Suites de nombres complexes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 2 • 3 points • 30 min

Suites de nombres complexes

Les thèmes clés

Nombres complexes • Raisonnement par récurrence

 

Soit la suite de nombres complexes (zn) définie par :

{z0=100zn+1=i3znpourtout entier naturel n.

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v).

Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, Mn et Mn+2 sont alignés.

2. On rappelle qu’un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l’ensemble des points M du plan tels que AM  r.

Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points Mn appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Les clés du sujet

1. Justifiez à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn0.

Déterminez ensuite une mesure de l’angle (OMn,OMn+2) pour conclure.

2. Conjecturez l’expression de zn en fonction de n puis démontrez votre conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence. Résolvez enfin l’inéquation |zn|1 pour conclure.