Suites arithmétiques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Suites arithmétiques. Suites géométriques

Premier exercice de type Bac – Avec le tableur et un algorithme

On s’intéresse à l’évolution de la population d’une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d’évolution. En 2015, la population de la ville V est estimée à 10 000 habitants.

Partie I : étude des deux modèles

1. Première hypothèse de croissance

En analysant l’évolution récente, on fait d’abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.

On note u0 = 10 000 la population en 2015, et un la population en (2015 + n).

a. Quelle est la nature de la suite (un) ?

b. Exprimer un en fonction de n.

c. En quelle année la population atteindra-t-elle 20 000 habitants ?

2. Deuxième hypothèse de croissance

On travaille avec l’hypothèse d’une augmentation de 4,7 % par an.

On note vn la population en (2015 + n). Nous avons alors v0 = 10 000.

a. Quelle sera alors la population en 2016 ? En 2017 ?

b. Quelle est la nature de la suite (vn) ?

c. Exprimer vn en fonction de n.

d. Calculer la population de la ville en 2030.

e. En examinant l’évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.

Le résultat trouvé en 2.d. vous paraît-il correspondre à ce que pensaient les experts ?

Partie II : analyse des résultats sur tableur

On veut utiliser un tableur pour comparer l’évolution de la population suivant les deux modèles :

Il n’est pas nécessaire d’utiliser un ordinateur pour répondre à ce type de question…

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_39

1. Quelle formule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (un) ?

2. Quelle formule faut-il entrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite (vn) ?

3. En cellule B8, quel sera lors le résultat affiché ?

Partie III : utilisation d’un algorithme

On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES

i, n, v

ENTRÉE

Saisir n

TRAITEMENT

v prend la valeur 10 000

Pour i allant de 1 à n

v prend la valeur 1,047 × v

Fin Pour

SORTIE

Afficher v

1. Quelle est la fonction de cet algorithme ?

2. Déterminer la valeur affichée par cet algorithme pour n = 5. Arrondir à 10–2.

Corrigé

Partie I

1. a. Une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = unr, est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout entier naturel n, un+1 = un + 500.

La suite (un) est donc la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 000 et de raison r = 500.

b. Si (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors, pour tout entier naturel n, unu0nr.

Avec u0 = 10 000, r = 500, on obtient : un = 10 000 + 500n.

c. On cherche n tel que un = 20 000, ce qui est équivalent à :

10 000 + 500n = 20 000 ; 500n = 10 000 ; n = 20.

La population atteindra 20 000 habitants en 2035.

2. a. • La population en 2016 sera :

v1v0 + 0,047v0 = 1,047v0 ; v1 = 1,047× 10 000 ;

v1 = 10 470. La population en 2016 sera de 10 470 habitants.

• 2017 = 2015 + 2. On calcule v2. v2 = 1,047v1 ; v2 = 10 962,1.

En arrondissant à l’unité, la population en 2017 sera de 10 962 habitants.

b. • Pour tout entier naturel n, vn+1 = vn + 0,047vn, vn+1 = 1,047vn.

Une suite (un) telle que, pour tout entier naturel n, un+1 = qun est une suite géométrique de raison q.

Pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,047vn.

La suite (vn) est donc la suite géométrique de premier terme v0 = 10 000 et de raison q = 1,047.

Pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,047vn.

La suite (vn) est donc la suite géométrique de premier terme v0 = 10 000 et de raison 1,047.

• Si (un) est la suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors, pour tout entier naturel n, unu0qn.

Avec v0 = 10 000, q = 1,047, on obtient :

vn = 10 000(1,047)n.

c. La population en 2030 = 2015 + 15 est donnée par : v15 = 10 000(1,047)15, v15 ≈ 19 915,9.

En arrondissant à l’unité, on obtient, en 2030 une population de 19 916 habitants.

d. En 15 ans, la population a « presque » doublé.

Partie II

1. On entre en B3 la formule =B2+500.

2. On entre en C3 la formule =C2*1,047.

3. Le résultat affiché en B8 est 13 000.

Par recopie, on obtient :

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_38

Partie III

1. Cet algorithme calcule les termes d’une suite géométrique de raison 1,047 et de premier terme 10 000.

2. La valeur affichée est 10 000 × (1,047)512 581,53.