Suites d’intégrales

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Suites d’intégrales

Intégration

matT_1406_07_02C

Ens. spécifique

18

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 1 • 5 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par 𝒞1 la courbe représentative de la fonction f1 définie sur par :

f1(x) =x + ex.

>1. Justifier que 𝒞1 passe par le point A de coordonnées (0 ; 1).

>2. Déterminer le tableau de variations de la fonction f1. On précisera les limites de f1 en + ∞ et en - ∞.

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite (In) définie sur par :

>1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé , pour tout entier naturel n, on note 𝒞n la courbe représentative de la fonction fn définie sur par fn(x) =x + enx.

Sur le graphique ci-après on a tracé la courbe 𝒞n pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite 𝒟 d’équation x= 1.

a) Interpréter géométriquement l’intégrale In.

b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

>2. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

En déduire le signe de In+1In puis démontrer que la suite (In) est convergente.

>3. Déterminer l’expression de In en fonction de n et déterminer la limite de la suite (In).


Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Intégration • Fonction exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Définition et propriétés de la fonction exponentielle  E8 Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 1. a), 2. et 3.
  • Propriétés de la fonction logarithme népérien  E9a • E9e  → Partie A, 2.
  • Définition et propriétés sur les suites (généralités)  E2a • E2b • E2c • E2e  → Partie B, 1. b), 2. et 3.
  • Intégration (calculs et interprétation)  E11 • E13 • E14 • E15a  → Partie B, 1. a), 1. b), 2. et 3.
  • Calcul de limites  E5a  → Partie A, 2. ; Partie B, 3.
  • Formules de dérivation  E6c • E6e • E6f  → Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Calculez pour tout nombre réel et étudiez son signe. Concluez sur les variations de . Pour déterminer la limite de en , factorisez par puis utilisez les limites usuelles et les croissances comparées.

Partie B

>2. Pour démontrer que la suite est convergente, justifiez qu’elle est décroissante et minorée.

Corrigé
Corrigé

Partie A

>1. Vérifier qu’un point appartient à une courbe

et

Le point A de coordonnéesappartient donc à la courbe représentativede la fonction.

>2. Dresser un tableau de variations

Notez bien

= .

  • La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et pour tout nombre réel , nous avons : .
  • .

Ainsi, s’annule en Par un raisonnement analogue, nous pouvons démontrer que :

et .

Ainsi, est strictement positive sur et strictement négative sur .

La fonction est donc croissante sur et décroissante sur .

  • Comme ,

alors par somme, .

Notez bien

Croissances comparées.

Comme pour tout nombre réel , et comme , alors par somme et produit, .

Ce qui se résume par le tableau de variations suivant :


Partie B

>1. a) Interpréter géométriquement une intégrale

Soit un entier naturel.

  • La fonction est continue sur comme somme et composée de fonctions usuelles continues sur .
  • Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle , et . La fonction est donc positive sur

Par les deux points précédents, nous en déduisons que est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe représentativeet les droites d’équationset.

b) Conjecturer le sens de variation et la limite d’une suite

  • D’après la question 1. a) de la partie B et à l’aide du graphique, nous en déduisons immédiatement que :

.

( n’étant pas tracée, nous ne pouvons pas inclure .)

La suitesemble strictement décroissante.

  • Quand augmente, la courbe semble se rapprocher de la courbe représentative de la fonction identité, à savoir la droite d’équation . De ce fait, se rapprocherait de l’aire hachurée dans la figure suivante qui est l’aire d’un triangle et qui est égale à .

La suitesemble converger et sa limite semble être.

>2. Démontrer qu’une suite est convergente

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Notez bien

Pour tous nombres réels et .

Pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle . En effet, .

Comme, de plus, est strictement positif, .

D’après les deux points précédents, pour tout entier naturel , .

Remarque. La démonstration précédente reste valable si .

Autrement dit, la suite est décroissante. De plus, d’après la question B 1. a), pour tout entier naturel , La suite étant décroissante et minorée, elle est convergente.

>3. Déterminer la limite d’une suite

Soit un entier naturel.

  • Cas .

  • Cas .

D’une part (limite de référence) et d’autre part (produit de limites), soit .

Nous avons alors par somme et différence :

.

La limite de la suiteest.

Ce résultat est cohérent avec la question B 1. b).