Fonction logarithme népérien

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1709_04_01C

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 3 • 5 points • ⏱ 1 h

Suites d'intégrales

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral

Partie A

Soit la fonction f définie et dérivable sur [1 + ∞[ telle que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :

$f (x) = \frac{1}{x} \ln (x)$ .

On note $C$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

▶ 1. Démontrer que la courbe $C$ admet une asymptote horizontale.

▶ 2. Déterminer la fonction dérivée f′ de la fonction f sur [1 + ∞[.

▶ 3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 + ∞[.

Partie B

On considère la suite (un) définie par :

$u_{n} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) d x$ pour tout entier naturel n.

▶ 1. Démontrer que $u_{0} = \frac{1}{2} {(\ln (2))}^{2}$ .

Interpréter graphiquement ce résultat.

▶ 2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 2], on a :

$0 \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2)$ .

▶ 3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :

$0 \leq u_{n} \leq \frac{\ln (2)}{n} (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

▶ 4. Déterminer la limite de la suite (un).

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Précisez la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ et concluez.

Partie B

▶ 1. Remplacez $n$ par 0 dans l'expression de $u_{n}$ donnée dans l'énoncé puis calculez l'intégrale induite avant de conclure.

▶ 2. Partez de l'inégalité $1 \leq x \leq 2$ et raisonnez par implication.

▶ 4. Pensez au théorème des gendarmes.

Corrigé

partie A

▶ 1. Justifier l'existence d'une asymptote E5d • E9c

Comme $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \ln (x) = 0$ (croissances comparées), la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale.

▶ 2. Déterminer une fonction dérivée E6e • E6f

La fonction inverse et la fonction logarithme népérien, fonctions de référence, sont toutes deux dérivables sur l'intervalle ]0 + ∞[ donc sur l'intervalle [1 + ∞[. Par suite, comme produit de ces deux fonctions, la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1 + ∞[.

La fonction $f$ est de type $u \times v$ avec $u : x \mapsto \frac{1}{x}$ et $v : x \mapsto \ln (x)$ de dérivées respectives $u^{'} : x \mapsto - \frac{1}{x^{2}}$ et $v^{'} : x \mapsto \frac{1}{x}$ . Par suite, nous avons, pour tout $x$ appartenant à [1 + ∞[ :

rappel

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors le produit $u \times v$ est dérivable sur I et ${(u \times v)}^{'} = u^{'} \times v + u \times v^{'}$ .

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = u^{'} (x) \times v (x) + u (x) \times v^{'} (x) \\ = - \frac{1}{x^{2}} \times \ln (x) + \frac{1}{x} \times \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x^{2}} \times (1 - \ln (x)) . \end{array}$

La fonction dérivée $f^{'}$ de la fonction $f$ sur [1 + ∞[ est ainsi définie par $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} \times (1 - \ln (x))$ .

▶ 3. Étudier les variations d'une fonction E6c • E9a • E8f

Étudions le signe de $f^{'} (x)$ sur l'intervalle [1 + ∞[. Nous avons tout d'abord :

rappel

$\ln (e) = 1$ .

Pour tous réels $a$ et $b$ : $b > a \Leftrightarrow e^{b} > e^{a}$ .

$\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2}} \times (1 - \ln (x)) = 0 \underset{x > 0}{\Leftrightarrow} 1 - \ln (x) = 0 \\ \Leftrightarrow 1 = \ln (x) \Leftrightarrow x = e \end{array}$ .

De plus, nous avons :

$\frac{1}{x^{2}} \times (1 - \ln (x)) > 0 \underset{x > 0}{\Leftrightarrow} 1 - \ln (x) > 0 \Leftrightarrow 1 > \ln (x) \Leftrightarrow e^{1} > x \Leftrightarrow e > x$ .

Comme la fonction $f^{'}$ est strictement positive sur [1 e[, la fonction $f$ est alors strictement croissante sur [1 e]. Similairement la fonction $f^{'}$ étant strictement négative sur ]e + ∞[, la fonction $f$ est strictement décroissante sur [e + ∞[.

Nous en concluons que $f$ est strictement croissante sur [1 e] et strictement décroissante sur [e + ∞[.

partie B

▶ 1. Calculer une intégrale et l'interpréter E7b • E11 • E13 • E14

Pour $n = 0,$ nous avons :

$u_{0} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{0 + 1}} \ln (x) d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

La fonction $f$ étant dérivable sur [1 + ∞[ donc sur l'intervalle [1 2], la fonction $f$ y est continue et elle admet ainsi des primitives sur cet intervalle. Or, nous avons, pour tout nombre réel $x$ de [1 2] : $f (x) = u^{'} (x) \times u (x)$ où $u : x \mapsto \ln (x)$ et $u^{'} : x \mapsto \frac{1}{x}$ .

Une primitive de $f$ sur cet intervalle est ainsi :

$F : x \mapsto \frac{u^{2} (x)}{2} = \frac{{(\ln (x))}^{2}}{2}$ .

rappel

$\ln (1) = 0 .$

Par suite, $u_{0} = \int_{1}^{2} f (x) d x = {[F (x)]}_{1}^{2} = {\frac{(\ln (2))}{2}}^{2} - {\frac{(\ln (1))}{2}}^{2} = \frac{1}{2} {(\ln (2))}^{2} .$

Nous en concluons que : $u_{0} = \frac{1}{2} {(\ln (2))}^{2}$ .

$u_{0}$ est l'intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 2]. Or, cette fonction $f$ est positive sur cet intervalle. Par suite, $u_{0}$ est l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée dans le repère orthonormé par la courbe représentative de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$ (colorée en rouge dans la figure ci-dessous).

matT_1709_04_01C_01

▶ 2. Justifier un encadrement E9a • E9e

Pour tout entier naturel $n$ , nous avons :

$\begin{array}{l} 1 \leq x \leq 2 \Rightarrow \ln (1) \leq \ln (x) \leq \ln (2) (la fonction ln est strictement \\ croissante sur [1 2]) \\ \Rightarrow 0 \leq ln(x) \leq ln(2) (\ln (1) = 0) \\ \Rightarrow 0 \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2) (x > 0 donc x^{n + 1} > 0). \end{array}$

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1 2] :

$0 \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2)$ .

▶ 3. Justifier un encadrement E11c • E15a • E15c

Soit $n$ un entier naturel non nul.

D'après la question précédente, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1 2], $0 \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) \leq \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2) .$ Or, les fonctions $x \mapsto \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x)$ et $x \mapsto \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2)$ sont continues sur l'intervalle [1 2]. Par suite, par propriétés des intégrales, nous en déduisons que :

$0 \leq \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (x) d x \leq \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2) d x \underset{\begin{matrix} définition \\ de u_{n} \end{matrix}}{\Leftrightarrow} 0 \leq u_{n} \leq \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2) d x .$

Par linéarité, $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} \ln (2) d x = \ln (2) \times \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} d x$ . Or, la fonction $x \mapsto \frac{1}{x^{n + 1}} = x^{- n - 1}$ admet sur l'intervalle [1 2] pour primitive : $x \mapsto \frac{x^{(- n - 1) + 1}}{(- n - 1) + 1} = \frac{x^{- n}}{- n} = - \frac{1}{n} \times \frac{1}{x^{n}}$ .

Nous en déduisons que :

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n + 1}} d x = {[- \frac{1}{n} \times \frac{1}{x^{n}}]}_{1}^{2} = (- \frac{1}{n} \times \frac{1}{2^{n}}) - (- \frac{1}{n} \times \frac{1}{1^{n}}) = \frac{1}{n} \times (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

Nous en concluons que pour tout entier naturel non nul $n,$ $0 \leq u_{n} \leq \frac{\ln (2)}{n} \times (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

▶ 4. Déterminer une limite E2c • E2d

Nous avons :

$\lim_{n \to + \infty} 2^{n} = + \infty$ .

Par suite :

par quotient, $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0$

par somme, $\lim_{n \to + \infty} 1 - \frac{1}{2^{n}} = 1 .$

$\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ .

Par quotient et par produit, $\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (2)}{n} = 0 .$

Par produit, nous avons alors : $\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (2)}{n} \times (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 0 .$

Comme pour tout entier naturel non nul $n,$ $0 \leq u_{n} \leq \frac{\ln (2)}{n} \times (1 - \frac{1}{2^{n}})$ (question B 3.) et comme $\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (2)}{n} \times (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 0,$ alors par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

Suites d'intégrales

Partie A

Partie B

Partie A

Partie B

partie A

▶ 1. Justifier l'existence d'une asymptote E5d • E9c

▶ 2. Déterminer une fonction dérivée E6e • E6f

▶ 3. Étudier les variations d'une fonction E6c • E9a • E8f

partie B

▶ 1. Calculer une intégrale et l'interpréter E7b • E11 • E13 • E14

▶ 2. Justifier un encadrement E9a • E9e

▶ 3. Justifier un encadrement E11c • E15a • E15c

▶ 4. Déterminer une limite E2c • E2d

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