Suites de nombres complexes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 2 • 3 points • 30 min

Suites de nombres complexes

Les thèmes clés

Nombres complexes • Raisonnement par récurrence

 

Soit la suite de nombres complexes (zn) définie par :

{z0=100zn+1=i3znpourtout entier naturel n.

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (Ou,v).

Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, Mn et Mn+2 sont alignés.

2. On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan tels que AM  r.

Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points Mn appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Les clés du sujet

1. Justifiez à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn0.

Déterminez ensuite une mesure de l’angle (OMn,OMn+2) pour conclure.

2. Conjecturez l’expression de zn en fonction de n puis démontrez votre conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence. Résolvez enfin l’inéquation |zn|1 pour conclure.