Matrices et suites
Corrigé
48
Ens. de spécialité
matT_1200_00_29C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
On considère les suites 
et 
définies pour tout entier n naturel par :
et 
.
.
.
où I est la matrice identité d'ordre 2.
puis 
.
.
et 
en fonction de n.
Durée conseillée : 50 min.
Le thème en jeu
Calcul matriciel.
Les conseils du correcteur
convient.
.
.
et développez ensuite prudemment le produit.
.
et utilisez 
.
> 1. Définir une matrice
Posons 
. On a successivement :
,
.
> 2. Démontrer par récurrence une égalité matricielle
Soit 
la proposition 
Initialisation
On a déjà montré que 
et donc que 
. 
est donc vraie.
Hérédité
Soit k un entier naturel non nul. Supposons que 
est vraie.
On a donc, par hypothèse de récurrence, 
.
On peut donc écrire que 
. Or 
.
Il s'ensuit que 
. 
est donc vraie.
D'après le principe de récurrence, la proposition 
est donc vraie quel que soit l'entier naturel non nul n. Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on sait que 
> 3. a) Déterminer une matrice définie par une égalité
L'égalité 
donne 
b) Déterminer le carré d'une matrice
et donc 
.
et donc 
> 4. Démontrer par récurrence une égalité matricielle
Soit 
la proposition 
.
Initialisation
donc 
est vraie.
Hérédité
Soit k un entier naturel non nul.
Supposons que 
soit vraie.
On a donc, par hypothèse de récurrence :
car 
.
, car J 2 = 0 (matrice nulle).
est donc vraie.
D'après l'axiome de récurrence, la proposition 
est donc vraie quel que soit l'entier naturel supérieur ou égal à 1. On a donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, 
.
> 5. Exprimer les termes généraux respectifs de deux suites
en fonction de n
- Pour tout entier naturel n ≥ 1 :
et donc 
- Pour tout n supérieur ou égal à 1, on a donc
Or – 0 × 50–1 = 0 = u0 et – 0 × 50–1 + 50 = 1 = v0. Ces formules restent valables pour n = 0. Finalement, pour tout entier naturel n :
et 