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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Suites

Deuxième exercice de type bac – Algorithmique

Depuis 2003, un pays émergent cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules. En 2003, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif est d’atteindre progressivement une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre.

La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2003, la baisse imposée est de 11,7 % par an.

1. a. Justifier que la norme tolérée était d’environ 561 milligrammes par kilomètre en 2004.

b. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2005.

Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.

2. Pour tout entier naturel n, on note un la norme tolérée, exprimée en milligrammes l’année (2003 + n). On a ainsi u0 = 635.

a. Établir que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.

c. Calculer u14 et u15. Arrondir à 10–1.

d. Interpréter les résultats obtenus au c.

3. L'algorithme suivant permet de déterminer à partir de quelle année l'objectif d'une émission de polluants inférieure à 100 mg sera atteint.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_0

a. Expliquer l’instruction « Affecter à p la valeur 0,833 × p ».

b. Deux lignes de l’algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre de déterminer l’année recherchée.

Corrigé

On peut faire tourner l'algorithme complété pour retrouver le résultat
du 2° c.

1. a. En 2004, la norme tolérée est : 635(1 0,117) = 635 × 0,883.

635 × 0,883 = 560,705 561.

b. En 2005, (635 × 0,883) × 0,883 = 495,102 515 495.

Le véhicule émettant 500 mg/km ne respectait pas la norme.

2. a. Pour tout entier naturel n, un+1 = 0,883 un. Donc, la suite (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 635 et de raison q = 0,883.

Au a., on écrit que, pour tout n, un+1 = q un, où q est constante et au b., on utilise un résultat du paragraphe  A.

b. Pour tout entier naturel n, un = 635 × 0,883n.

c. u14 ≈ 111,2 ; u15 ≈ 98,2.

d. L'objectif d'une émission inférieure à 100 mg sera atteint en 2018, avec n = 15.

3. a. p étant la norme tolérée une année donnée, la norme tolérée l’année suivante est : 0,883 × p.

b. Tant que p > 100

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