▶ 1. Extraire des informations d'un graphe

Le graphe montre une alternance de phases de décharge (lorsque la tension diminue lentement) et de phases de charge (lorsque la tension croît brutalement). Chaque charge correspond à un segment vertical sur la courbe.

▶ 2. Extraire des informations d'un document et les exploiter

La constante de temps pour le circuit de charge est τ_charge = rC avec C = 0,470 µF = 0,47 × 10^–6 F et r de l'ordre de 10 Ω donc τ_charge est de l'ordre de quelques 10^–6 s (microsecondes).

Cette durée est très faible au regard d'une phase de décharge (de l'ordre de la seconde), ainsi qu'on peut le constater sur le graphe. La décharge est effectivement beaucoup plus lente car la résistance R du circuit de décharge est nettement supérieure à r. C'est la raison pour laquelle la phase de charge correspond à un segment de droite vertical.

▶ 3. Extraire des informations d'un document et d'un graphe

Le document précise que le condensateur se charge totalement lorsque l'interrupteur est en position 1. La valeur atteinte au maximum par la tension u_C est donc égale à la tension E délivrée par le générateur.

Par ailleurs, la décharge s'arrête lorsque la tension u_C atteint la valeur u_lim. Par lecture graphique, on obtient : E = 5,6 V et u_lim = 1,6 V.

▶ 4. Établir une équation différentielle

La loi des mailles se traduit par : u_C + u_R = 0.

La loi d'Ohm s'écrit : u_R = Ri.

On obtient ainsi : u_C + Ri = 0.

Par ailleurs, avec l'orientation choisie pour le courant, on a i = $\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$ et la charge du condensateur s'exprime q = Cu_C.

L'intensité peut donc s'exprimer en fonction de la tension par : $i=C\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$.

Finalement, on aboutit à l'équation différentielle : $u_{\text{C}}+RC\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0.

▶ 5. Résoudre une équation différentielle du premier ordre

La solution de l'équation différentielle est de la forme u_C(t) = $A{\text{e}}^{–\frac{t}{\text{τ}}}$ où A et τ sont des constantes. On dérive : $\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}=-\frac{A}{\text{τ}}{\text{e}}^{–\frac{t}{\text{τ}}}$.

On constate que $\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}=-\frac{u_{\text{C}}}{\text{τ}}$ soit : $u_{\text{C}}+\text{τ}\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0.

On compare avec l'équation à résoudre $u_{\text{C}}+RC\frac{\text{d}{u}_{\text{C}}}{\text{d}t}$ = 0 et on en déduit que τ = RC. On utilise ensuite la condition initiale pour déterminer la valeur de A. Initialement, le condensateur est totalement chargé : u_C(0) = E = $A{\text{e}}^{–\frac{0}{\text{τ}}}$ donc A = E.

Finalement, la solution est : u_C(t) = $E{\text{e}}^{–\frac{t}{RC}}$.

▶ 6. Déterminer graphiquement une constante de temps

Pour t = τ, le condensateur est déchargé à 63 % donc la tension aux bornes du condensateur est égale à 37 % de sa valeur initiale, soit :

u_c(τ) = 0,37 × E = 0,37 × 5,6 = 2,1 V.

Par lecture graphique : τ = 0,8 s.

La résistance R vaut donc :

$R=\frac{\text{τ}}{C}=\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,47}\times {10}^{-6}}$ = 1,7 × 10⁶ Ω

 = 1,7 MΩ.

▶ 7. Mesurer une période

Sur le graphe, on constate que l'intervalle de temps séparant deux impulsions électriques envoyées au cœur (c'est-à-dire le temps séparant une charge du condensateur de la suivante) est de 1,0 s. Par conséquent, cela signifie que le cœur du patient bat, grâce au pacemaker, à raison d'une pulsation par seconde, soit 60 pulsations par minute.

▶ 8. Analyser l'influence d'un paramètre

Si la tension u_lim est augmentée jusqu'à la valeur de 2,1 V, alors la décharge du condensateur ne durera que 0,8 s (question 6) et la durée entre deux impulsions électriques envoyées au cœur sera de 0,8 s.

Le rythme cardiaque du patient va s'accélérer : 0,8 s s'écoulera entre deux pulsations soit $\frac{60}{\mathrm{0,8}}$ = 75 pulsations par minute.