Suites et matrices

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Suites et matrices

Matrices et suites

Corrigé

48

Ens. de spécialité

matT_1200_00_29C

Sujet inédit

Exercice • 5  points

On considère les suites et définies pour tout entier n naturel par  :

&emsp et&emsp .

>1.  Déterminer la matrice A telle que pour tout entier naturel n, on ait  :

.

>2.  En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a  :

.

>3.a)  Déterminer la matrice J telle que où I est la matrice identité d’ordre 2.

b)  Calculer puis .

>4.  Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a  :

.

>5.  Exprimer et en fonction de n.

Durée conseillée  : 50  min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

>    1.  Montrez que la matrice convient.

>    2.  Pour l’hérédité, remarquez que .

>    3.  a)  Résolvez l’égalité matricielle .

b)  Remarquez que et développez ensuite prudemment le produit.

>    4.  Pour mener à terme le raisonnement par récurrence, notez que .

>    5.  Démontrez dans un premier temps que et utilisez .