Suites et exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques - Fonction exponentielle - Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 1 • 6 points • 1 h 15

Suites et exponentielle

Les thèmes clés

Suites numériques • Fonction exponentielle • Calcul intégral

 

Le plan est muni d’un repère orthonormal (Oi,j).

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par :

fn(x)=e(n1)x1+ex.

On désigne par Cn la courbe représentative de fn dans le repère (Oi,j).

On a représenté ci-dessous les courbes Cn pour différentes valeurs de n. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=01fn(x)dx.

Partie A : Étude graphique

1. Donner une interprétation graphique de un.

2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite (un) ?

3. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u4 d’amplitude 0,05.

matT_1609_04_01C_01

Partie B : Étude théorique

1. Montrer que u0=ln(1+e2).

2. Montrer que u0 + u1 = 1 puis en déduire u1.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, un  0.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, dn(x= fn+1(x) - fn(x).

a) Montrer que, pour tout nombre réel x, dn(x)=enx1ex1+ex.

b) Étudier le signe de la fonction dn sur l’intervalle [0  1].

5. En déduire que la suite (un) est convergente.

6. On note l la limite de la suite (un).

a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :

un+un+1=1enn.

b) En déduire la valeur de l.

c) On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de uN pour un entier naturel N non nul donné.

Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l’algorithme suivant.

Entrée

N est un entier naturel non nul

Variables

U est un nombre réel

K est un entier naturel

Initialisation

Affecter 1 à K

Affecter 1ln(1+e2) à U

Demander à l’utilisateur la valeur de N

Traitement

Tant que K  N

Affecter ………………….. à U

Affecter ………………….. à K

Fin Tant que

Sortie

Afficher U

Les clés du sujet

Partie A

1. Justifiez que fn est continue et positive sur [0  1] puis interprétez uncomme une aire.

3. Encadrez l’aire sous la courbe représentative 4 de la fonction f4 sur l’intervalle [0  1]. Pour ce faire, construisez deux lignes polygonales bien choisies (une en dessous et une au-dessus de 4) et calculez les aires sous ces lignes polygonales sur l’intervalle [0  1] à l’aide de formules d’aires classiques.

Partie B

5. Exploitez les résultats des questions 3. et 4. b) de la partie B pour démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée. Concluez avec le théorème de convergence monotone.

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