Suites arithmétiques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Suites arithmétiques. Suites géométriques

Premier exercice de type Bac – Variation de x %

On injecte dans le sang d’un malade une dose d’un médicament M. On note c0 la concentration (en milligrammes par litre, notés mg/L) du médicament injecté, on donne c0 = 4. On suppose que ce médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite éliminé progressivement. Le but de l’exercice est d’étudier la concentration du médicament M en fonction du temps.

On note cn la concentration en mg/L du médicament M dans le sang au bout de n heures (n entier naturel).

On rappelle que c0 = 4.

1. On constate qu’une heure après l’injection, la concentration du médicament M dans le sang a diminué de 30 %.

a. Montrer que le coefficient multiplicatif qui permet de calculer la concentration c1 du médicament M présent dans le sang une heure après l’injection est égal à 0,7.

b. Calculer c1.

2. On constate que la concentration du médicament M continue de diminuer de 30 % chaque heure.

a. Calculer la concentration c2 du médicament M deux heures après l’injection, puis les concentrations c3 et c4.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, cn+1 = 0,7 cn. En déduire la nature de la suite (cn).

c. Donner l’expression de cn en fonction de n.

d. Calculer c12 et c13 (le résultat sera arrondi au centième).

e. On estime que le médicament M est totalement éliminé lorsque cn est inférieure à 0,05. Après combien d’heures peut-on considérer que le médicament a été éliminé ?

Corrigé

Soit cn la concentration en mg/L du médicament au bout de n heures.

1. a. On a : c1=c030100c0 soit, c1 = 0,7c0, donc le coefficient multiplicatif qui permet de calculer la concentration c1 est égal à 0,7.

b. On a : c1 = 0,7c0 soit c1 = 2,8.

2. a. On a : c2=c130100c1 soit c2 = 0,7c1.

On en déduit que c2 = 1,96.

De même, on a : c3 = 0,7c2, c3 = 1,372 et c4 = 0,7c3, c4 = 0,9604.

b. Pour tout entier naturel n, cn+1 = cn – 0,30cn = (1 – 0,3)cn, cn+1 = 0,7cn,

donc (cn) est la suite géométrique de premier terme c0 = 4 et de raison 0,7.

c. On en déduit que, pour tout entier naturel n, cn = 4 × (0,7)n.

d. Du résultat précédent on déduit que :

c12 = 4 × (0,7)12, c12 0,06, et que : c13 ≈ 4 × (0,7)13, c13 0,04.

e. Au bout de 13 heures on peut considérer que le médicament a été éliminé.