Fonction logarithme népérien
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1709_04_01C
Antilles, Guyane • Septembre 2017
Exercice 3 • 5 points • ⏱ 1 h
Suites d'intégrales
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral
Partie A
Soit la fonction f définie et dérivable sur [1 + ∞[ telle que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :
.
On note la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
▶ 1. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
▶ 2. Déterminer la fonction dérivée f′ de la fonction f sur [1 + ∞[.
▶ 3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 + ∞[.
Partie B
On considère la suite (un) définie par :
pour tout entier naturel n.
▶ 1. Démontrer que .
Interpréter graphiquement ce résultat.
▶ 2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l'intervalle [1 2], on a :
.
▶ 3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :
.
▶ 4. Déterminer la limite de la suite (un).
Les clés du sujet
Partie A
▶ 1. Précisez la limite de la fonction en et concluez.
Partie B
▶ 1. Remplacez par 0 dans l'expression de donnée dans l'énoncé puis calculez l'intégrale induite avant de conclure.
▶ 2. Partez de l'inégalité et raisonnez par implication.
▶ 4. Pensez au théorème des gendarmes.
Corrigé
partie A
▶ 1. Justifier l'existence d'une asymptote E5d • E9c
Comme (croissances comparées), la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale.
▶ 2. Déterminer une fonction dérivée E6e • E6f
La fonction inverse et la fonction logarithme népérien, fonctions de référence, sont toutes deux dérivables sur l'intervalle ]0 + ∞[ donc sur l'intervalle [1 + ∞[. Par suite, comme produit de ces deux fonctions, la fonction est dérivable sur l'intervalle [1 + ∞[.
La fonction est de type avec et de dérivées respectives et . Par suite, nous avons, pour tout appartenant à [1 + ∞[ :
rappel
Si et sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors le produit est dérivable sur I et .
La fonction dérivée de la fonction sur [1 + ∞[ est ainsi définie par .
▶ 3. Étudier les variations d'une fonction E6c • E9a • E8f
Étudions le signe de sur l'intervalle [1 + ∞[. Nous avons tout d'abord :
rappel
.
Pour tous réels et : .
.
De plus, nous avons :
.
Comme la fonction est strictement positive sur [1 e[, la fonction est alors strictement croissante sur [1 e]. Similairement la fonction étant strictement négative sur ]e + ∞[, la fonction est strictement décroissante sur [e + ∞[.
Nous en concluons que est strictement croissante sur [1 e] et strictement décroissante sur [e + ∞[.
partie B
▶ 1. Calculer une intégrale et l'interpréter E7b • E11 • E13 • E14
Pour nous avons :
.
La fonction étant dérivable sur [1 + ∞[ donc sur l'intervalle [1 2], la fonction y est continue et elle admet ainsi des primitives sur cet intervalle. Or, nous avons, pour tout nombre réel de [1 2] : où et .
Une primitive de sur cet intervalle est ainsi :
.
rappel
Par suite,
Nous en concluons que : .
est l'intégrale de la fonction sur l'intervalle [1 2]. Or, cette fonction est positive sur cet intervalle. Par suite, est l'aire en unités d'aire de la partie du plan délimitée dans le repère orthonormé par la courbe représentative de , l'axe des abscisses et les droites d'équations et (colorée en rouge dans la figure ci-dessous).
▶ 2. Justifier un encadrement E9a • E9e
Pour tout entier naturel , nous avons :
Par conséquent, pour tout entier naturel et pour tout nombre réel de l'intervalle [1 2] :
.
▶ 3. Justifier un encadrement E11c • E15a • E15c
Soit un entier naturel non nul.
D'après la question précédente, pour tout nombre réel de l'intervalle [1 2], Or, les fonctions et sont continues sur l'intervalle [1 2]. Par suite, par propriétés des intégrales, nous en déduisons que :
Par linéarité, . Or, la fonction admet sur l'intervalle [1 2] pour primitive : .
Nous en déduisons que :
.
Nous en concluons que pour tout entier naturel non nul .
▶ 4. Déterminer une limite E2c • E2d
Nous avons :
.
Par suite :
par quotient,
par somme,
.
Par quotient et par produit,
Par produit, nous avons alors :
Comme pour tout entier naturel non nul (question B 3.) et comme alors par le théorème des gendarmes, .