Suites arithmétiques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Suites arithmétiques. Suites géométriques

Quatrième exercice de type Bac – Suite géométrique, pourcentage d’évolution et tableur

A. Utilisation d’une suite géométrique

On prévoit que le nombre de malades atteints d’une certaine pathologie respiratoire, en France, augmente de 6 % par an à partir de 2014. On désigne par un le nombre de malades l’année (2014 + n). On a u0 = 61 353.

Dans ce qui suit, tous les résultats sont à arrondir à l’unité.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,06 un.

b. En déduire la nature de la suite (un).

c. Donner, pour tout entier naturel n, l’expression de un en fonction de n.

3. Déterminer le nombre de malades que l’on peut prévoir pour 2020.

4. Déterminer le nombre total de malades atteints de cette pathologie pour les six années de 2014 à 2020.

Rappel : La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison q 1 est donnée par :

S=u1+u2++un=u1×1qn1q.

B. Avec le tableur

1. La feuille de calcul ci-dessous donne le nombre de malades atteints de la pathologie respiratoire en France depuis 2010. Les cellules de la ligne 3 sont au format Pourcentage.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_8

Quelle formule peut-on entrer en C3, puis recopier vers la droite, pour obtenir le taux d’augmentation du nombre de ces malades depuis l’année 2010 ?

2. On sait que le taux d’évolution du nombre de malades atteints de cette pathologie entre 2014 et 2015 a été de + 6 %. Calculer le nombre de malades pour l’année 2015.

3. Calculer le taux global d’augmentation du nombre de malades entre 2010 et 2015.

Maths_C02_02

Corrigé

A. 1. u1=1,06u065034.

u2=1,06u168936.

2.a. un+1=un+6100un=(1+0,06)un=1,06un.

b. La suite (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 61 353 et de raison q = 1,06.

c. Pour tout entier n, un = 61 353 (1,06)n.

3. 2020 = 2014 + 6. u6 ≈ 87 030.

Pour 2020, on peut prévoir 87 030 malades.

4. S=61353×1(1,06)61(1,06)427957.

B. 1. =(C2-$B$2)/$B$2.

2. Le nombre de malades pour 2015 est : 61 353 × 1,06 ≈ 65 034.

3. 65034513821,2657=1+0,2657

Le nombre de malades a augmenté de 26,57 %.