Nombres complexes et applications
Corrigé
22
Ens. spécifique
matT_1306_04_09C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exerice 4 • 5 points
On considère la suite (zn) à termes complexes définie par z0 
.
Pour tout entier naturel n, on pose : zn
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites (an) et (bn).
Partie A
et 
.
| Variables | A et B des nombres réels K et N des nombres entiers |
| Initialisation | Affecter à A la valeur 1 Affecter à B la valeur 1 |
| Traitement | Entrer la valeur de N Pour K variant de 1 à N Affecter à A la valeur Affecter à B la valeur FinPour Afficher A |
| K | A | B |
| 1 |
|
|
| 2 |
|
|
Partie B
En déduire l'expression de an+1 en fonction de an et bn, et l'expression de bn+1 en fonction de an et bn.
(inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel n, 
.
.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
.
En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l'on déterminera.
. En déduire que la suite (an) converge vers une limite que l'on déterminera.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Suites • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Forme algébrique d'un nombre complexe
E16 → Partie A, 1. - Module d'un nombre complexe
E18 a → Partie A, 2. partie B, 1. - Suites géométriques
E4 a • E4 b • E4 c → Partie B, 2. - Raisonnement par récurrence
E1 → Partie B, 3. b) - Limites et comparaison
E2 d → Partie B, 3. b) et 3. c)
Nos coups de pouce
Partie B
partie a
> 1. Exploiter la forme algébrique d'un nombre complexe
est la partie réelle de 
donc 
est la partie imaginaire de 
donc 
.
> 2. Calculer un terme d'une suite
est la partie réelle de 
donc 
est la partie imaginaire de 
donc 
.
> 3. a) Faire fonctionner un algorithme pas à pas
| K | A | B |
| 1 |
|
|
| 2 |
|
|
b) Identifier le rôle d'un algorithme
Pour un nombre N donné, cet algorithme affiche la valeur du terme 
.
partie b
> 1. Déterminer des formules de récurrence pour des suites
Pour tout entier naturel n :
.
Or 
donc, par identification, on obtient :
.
> 2. Déterminer la forme explicite d'une suite et calculer sa limite
Pour tout entier naturel n, 
, donc la suite 
et de premier terme 
. On obtient finalement, pour tout entier naturel n :
.
Comme 
, alors 
.
> 3. a) Démontrer une inégalité
Pour tout entier naturel n, par inégalité triangulaire :
Notez bien
Pour tout nombre réel positif a : 
.
b) Démontrer une propriété par récurrence, déterminer la limite d'une suite
- Soit P(n) la propriété :
.
Initialisation : 
et 
donc 
.
La propriété P(0) est donc vraie.
Hérédité : on suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k
On a 
d'après la question
Ensuite 
d'après l'hypothèse de récurrence.
Finalement 
.
La propriété P(k
Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, 
.
- Pour tout entier naturel n,
donc 
en exploitant ce qui précède.
Comme 
, alors 
et, par produit, 
.
D'après le théorème des gendarmes, 
.
c) Démontrer une inégalité et déterminer la limite d'une suite
Pour tout entier naturel n : 
.
On a ainsi, pour tout entier naturel n : 
.
Comme 
, on en déduit, d'après le théorème des gendarmes, que 
et donc que 
. La suite 
converge donc vers 0.