Suites d’intégrales

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 3 • 5 points • 1 h

Suites d’intégrales

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Calcul intégral

 

Partie A

Soit la fonction f définie et dérivable sur [1 ; +[ telle que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :

f(x)=1xln(x).

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe C admet une asymptote horizontale.

2. Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f sur [1 ; +[.

3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 ; +[.

Partie B

On considère la suite (un) définie par :

un=121xn+1ln(x)dx pour tout entier naturel n.

1. Démontrer que u0=12(ln(2))2.

Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; 2], on a :

01xn+1ln(x)1xn+1ln(2).

3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :

0unln(2)n(112n).

4. Déterminer la limite de la suite (un).

Les clés du sujet

Partie A

1. Précisez la limite de la fonction f en + et concluez.

Partie B

1. Remplacez n par 0 dans l’expression de un donnée dans l’énoncé puis calculez l’intégrale induite avant de conclure.

2. Partez de l’inégalité 1x2 et raisonnez par implication.

4. Pensez au théorème des gendarmes.