Annale corrigée Exercice

Stimulateur cardiaque

Ondes et signaux

Stimulateur cardiaque

40 min

4 points

Intérêt du sujet • Ce sujet s'intéresse au processus de charge-décharge du condensateur d'un stimulateur cardiaque. Il s'agit d'étudier qualitativement la charge, d'établir l'équation différentielle de la décharge et de la résoudre, puis de faire le lien avec le rythme cardiaque d'un patient.

 

Notre cœur bat 24 h sur 24 pendant toute notre vie, grâce à un stimulateur naturel : le nœud sinusal. Lorsque celui-ci ne remplit plus correctement son rôle, la chirurgie permet d'implanter dans la cage thoracique un stimulateur cardiaque artificiel, aussi appelé pacemaker, qui va forcer le muscle cardiaque à battre régulièrement, en lui envoyant de petites impulsions électriques par l'intermédiaire de sondes.

DocumentPrincipe de fonctionnement d'un pacemaker

Un pacemaker est un dispositif miniaturisé, relié au cœur humain par des électrodes (appelées sondes). Il est alimenté par une pile ayant une durée de vie de 5 à 10 ans. Le générateur d'impulsions du pacemaker peut être modélisé par un circuit électrique simplifié comportant un condensateur.

PCHt_2000_00_19C_01

La capacité du condensateur est C = 0,47 µF et l'ordre de grandeur de la résistance r est 10 Ω, de telle sorte que le condensateur se charge très rapidement et complètement lorsque l'interrupteur (en réalité un dispositif électronique sophistiqué) est en position 1.

Dès que la charge est terminée, l'interrupteur bascule automatiquement en position 2. Le condensateur se décharge lentement dans la résistance R, de valeur nettement supérieure à r, jusqu'à ce que la tension uC à ses bornes atteigne une valeur limite ulim. Le pacemaker envoie alors au cœur une impulsion électrique par l'intermédiaire des sondes. L'interrupteur bascule simultanément en position 1, et le processus recommence. L'évolution temporelle de la tension uC aux bornes du condensateur a alors l'allure suivante :

PCHt_2000_00_19C_02

1. Indiquer à quelles portions de la courbe correspondent les phases de charge du condensateur.

2. Expliquer pourquoi les phases de charge du condensateur sont très rapides par rapport aux phases de décharge.

3. Déterminer la valeur de la tension E fournie par la pile et la valeur de la tension ulim, en expliquant le raisonnement.

4. Établir l'équation différentielle à laquelle la tension uc obéit durant une phase de décharge du condensateur.

5. La solution de cette équation est de la forme : uC(t)=Aetτ.

Établir l'expression des constantes τ et A.

6. Déterminer la valeur de la résistance R.

7. Déterminer le rythme cardiaque du patient quand le pace­maker émet les impulsions électriques visualisées sur le graphique du document.

8. Indiquer l'effet, sur le rythme cardiaque, d'une augmentation de la valeur de la tension ulim jusqu'à 2,1 V, tous les autres paramètres restant inchangés. Déterminer le nouveau rythme cardiaque.

 

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

PCHt_2000_00_19C_03

Les conseils du correcteur

2. Utilisez l'expression de la constante de temps pour la charge.

4. Utilisez la loi des mailles, la loi d'Ohm et la relation entre l'intensité et la dérivée de la tension aux bornes du condensateur.

5. Calculez la dérivée duCdt et faites le lien avec uC puis comparez avec l'équation différentielle à résoudre pour déterminer la constante τ. Utilisez la condition initiale pour exprimer A.

6. Déterminez graphiquement la constante de temps pour en déduire la valeur de la résistance.

8. Analysez l'effet de la modification de la tension ulim sur le graphe.

1. Extraire des informations d'un graphe

Le graphe montre une alternance de phases de décharge (lorsque la tension diminue lentement) et de phases de charge (lorsque la tension croît brutalement). Chaque charge correspond à un segment vertical sur la courbe.

2. Extraire des informations d'un document et les exploiter

La constante de temps pour le circuit de charge est τcharge = rC avec C = 0,470 µF = 0,47 × 10–6 F et r de l'ordre de 10 Ω donc τcharge est de l'ordre de quelques 10–6 s (microsecondes).

Cette durée est très faible au regard d'une phase de décharge (de l'ordre de la seconde), ainsi qu'on peut le constater sur le graphe. La décharge est effectivement beaucoup plus lente car la résistance R du circuit de décharge est nettement supérieure à r. C'est la raison pour laquelle la phase de charge correspond à un segment de droite vertical.

3. Extraire des informations d'un document et d'un graphe

Le document précise que le condensateur se charge totalement lorsque l'interrupteur est en position 1. La valeur atteinte au maximum par la tension uC est donc égale à la tension E délivrée par le générateur.

Par ailleurs, la décharge s'arrête lorsque la tension uC atteint la valeur ulim. Par lecture graphique, on obtient : E = 5,6 V et ulim = 1,6 V.

PCHt_2000_00_19C_04

4. Établir une équation différentielle

PCHt_2000_00_19C_05

La loi des mailles se traduit par : uC + uR = 0.

La loi d'Ohm s'écrit : uR = Ri.

On obtient ainsi : uCRi = 0.

Par ailleurs, avec l'orientation choisie pour le courant, on a i = dqdt et la charge du condensateur s'exprime CuC.

à noter

Si on choisit initialement l'autre sens pour l'intensité i, il faut en tenir compte dans les expressions de la loi d'Ohm uR = –Ri et de l'intensité i = CduCdt. La loi des mailles s'écrit alors uC - Ri = 0 et on aboutit à la même équation différentielle uC+RCduCdt = 0.

L'intensité peut donc s'exprimer en fonction de la tension par : i=CduCdt.

Finalement, on aboutit à l'équation différentielle : uC+RCduCdt = 0.

5. Résoudre une équation différentielle du premier ordre

La solution de l'équation différentielle est de la forme uC(t) = Aetτ où A et τ sont des constantes. On dérive : duCdt=Aτetτ.

On constate que duCdt=uCτ soit : uC+τduCdt = 0.

On compare avec l'équation à résoudre uC+RCduCdt = 0 et on en déduit que τ = RC. On utilise ensuite la condition initiale pour déterminer la valeur de A. Initialement, le condensateur est totalement chargé : uC(0) = E = Ae0τ donc A = E.

Finalement, la solution est : uC(t) = EetRC.

6. Déterminer graphiquement une constante de temps

PCHt_2000_00_19C_06

Pour t = τ, le condensateur est déchargé à 63 % donc la tension aux bornes du condensateur est égale à 37 % de sa valeur initiale, soit :

uc(τ) = 0,37 × E = 0,37 × 5,6 = 2,1 V.

Par lecture graphique : τ = 0,8 s.

La résistance R vaut donc :

R=τC=0,80,47×106 = 1,7 × 106 Ω

 = 1,7 MΩ.

7. Mesurer une période

Sur le graphe, on constate que l'intervalle de temps séparant deux impulsions électriques envoyées au cœur (c'est-à-dire le temps séparant une charge du condensateur de la suivante) est de 1,0 s. Par conséquent, cela signifie que le cœur du patient bat, grâce au pacemaker, à raison d'une pulsation par seconde, soit 60 pulsations par minute.

8. Analyser l'influence d'un paramètre

Si la tension ulim est augmentée jusqu'à la valeur de 2,1 V, alors la décharge du condensateur ne durera que 0,8 s (question 6) et la durée entre deux impulsions électriques envoyées au cœur sera de 0,8 s.

Le rythme cardiaque du patient va s'accélérer : 0,8 s s'écoulera entre deux pulsations soit 600,8 = 75 pulsations par minute.

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