Suites de nombres complexes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Suites de nombres complexes
 
 

Nombres complexes et applications

Corrigé

22

Ens. spécifique

matT_1306_04_09C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exerice 4 • 5 points

On considère la suite (zn) à termes complexes définie par z0= 1 + i et, pour tout entier naturel n, par .

Pour tout entier naturel n, on pose : zn=an+ ibn, où an est la partie réelle de zn et bn est la partie imaginaire de zn.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an) et (bn).

Partie A

>1. Donner a0 et b0.

>2. Calculer z1, puis en déduire que et .

>3. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables

A et B des nombres réels

K et N des nombres entiers

Initialisation

Affecter à A la valeur 1

Affecter à B la valeur 1

Traitement

Entrer la valeur de N

Pour K variant de 1 à N

Affecter à A la valeur

Affecter à B la valeur

FinPour

Afficher A

 

a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4 près).

 

K

A

B

1

2

 

b) Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

>1. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de an et bn.

En déduire l’expression de an+1 en fonction de an et bn, et l’expression de bn+1 en fonction de an et bn.

>2. Quelle est la nature de la suite (bn) ? En déduire l’expression de bn en fonction de n, et déterminer la limite de (bn).

>3.a) On rappelle que pour tous nombres complexes z et z′ :

(inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout entier naturel n, .

b) Pour tout entier naturel n, on pose .

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

.

En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on déterminera.

c) Montrer que, pour tout entier naturel n, . En déduire que la suite (an) converge vers une limite que l’on déterminera.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Forme algébrique d’un nombre complexe  E16 Partie A, 1.
  • Module d’un nombre complexe  E18a  → Partie A, 2. ; partie B, 1.
  • Suites géométriques  E4a • E4b • E4c  → Partie B, 2.
  • Raisonnement par récurrence  E1 Partie B, 3. b)
  • Limites et comparaison  E2d  → Partie B, 3. b) et 3. c)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Utilisez la relation de récurrence fournie et procédez par identification.

>3. a) Pensez à exploiter l’inégalité triangulaire rappelée dans l’énoncé. Utilisez aussi le fait que le module d’un nombre réel positif est égal à ce nombre.

Corrigé

partie a

>1. Exploiter la forme algébrique d’un nombre complexe

est la partie réelle de donc

est la partie imaginaire de donc .

>2. Calculer un terme d’une suite

est la partie réelle de donc

est la partie imaginaire de donc .

>3.a) Faire fonctionner un algorithme pas à pas

 

K

A

B

1

2

 

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Pour un nombre N donné, cet algorithme affiche la valeur du terme .

partie b

>1. Déterminer des formules de récurrence pour des suites

Pour tout entier naturel n :

.

Or donc, par identification, on obtient :

.

>2. Déterminer la forme explicite d’une suite et calculer sa limite

Pour tout entier naturel n, , donc la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme . On obtient finalement, pour tout entier naturel n :

.

Comme , alors .

>3.a) Démontrer une inégalité

Pour tout entier naturel n, par inégalité triangulaire :

 

Notez bien

Pour tout nombre réel positif a : .

b) Démontrer une propriété par récurrence, déterminer la limite d’une suite

  • Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : et donc .

La propriété P(0) est donc vraie.

Hérédité : on suppose la propriété P(k) vraie pour un entier naturel k. On démontre alors que P(k + 1) est vérifiée.

On a d’après la question 3.a).

Ensuite d’après l’hypothèse de récurrence.

Finalement .

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : du principe de récurrence, on déduit que, pour tout entier naturel n, .

  • Pour tout entier naturel n, donc en exploitant ce qui précède.

Comme , alors et, par produit, .

D’après le théorème des gendarmes, .

c) Démontrer une inégalité et déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n : .

On a ainsi, pour tout entier naturel n : .

Comme , on en déduit, d’après le théorème des gendarmes, que et donc que . La suite converge donc vers 0.