Partie A

▶ 1. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction

La fonction F₁ est dérivable sur $[\text{0 };1]$ ; pour tout x dans cet intervalle :

$F_1{}^{\prime }\left(x\right)={\text{e}}^x+(x-1){\text{e}}^x$

$F_1{}^{\prime }\left(x\right)={\text{e}}^x(1+x-1)$

$F_1{}^{\prime }\left(x\right)=x{\text{e}}^x$

${F^{\prime }}_1\left(x\right)=f_1\left(x\right)$.

On en déduit que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$ sur $[\text{0 };1]$.

b) Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive

$I_1={\int }_0^1{f}_1\left(x\right)\text{d}x$.

D’après la question précédente, puisque F₁ est une primitive de f₁ sur $[\text{0 };1]$ :

$I_1=F_1\left(1\right)-F_1\left(0\right)$

$I_1=0-(-{\text{e}}^0)$

$I_1=1$.

▶ 2. Appliquer la formule d’intégration par parties

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, $I_{n+1}={\int }_0^1{x}^{n+1}{\text{e}}^x\text{d}x$.

On pose, pour tout x dans $[\text{0 };1]$ :

$u\left(x\right)=x^{n+1}$ et $v^{\prime }\left(x\right)={\text{e}}^x$, d’où $u^{\prime }\left(x\right)=(n+1)x^n$ et $v\left(x\right)={\text{e}}^x$.

Les fonctions u et v sont dérivables sur $[\text{0 };1]$, leurs dérivées u′ et v′ sont continues sur cet intervalle. En faisant une intégration par parties, on en déduit :

$I_{n+1}={\left[x^{n+1}{\text{e}}^x\right]}_0^1-{\int }_0^1(n+1)x^n{\text{e}}^x\text{d}x$.

Par linéarité de l’intégrale :

$I_{n+1}=\text{e}-(n+1){\int }_0^1{x}^n{\text{e}}^x\text{d}x$

$I_{n+1}=\text{e}-(n+1)I_n$.

▶ 3. Calculer une intégrale

On applique la relation précédente avec n = 1, soit I₂ = e - 2I₁.

Or I₁ = 1, donc $I_2=\text{e}-2$.

▶ 4. Donner la valeur renvoyée par l’exécution d’un algorithme

Initialement, la liste L a un seul terme, qui est 1, c’est-à-dire la valeur de I₁. À chaque passage dans la boucle, a est remplacé par e – (i + 1)a, où i prend successivement comme valeurs 1, 2, 3 et 4 si l’appel est mystere(5).

Si a contient la valeur I_k, alors, après une exécution de la boucle, elle contient la valeur $I_{k+1}$ ; cette valeur est ensuite ajoutée à la fin de la liste L.

Des valeurs approchées de I₂, I₃, I₄ et I₅ sont donc successivement ajoutées.

Finalement, mystere(5) donne une liste de valeurs approchées de $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$, $I_5$.

Partie B

▶ 1. a) Donner une interprétation graphique d’une intégrale

$I_n={\int }_0^1{f}_n\left(x\right)\text{d}x$ et la fonction f_n est positive sur l’intervalle $[\text{0 };1]$.

I_n est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe $C_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.

b) Émettre par lecture graphique une conjecture sur la limite d’une suite

D’après le graphique et la question précédente, on peut conjecturer que la suite (I_n) converge vers 0.

▶ 2. Établir un encadrement d’une intégrale

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Pour tout x dans l’intervalle $[\text{0 };1]$, $x^n\text{≥}0$ et ${\text{e}}^x\text{>}0$, donc $f_n\left(x\right)\text{≥}0$.

Par positivité de l’intégrale, on en déduit que I_n ≥ 0.

Pour tout x dans l’intervalle $[0 ; 1]$, ${\text{e}}^x\text{≤}\text{e}$ et $x^n\text{≥}0$, donc $f_n\left(x\right)\text{≤}\text{e}{x}^n$.

Donc ${\int }_0^1{f}_n\left(x\right)\text{d}x\text{≤}{\int }_0^1\text{e}{x}^n\text{d}x$, soit, par linéarité de l’intégrale :

$I_n\text{≤}\text{e}{\int }_0^1{x}^n\text{d}x$.

On a finalement $0\text{≤}{I}_n\text{≤}\text{ e}{\int }_0^1{x}^n\text{d}x$.

▶ 3. Déterminer la limite d’une suite

Une primitive de la fonction $x\mapsto x^n$ est la fonction $x\mapsto \frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$, donc :

${\int }_0^1{x}^n\text{d}x={\left[\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}\right]}_0^1$

${\int }_0^1{x}^n\text{d}x=\frac{1}{n+1}$.

Donc, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :

$0\text{≤}{I}_n\text{≤}\frac{\text{e}}{n+1}$.

Or $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\text{e}}{n+1}=0$, donc, d’après le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.