Partie A

Soit la fonction f définie et dérivable sur [1 ; + ∞[ telle que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :

$f(x)=\frac{1}{x}\ln (x)$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

▶ 1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.

▶ 2. Déterminer la fonction dérivée f′ de la fonction f sur [1 ; + ∞[.

▶ 3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 ; + ∞[.

Partie B

On considère la suite (un) définie par :

$u_n={\displaystyle {\int }_1^2\frac{1}{x^{n+1}}}\ln (x)\text{d}x$ pour tout entier naturel n.

▶ 1. Démontrer que $u_0=\frac{1}{2}{(\ln (2))}^2$.

Interpréter graphiquement ce résultat.

▶ 2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ; 2], on a :

$0\le \frac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\le \frac{1}{x^{n+1}}\ln (2)$.

▶ 3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a :

$0\le u_n\le \frac{\ln (2)}{n}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$.

▶ 4. Déterminer la limite de la suite (un).