Suites d’intégrales

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Suites d’intégrales

Intégration

matT_1406_07_02C

Ens. spécifique

18

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 1 • 5 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par 1 la courbe représentative de la fonction f1 définie sur ℝ par  :

f1(x)  =x +  e&ndash x.

>1. Justifier que 1 passe par le point A de coordonnées (0  1).

>2. Déterminer le tableau de variations de la fonction f1. On précisera les limites de f1 en +&thinsp &infin et en -&thinsp &infin .

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite (In) définie sur ℕ par  :

>1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé , pour tout entier naturel n, on note n la courbe représentative de la fonction fn définie sur ℝ par fn(x)  =x +  e&ndash nx.

Sur le graphique ci-après on a tracé la courbe n pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite d’équation x  = 1.

a) Interpréter géométriquement l’intégrale In.

b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.

>2. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1  :

En déduire le signe de In+1 &minus In puis démontrer que la suite (In) est convergente.

>3. Déterminer l’expression de In en fonction de n et déterminer la limite de la suite (In).


Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Intégration • Fonction exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Définition et propriétés de la fonction exponentielle   E8  → Partie A, 1. et  2.  Partie B, 1. a), 2. et 3.
  • Propriétés de la fonction logarithme népérien   E9a • E9e  → Partie A, 2.
  • Définition et propriétés sur les suites (généralités)   E2a • E2b • E2c • E2e  → Partie B, 1. b), 2. et 3.
  • Intégration (calculs et interprétation)   E11 • E13 • E14 • E15a  → Partie B, 1. a), 1. b), 2. et 3.
  • Calcul de limites   E5a  → Partie A, 2.  Partie B, 3.
  • Formules de dérivation   E6c • E6e • E6f  → Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Calculez pour tout nombre réel et étudiez son signe. Concluez sur les variations de . Pour déterminer la limite de en , factorisez par puis utilisez les limites usuelles et les croissances comparées.

Partie B

>2. Pour démontrer que la suite est convergente, justifiez qu’elle est décroissante et minorée.