ alors $f (t) - 85 \geq 0$ : la fonction $f - 85$ est donc positive sur $[10; + \infty [$ .

La fonction $f - 85$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ comme différence de fonctions dérivables sur $[0; + \infty [$ donc la fonction $f - 85$ est continue sur $[0; + \infty [$ donc sur $[10; + \infty [$ .

Nous en déduisons donc que l’aire du domaine délimité par les droites d’équations $t = 10$ , $t = θ$ , $y = 85$ et la courbe représentative $C_{f}$ de $f$ est donnée, pour $θ \geq 10$ , par :

$\begin{matrix} A (θ) = \int_{10}^{θ} [f (t) - 85] d t \\ A (θ) = \int_{10}^{θ} (15 - 75 e^{- \frac{\ln (5)}{10} t}) d t \end{matrix}$

$\begin{matrix} A (θ) = 15 \int_{10}^{θ} 1 d t - 75 \int_{10}^{θ} e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} d t ( linéarité de l ’ intégrale) \\ A (θ) = 15 {[t]}_{10}^{θ} - 75 \int_{10}^{θ} e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} d t \\ A (θ) = 15 (θ - 10) - 75 \int_{10}^{θ} e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} d t . \end{matrix}$

c) Calculer une aire

D’après l’énoncé, la stérilisation est finie au bout de 20 minutes si et seulement si $A (20) > 80$ .

D’après le résultat de la question précédente, nous pouvons écrire :

Notez bien

Soit $a \in ℝ *$ , une primitive sur $ℝ$ de la fonction $t \mapsto e^{a t}$ est la fonction $t \mapsto \frac{1}{a} e^{a t}$ .

Notez bien

Pour tout $a \in ℝ$ $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ et pour tout $b \in ℝ et n \in ℤ$ , $e^{n \times b} = {(e^{b})}^{n}$ .

$\begin{matrix} A (20) = 15 \times (20 - 10) - 75 \int_{10}^{20} e^{- \frac{\ln (5)}{10} t} d t \\ = 150 - 75 \times {[- \frac{10}{\ln (5)} e^{- \frac{\ln (5)}{10} t}]}_{10}^{20} \\ = 150 + 75 \times \frac{10}{\ln (5)} \times {[e^{- \frac{\ln (5)}{10} t}]}_{10}^{20} \\ = 150 + \frac{750}{\ln (5)} \times [e^{- \frac{\ln (5)}{10} \times 20} - e^{- \frac{\ln (5)}{10} \times 10}] \\ = 150 + \frac{750}{\ln (5)} \times [e^{- 2 \ln (5)} - e^{- \ln (5)}] \\ = 150 + \frac{750}{\ln (5)} \times [\frac{1}{{(e^{\ln (5)})}^{2}} - \frac{1}{e^{\ln (5)}}] \\ = 150 + \frac{750}{\ln (5)} \times [\frac{1}{25} - \frac{1}{5}] \\ = 150 - \frac{750}{\ln (5)} \times \frac{4}{25} = 150 \times (1 - \frac{4}{5 \ln (5)}) \approx 75,44 . \end{matrix}$

Comme $A (20) < 80$ , la stérilisation n’est pas finie au bout de 20 minutes.

Pas encore de compte ?

Stérilisation d’une boîte de conserve

Partie A : Modélisation discrète

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Partie A

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▶ 1. Déterminer une température

▶ 2. Justifier la formule explicite d’une suite

▶ 3. Résoudre une inéquation

partie b

▶ 1. a) Étudier le sens de variation d’une fonction

b) Justifier une implication

▶ 2. a) Justifier une inégalité

b) Établir une égalité

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