Nombres complexes et applications
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1709_04_02C
Antilles, Guyane • Septembre 2017
Exercice 2 • 3 points • ⏱ 30 min
Suites de nombres complexes
Les thèmes clés
Nombres complexes • Raisonnement par récurrence
Soit la suite de nombres complexes (zn) définie par :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct .
Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn.
▶ 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, Mn et Mn+2 sont alignés.
▶ 2. On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan tels que AM ≤ r.
Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points Mn appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
Les clés du sujet
▶ 1. Justifiez à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel , .
Déterminez ensuite une mesure de l’angle pour conclure.
▶ 2. Conjecturez l’expression de en fonction de puis démontrez votre conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence. Résolvez enfin l’inéquation pour conclure.
