Suites et exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques - Fonction exponentielle - Intégration
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 1 • 6 points • 1 h 15

Suites et exponentielle

Les thèmes clés

Suites numériques • Fonction exponentielle • Calcul intégral

 

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;i,j).

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels par :

fn(x)=e(n1)x1+ex.

On désigne par Cn la courbe représentative de fn dans le repère (O;i,j).

On a représenté ci-dessous les courbes Cn pour différentes valeurs de n. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=01fn(x)dx.

Partie A : Étude graphique

1. Donner une interprétation graphique de un.

2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite (un) ?

3. Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de u4 d’amplitude 0,05.

matT_1609_04_01C_01

Partie B : Étude théorique

1. Montrer que u0=ln(1+e2).

2. Montrer que u0 + u1 = 1 puis en déduire u1.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, un  0.

4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout x réel, dn(x= fn+1(x) - fn(x).

a) Montrer que, pour tout nombre réel x, dn(x)=enx1ex1+ex.

b) Étudier le signe de la fonction dn sur l’intervalle [0 ; 1].

5. En déduire que la suite (un) est convergente.

6. On note l la limite de la suite (un).

a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :

un+un+1=1enn.

b) En déduire la valeur de l.

c) On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de uN pour un entier naturel N non nul donné.

Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l’algorithme suivant.

Entrée

N est un entier naturel non nul

Variables

U est un nombre réel

K est un entier naturel

Initialisation

Affecter 1 à K

Affecter 1ln(1+e2) à U

Demander à l’utilisateur la valeur de N

Traitement

Tant que K < N

Affecter ………………….. à U

Affecter ………………….. à K

Fin Tant que

Sortie

Afficher U

Les clés du sujet

Partie A

1. Justifiez que fn est continue et positive sur [0 ; 1] puis interprétez uncomme une aire.

3. Encadrez l’aire sous la courbe représentative 𝒞4 de la fonction f4 sur l’intervalle [0 ; 1]. Pour ce faire, construisez deux lignes polygonales bien choisies (une en dessous et une au-dessus de 𝒞4) et calculez les aires sous ces lignes polygonales sur l’intervalle [0 ; 1] à l’aide de formules d’aires classiques.

Partie B

5. Exploitez les résultats des questions 3. et 4. b) de la partie B pour démontrer que la suite (un) est décroissante et minorée. Concluez avec le théorème de convergence monotone.

Corrigé

Corrigé

Partie A

1. Identifier une aire  E14 

Pour tout entier naturel n, la fonction fn est continue et strictement positive sur [0;1] comme quotient de fonctions continues et strictement positives sur [0;1].

Par conséquent, un=01fn(x)dx est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝒞n et les droites d’équations x=0 et x=1.

> 2. Conjecturer le comportement d’une suite  E15c 

L’aire sous la courbe 𝒞n sur l’intervalle [0;1] semble diminuer lorsque n augmente : nous pouvons donc conjecturer que la suite (un) est décroissante.

L’aire sous la courbe 𝒞n sur l’intervalle [0;1] semble se rapprocher de 0 lorsque n augmente : nous pouvons donc conjecturer que la suite (un) est convergente vers 0.

> 3. Encadrer un terme d’une suite  E15c 

D’après la question 1. de la partie A, u4 est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝒞4 et les droites d’équations x=0 et x=1.

Cette aire est comprise entre l’aire située sous la ligne polygonale bleue et l’aire située sous la ligne polygonale rouge.

Rappel

Aire d’un trapèze = grande base + petite base2×hauteur.

L’aire A1 sous la ligne polygonale bleue est obtenue en ajoutant les aires de quatre trapèzes et celle d’un triangle :

A1=(0,5+0,3)×0,12+(0,3+0,2)×0,12+(0,2+0,1)×0,22+(0,1+0,05)×0,22+0,05×0,42=0,12.

matT_1609_04_01C_02

L’aire A2 sous la ligne polygonale rouge est obtenue en ajoutant les aires de trois trapèzes :

A2=(0,5+0,2)×0,32+(0,2+0,1)×0,22+(0,1+0,025)×0,52=0,16625.

Par conséquent, nous en déduisons que 0,12<u4<0,17.

Partie B

> 1. Calculer le premier terme d’une suite  E8a • E9b • E11d • E13 

À retenir

Si u est une fonction continue et strictement positive sur un intervalle I alors une primitive de la fonction uu est la fonction ln(u).

u0=01f0(x)dx=01ex1+exdx=01u(x)u(x)dx (avec u(x)=1+ex)

u0=[ln(u(x))]01=[ln(1+ex)]01u0=ln(1+e)ln(2)=ln(1+e2).

> 2. Calculer le second terme d’une suite  E11c • E15a 

u0+u1=01f0(x)dx+01f1(x)dx=01[f0(x)+f1(x)]dx=01(ex1+ex+11+ex)dx=011+ex1+exdx=011dx=[x]01=10=1.

Ainsi :

Info

Pour tous réels a>0 et b>0, ln(a)ln(b)=ln(ab).

u1=1u0=1ln(1+e2)=ln(e)ln(1+e2)u1=ln(2e1+e).

> 3. Établir la positivité d’une suite  E15c 

Pour tout entier naturel n, la fonction fn est strictement positive sur [0;1] comme quotient de fonctions strictement positives sur [0;1]. Par propriété de l’intégrale :

un=01fn(x)dx>0.

> 4. a) Démontrer une égalité  E8b 

Pour tout entier naturel n et pour tout réel :

dn(x)=fn+1(x)fn(x)=enx1+exe(n1)x1+ex=enxenx+x1+ex=enxenx×ex1+ex=enx1ex1+ex.

b) Étudier le signe d’une fonction  E8a • E8f 

Pour tout réel x et pour tout entier naturel n, enx>0 et ex>0, soit 1+ex>1>0. De plus, pour tout x de l’intervalle [0 ; 1], ex1, donc 1ex0.

De ce fait, par produit et quotient, dn(x)0.

> 5. Justifier la convergence d’une suite  E2a • E2e 

Pour tout entier naturel n :

un+1un=01[fn+1(x)fn(x)]dx=01dn(x)dx.

La fonction dn est continue sur [0 ; 1] comme différence de fonctions continues. La fonction dn est négative sur l’intervalle [0 ; 1] d’après la question précédente. Par propriété de l’intégrale, nous en déduisons que, pour tout entier naturel n :

un+1un=01dn(x)dx0.

Par conséquent, la suite (un) est décroissante.

Comme la suite (un) est minorée par 0 d’après la question 3. de la partie B, nous pouvons conclure, d’après le théorème de convergence monotone, que la suite (un) est convergente.

> 6. a) Établir une relation de récurrence  E13 • E15 

À retenir

Pour tout réel a0, une primitive sur de la fonction xeax est la fonction x1aeax.

Pour tout entier naturel n1 :

un+un+1=01fn(x)dx+01fn+1(x)dx=01[fn(x)+fn+1(x)]dx(linéarité de lintégrale)=01[e(n1)x1+ex+enx1+ex]dx=01enx×ex+11+exdx=01enxdx=[1nenx]01=1enn.

b) Déterminer la limite d’une suite  E2c • E5a 

En passant à la limite dans l’égalité de la question précédente, sachant que limn+en=0, que limn+1n=0 et quelimn+un=l, nous obtenons : l+l=0 soit finalement l=0.

La suite (un) converge vers 0.

c) Compléter un algorithme  E4d 

Tant que K<N, il faut calculer le terme suivant dans la liste des termes de la suite (un) et incrémenter le compteur K de 1 pour identifier l’indice du terme qui vient d’être calculé.

La partie Traitement s’écrit donc :

Tant que K<N

Affecter 1eKKU à U (On exploite la relation de la question 6. a) de la partie B.)

Affecter K+1 à K

Fin Tant que