Annale corrigée Exercice Ancien programme

Suites de nombres complexes

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 2 • 3 points • 30 min

Suites de nombres complexes

Les thèmes clés

Nombres complexes • Raisonnement par récurrence

 

Soit la suite de nombres complexes (zn) définie par :

{z0=100zn+1=i3znpourtout entier naturel n.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (Ou,v).

Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d'affixe zn.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points O, Mn et Mn+2 sont alignés.

2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon r, où r est un nombre réel positif, est l'ensemble des points M du plan tels que AM  r.

Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points Mn appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Les clés du sujet

1. Justifiez à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn0.

Déterminez ensuite une mesure de l'angle (OMn,OMn+2) pour conclure.

2. Conjecturez l'expression de zn en fonction de n puis démontrez votre conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence. Résolvez enfin l'inéquation |zn|1 pour conclure.

Corrigé

1. Démontrer que des points sont alignés  E1 • E19 • E22 

Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn0.

Initialisation : nous avons z0=1000 donc la propriété est vraie au rang initial.

Hérédité : supposons que, pour un entier naturel k, nous ayons zk0. Il en découle alors que zk+1=i3zk0. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout entier naturel n, zn0.

rappel

Un argument d'un nombre ­complexe existe uniquement si ce nombre complexe est non nul.

Pour tout entier naturel n :

zn+2=i3zn+1=i3×i3zn=19zn.

Par conséquent :

(OMn,OMn+2)=arg(zn+2zOznzO)=arg(zn+2zn)=arg(19)=π[2π].

Nous pouvons donc en déduire que les points O, Mn et Mn+2 sont alignés.

2. Justifier que des points appartiennent à un disque
 E1 • E9b • E9e • E18 

Puisque z0=100 et que, pour tout entier naturel n, zn+1=i3zn, nous pouvons conjecturer que, pour tout entier naturel n, zn=100×(i3)n.

Validons cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

Initialisation : 100×(i3)0=100×1=100=z0 donc la propriété est initialisée.

Hérédité : supposons que, pour un entier naturel k, nous ayons zk=100×(i3)k.

Il en découle que zk+1=i3zk=i3×100×(i3)k=100×(i3)k+1. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : pour tout entier naturel n, zn=100×(i3)n.

Dire que Mn appartient au disque de centre O et de rayon 1 équivaut à dire que OMn1.

rappel

Pour tout entier naturel n, pour tous nombres complexes z et z (z0) :

|zz|=|z||z| et |zn|=|z|n.

Ensuite :

OMn1|zn|1|100×(i3)n|1100×|(i3)n|1|i3|n1100(|i||3|)n1100nln(13)ln(1100)nln(3)ln(100)nln(100)ln(3).

Or ln(100)ln(3)4,19 donc, pour tout n5, nous avons OMn1 et le point Mn appartient au disque de centre O et de rayon 1.

Il existe donc un rang (rang 6 pour l'indice n=5) à partir duquel tous les points Mn appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner