Suites numériques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Suites

Premier exercice de type bac – Augmentation de x %

Une unité de production fabrique des profilés d’aluminium. En 2015, la production annuelle a été de 5 000 unités. On fait l’hypothèse que l’objectif d’augmentation de 4 % par an sera réalisé chaque année.

Tous les résultats de production sont à arrondir à l’unité.

1. Calculer la production en 2016.

2. Calculer les prévisions de production en 2017 et 2018.

3. On désigne par P0 la production de 2015, par P1 celle de 2016 et par P2 celle de 2017…

D’une façon générale, on désigne par Pn la production en 2015 + n.

Démontrer que la suite (Pn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

4. Exprimer Pn en fonction de n.

5. Déterminer la production en 2021.

6. Déterminer la production totale entre début 2015 et fin 2021.

Corrigé

1. La production en 2016 est : 5000+4100×5000=5200.

2. La production prévue pour 2016 est : 5200+4100×5200=5408.

On arrondit le résultat à l’unité.

Pour 2017 : 5408+4100×54085624.

3. Pour tout entier n,

On établit que, pour tout entier n, Pn+1 = q × Pn où q est une constante.

Pn+1=Pn+4100Pn ; Pn+1=Pn+0,04Pn ;

Pn+1=Pn(1+0,04) ; Pn+1=1,04Pn.

La suite (Pn) est une suite géométrique de raison 1,04.

4. Pour tout entier n, Pn = P0(1,04)n.

5. 2 021 = 2 015 + 6.

Au 4., on applique un des théorèmes du paragraphe  A.

En 2021, la production sera P6 = 5 000(1,04)6, P6 6 327.

6. La production totale représente 7 années de production. On la note S6.

S6 = P0 + P1 + P2 + … + P6.

Le dernier terme de la somme est P6. C’est pour cela qu’on le note S6. On utilise la formule du paragraphe  B.

S6 = 5 000 × 1(1,04)71(1,04) ≈ 39 491.