Suites et matrices

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Suites et matrices

Matrices et suites

Corrigé

48

Ens. de spécialité

matT_1200_00_29C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On considère les suites et définies pour tout entier n naturel par :

 et .

>1. Déterminer la matrice A telle que pour tout entier naturel n, on ait :

.

>2. En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a :

.

>3.a) Déterminer la matrice J telle que où I est la matrice identité d’ordre 2.

b) Calculer puis .

>4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :

.

>5. Exprimer et en fonction de n.

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

>  1. Montrez que la matrice convient.

>  2. Pour l’hérédité, remarquez que .

>  3. a) Résolvez l’égalité matricielle .

b) Remarquez que et développez ensuite prudemment le produit.

>  4. Pour mener à terme le raisonnement par récurrence, notez que .

>  5. Démontrez dans un premier temps que et utilisez .

Corrigé

>1. Définir une matrice

Posons . On a successivement :

,

est donc la matrice telle que, pour tout entier naturel n, on ait .

>2. Démontrer par récurrence une égalité matricielle

Soit la proposition

Initialisation

On a déjà montré que et donc que . est donc vraie.

Hérédité

Soit k un entier naturel non nul. Supposons que est vraie.

On a donc, par hypothèse de récurrence, .

On peut donc écrire que . Or .

Il s’ensuit que . est donc vraie.

D’après le principe de récurrence, la proposition est donc vraie quel que soit l’entier naturel non nul n. Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on sait que

>3.a) Déterminer une matrice définie par une égalité

L’égalité donne

b) Déterminer le carré d’une matrice

  • et donc .

et donc

>4. Démontrer par récurrence une égalité matricielle

Soit la proposition .

Initialisation

donc est vraie.

Hérédité

Soit k un entier naturel non nul.

Supposons que soit vraie.

On a donc, par hypothèse de récurrence :

car .

, car J 2 = 0 (matrice nulle).

est donc vraie.

D’après l’axiome de récurrence, la proposition est donc vraie quel que soit l’entier naturel supérieur ou égal à 1. On a donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .

>5. Exprimer les termes généraux respectifs de deux suites
en fonction de n

  • Pour tout entier naturel n ≥ 1 :

et donc

  • Pour tout n supérieur ou égal à 1, on a donc

Or – 0 × 50–1 = 0 = u0 et – 0 × 50–1 + 50 = 1 = v0. Ces formules restent valables pour n = 0. Finalement, pour tout entier naturel n :

et