Annale corrigée Exercice Ancien programme

Suites d'intégrales

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 3 • 5 points • 1 h

Suites d'intégrales

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral

 

Partie A

Soit la fonction f définie et dérivable sur [1  +[ telle que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :

f(x)=1xln(x).

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe C admet une asymptote horizontale.

2. Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f sur [1  +[.

3. Étudier les variations de la fonction f sur [1  +[.

Partie B

On considère la suite (un) définie par :

un=121xn+1ln(x)dx pour tout entier naturel n.

1. Démontrer que u0=12(ln(2))2.

Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l'intervalle [1  2], on a :

01xn+1ln(x)1xn+1ln(2).

3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :

0unln(2)n(112n).

4. Déterminer la limite de la suite (un).

Les clés du sujet

Partie A

1. Précisez la limite de la fonction f en + et concluez.

Partie B

1. Remplacez n par 0 dans l'expression de un donnée dans l'énoncé puis calculez l'intégrale induite avant de conclure.

2. Partez de l'inégalité 1x2 et raisonnez par implication.

4. Pensez au théorème des gendarmes.

Corrigé

partie A

1. Justifier l'existence d'une asymptote  E5d • E9c 

Comme limx+f(x)=limx+1xln(x)=0 (croissances comparées), la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale.

2. Déterminer une fonction dérivée  E6e • E6f 

La fonction inverse et la fonction logarithme népérien, fonctions de référence, sont toutes deux dérivables sur l'intervalle ]0   + [ donc sur l'intervalle [1   + [. Par suite, comme produit de ces deux fonctions, la fonction f est dérivable sur l'intervalle [1   + [.

La fonction f est de type u×v avec u:x1x et v:xln(x) de dérivées respectives u:x1x2 et v:x1x. Par suite, nous avons, pour tout x appartenant à [1   + [ :

rappel

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors le produit u×v est dérivable sur I et (u×v)=u×v+u×v.

f(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)=1x2×ln(x)+1x×1x=1x2×(1ln(x)).

La fonction dérivée f de la fonction f sur [1   + [ est ainsi définie par f(x)=1x2×(1ln(x)).

3. Étudier les variations d'une fonction  E6c • E9a • E8f 

Étudions le signe de f(x) sur l'intervalle [1   + [. Nous avons tout d'abord :

rappel

ln(e)=1.

Pour tous réels a et b : b>aeb>ea.

1x2×(1ln(x))=0x > 01ln(x)=01=ln(x)x=e.

De plus, nous avons :

1x2×(1ln(x))>0x > 01ln(x)>01>ln(x)e1>xe>x.

Comme la fonction f est strictement positive sur [1   e[, la fonction f est alors strictement croissante sur [1   e]. Similairement la fonction f étant strictement négative sur ]e   + [, la fonction f est strictement décroissante sur [e   + [.

Nous en concluons que f est strictement croissante sur [1   e] et strictement décroissante sur [e   + [.

partie B

1. Calculer une intégrale et l'interpréter  E7b • E11 • E13 • E14 

Pour n=0, nous avons :

u0=121x0+1ln(x)dx=121xln(x)dx=12f(x)dx.

La fonction f étant dérivable sur [1   + [ donc sur l'intervalle [1   2], la fonction f y est continue et elle admet ainsi des primitives sur cet intervalle. Or, nous avons, pour tout nombre réel x de [1   2] : f(x)=u(x)×u(x)u:xln(x) et u:x1x.

Une primitive de f sur cet intervalle est ainsi :

F:xu2(x)2=(ln(x))22.

rappel

ln(1)=0.

Par suite, u0=12f(x)dx=[F(x)]12=(ln(2))22(ln(1))22=12(ln(2))2.

Nous en concluons que : u0=12(ln(2))2.

u0 est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [1   2]. Or, cette fonction f est positive sur cet intervalle. Par suite, u0 est l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée dans le repère orthonormé par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=2 (colorée en rouge dans la figure ci-dessous).

matT_1709_04_01C_01

2. Justifier un encadrement  E9a • E9e 

Pour tout entier naturel n, nous avons :

1x2ln(1)ln(x)ln(2)(la fonction ln est strictement croissante sur [1   2]) 0ln(x)ln(2)(ln(1)=0)01xn+1ln(x)1xn+1ln(2)(x>0 donc xn+1>0).

Par conséquent, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l'intervalle [1  2] :

01xn+1ln(x)1xn+1ln(2).

3. Justifier un encadrement  E11c • E15a • E15c 

Soit n un entier naturel non nul.

D'après la question précédente, pour tout nombre réel x de l'intervalle [1  2], 01xn+1ln(x)1xn+1ln(2). Or, les fonctions x1xn+1ln(x) et x1xn+1ln(2) sont continues sur l'intervalle [1  2]. Par suite, par propriétés des intégrales, nous en déduisons que :

0121xn+1ln(x)dx121xn+1ln(2)dxdéfinitionde un0un121xn+1ln(2)dx.

Par linéarité, 121xn+1ln(2)dx=ln(2)×121xn+1dx. Or, la fonction x1xn+1=xn1 admet sur l'intervalle [1  2] pour primitive : xx(n1)+1(n1)+1=xnn=1n×1xn.

Nous en déduisons que :

121xn+1dx=[1n×1xn]12=(1n×12n)(1n×11n)=1n×(112n).

Nous en concluons que pour tout entier naturel non nul n, 0unln(2)n×(112n).

4. Déterminer une limite  E2c • E2d 

Nous avons :

limn+2n=+.

Par suite :

par quotient, limn+12n=0 

par somme, limn+112n=1.

limn+n=+.

Par quotient et par produit, limn+ln(2)n=0.

Par produit, nous avons alors : limn+ln(2)n×(112n)=0.

Comme pour tout entier naturel non nul n,0unln(2)n×(112n) (question B 3.) et comme limn+ln(2)n×(112n)=0, alors par le théorème des gendarmes, limn+un=0.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner