Stérilisation d’une boîte de conserve

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry


Pondichéry • Avril 2016

Exercice 5 • 5 points

Stérilisation d’une boîte de conserve

On souhaite stériliser une boîte de conserve.

Pour cela, on la prend à la température ambiante T= 25 °C et on la place dans un four à température constante TF = 100 °C.

La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Modélisation discrète

Pour n entier naturel, on note Tn la température en degrés Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T= 25.

Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :

Initialisation

T prend la valeur 25

Traitement

Demander la valeur de n

Pour i allant de 1 à n faire

T prend la valeur 0,85 × T +15

Fin Pour

Sortie

Afficher T

▶ 1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l’unité.

▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

on a T= 100 − 75 × 0,85n.

▶ 3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?

Partie B : Modélisation continue

Dans cette partie, t désigne un réel positif.

On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degrés Celsius) avec :

f(t)=10075eln510t.

▶ 1. a) Étudier le sens de variation de f sur [0  + [.

b) Justifier que si t10 alorsf(t)85.

▶ 2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.

On note A(θ) le domaine délimité par les droites d’équation = 10, = θ, y = 85 et la courbe représentative 𝒞 f de f.

On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine A(θ) est supérieure à 80.

matT_1604_12_01C_08

a) Justifier, à l’aide du graphique ci-dessus, que l’on a A(25) &gt 80.

b) Justifier que, pour θ10, on a A(θ)=15(θ10)7510θeln510tdt.

c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Suites • Fonction logarithme népérien • Dérivation • Fonction exponentielle • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1  Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9b • E9e • E9f Partie A, 3.  Partie B, 1. b) et 2. c)

Fonction exponentielle  E8b  Partie B, 1. b) et 2. c)

Dérivation  E6c • E6e • E6f  Partie B, 1. a)

Intégration  E11 • E13 • E14 • E15  Partie B, 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

 1. a) Étudiez le signe de la dérivée f sur [0+[ et concluez. N’oubliez pas avant de dériver de justifier la dérivabilité de la fonction considérée sur l’intervalle proposé.

 2. c) En vous aidant de l’énoncé, traduisez la question posée à l’aide d’une condition sur A(20) et effectuez le calcul d’intégrale correspondant.