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Sujet complet d'Afrique 2015

Corpus Corpus 1
Sujet complet d'Afrique 2015

Afrique • Juin 2015

matT_1506_01_00C

Sujets complets

2

CORRIGE

Afrique • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Une histoire de cadenas

Commun à tous les candidats

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième. Les parties A, B et C sont indépendantes.

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont « premier prix », et les autres sont « haut de gamme ». Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

Partie A

>1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n'y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme », et en trouve 19 qui sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3 % de cadenas défectueux ?

On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

>2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas « premier prix ». Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « premier prix », parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95 %.

Partie B

D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ = 750 et d'écart type σ = 25.

>1. Calculer P(725 ≤X ≤ 775).

>2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas « premier prix » qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. On ne réalimente pas le stock en cours de mois.

Déterminer la plus petite valeur de l'entier n remplissant cette condition.

Partie C

On admet maintenant que, dans le magasin :

  • 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix », les autres « haut de gamme »
  • 3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux
  • 7 % des cadenas sont défectueux.

On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :

  • p la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux
  • H l'événement : « le cadenas prélevé est “haut de gamme” »
  • D l'événement : « le cadenas prélevé est défectueux ».

>1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

>2. Exprimer en fonction de p la probabilité P(D). En déduire la valeur du réel p. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A2. ?

>3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas « haut de gamme ».

Exercice 2 (4 points)
Le quatre en un !

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.


>1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note S l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie les deux conditions :

et .

Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le point de coordonnées (3 2) et de rayon 2, et la droite d'équation y = x.

Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.

Affirmation 1 : l'ensemble S est le segment [AB].

>2.Affirmation 2 : le nombre complexe est un réel.

Pour les questions 3. et 4., on considère les points E(2 1 ‒ 3), F(1 – 1 2) et G(– 1 3 1) dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.

>3.Affirmation 3 : une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par :

>4.Affirmation 4 : une mesure en degrés de l'angle géométrique , arrondie au degré, est 50&deg .

Exercice 3 (7 points)
Un mélange détonnant

Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite (un) définie par : u0 = a et, pour tout n de ℕ , .

On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : .

>1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x) = e2x – ex – x.

a) Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x :

g′(x) = (ex – 1)(2ex + l).

b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c) En remarquant que un+1 – un = g(un), étudier le sens de variation de la suite (un).

>2. Dans cette question, on suppose que a ≤ 0 .

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ≤ 0.

b) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.

c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).

>3. Dans cette question, on suppose que a > 0.

La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel n, un ≥ a.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 – un≥ g(a).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un ≥ a +n × g(a).

c) Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Dans cette question, on prend a = 0,02.

L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un>M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.


Variables

n est un entier, u et M sont deux réels

Initialisation

u prend la valeur 0,02

n prend la valeur 0

Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …………………….



…………………….……..

…………………….……..


Fin tant que

Sortie

Afficher n

a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.

Exercice 4 (5 points)
Impression d'un logo

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.

Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.

  • Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :
  • une des lignes est le segment [AD]
  • une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC]
  • la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.
  • Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.

Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.


Proposition A


Proposition B

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé .

Partie A : étude de la proposition A

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : .

Déterminer les coordonnées des points E et G.

Partie B : étude de la proposition B

Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes :

  • la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x ≥ 0 par : f(x) = ln(2x + 1)
  • la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x > 0 par :, où k est un réel positif qui sera déterminé.

>1. a) Déterminer l'abscisse du point E.

b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l'abscisse du point G est égale à 0,5.

>2. a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x ≥ 0 par : F(x) = (x + 0,5) × ln(2x + l) – x.

b) Démontrer que .

>3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle .

>4. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que .

La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?

Exercice 4 (5 points)
Ce sont des triplets !

Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que x2 + y2 = z2. Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé « TP ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32+ 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Partie A : généralités

>1. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px, py, pz) est lui aussi un TP.

>2. Démontrer que, si (x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs.

>3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair :

n = 2α × k où α est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.

L'écriture n = 2α × k est nommée décomposition de n.

Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 20 × 9, 120 = 23 × 15.

a) Donner la décomposition de l'entier 192.

b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x = 2α × k et z = 2β × m.

Écrire la décomposition des entiers naturels 2x2 et z2.

c) En examinant l'exposant de 2 dans la décomposition de 2x2 et dans celle de z2, montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x2 = z2.

On admet que la question A 3. permet d'établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l'ordre suivant : x y z.

Partie B : recherche de triplets
pythagoriciens contenant l'entier 2015

>1. Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2015).

>2. On admet que, pour tout entier naturel n, (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2+ 2n + 1)2.

Déterminer un TP de la forme (2015, y, z).

>3. a) En remarquant que 4032 = 169 × 961, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls (x, z) tels que : z2 – x2 = 4032, avec x 403.

b) En déduire un TP de la forme (x, 2015, z).

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fluctuation et confiance • Loi normale • Arbre pondéré.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Intervalle de fluctuation E43 → Partie A, 1.
  • Intervalle de confiance E44 → Partie A, 2.
  • Loi normale E40e → Partie B, 1. et 2.
  • Arbre pondéré E37 → Partie C, 1. et 2.
  • Probabilité conditionnelle E35 → Partie C, 3.
  • Probabilité d'un événement E34 → Partie C.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale C3 → Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Identifiez la taille de l'échantillon et la fréquence du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant.

Partie B

>2. Justifiez que la contrainte sur le nombre n de cadenas « premier prix » s'écrit à l'aide de la variable aléatoire de la manière suivante : . Concluez à l'aide d'une calculatrice.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Représentation paramétrique d'une droite • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Nombres complexes et géométrie E22 → 1.
  • Nombres complexes et forme exponentielle E16a• E18a• E19b-d• E21 → 2.
  • Représentation paramétrique d'une droite E30 → 3.
  • Produit scalaire E31a• E31c → 4.

Calculatrice

  • Calcul avec les nombres complexes C4 → 2.

Nos coups de pouce

>1. Interprétez géométriquement les deux conditions données. Établissez le lien avec la figure. Concluez.

>3. Vérifiez simplement que les points E et F appartiennent à la droite dont la représentation paramétrique est donnée dans l'énoncé.

>4. Calculez les coordonnées des vecteurs et , puis les distances EF et EG et enfin le produit scalaire . Concluez en utilisant une autre expression du produit scalaire.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Suites et généralités • Fonction exponentielle • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence E1 → 2. a) et 3. b)
  • Généralités sur les suites E2 → 1. c), 2. b), 2. c) et 3. c)
  • Généralités sur les fonctions E6c• E6e• E6f → 1. a) et 1. b)
  • Fonction exponentielle E8a• E8b• E8d• E8e• E8f → 1. a), 1. b) et 2. a)

Algorithmes

  • Suites et détermination d'un indice A4 → 4. a)

Nos coups de pouce

>2. c) Justifiez soigneusement que tous les termes de la suite étudiée sont nuls. Concluez.

>3. a) Prenez en compte la remarque faite à la question 1. c) et l'affirmation de la question 3. Utilisez les variations de la fonction étudiées à la question 1. b) pour conclure.

>3. c) Justifiez que l'image du réel par la fonction est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l'aide du théorème de comparaison.

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation E6e• E6f → Partie B, 2. a)
  • Continuité E7b → Partie B, 2. b)
  • Logarithme népérien E9a• E9d• E9e → Partie B
  • Primitives E11a• E11c → Partie B, 2. a) et 3.
  • Intégration E13 • E14 → Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l'abscisse du point G.

Partie B

>2. b) Exploitez la figure fournie pour déterminer comment calculer à l'aide, entre autres, d'un calcul d'intégrale.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Raisonnez par l'absurde.

Partie B

>2. Décomposez 2015 sous la forme pour déterminer la valeur de à utiliser dans la formule proposée.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision

Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n'y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Pour ne pas être confronté à une mauvaise surprise, le responsable du magasin a tout intérêt à vérifier la validité de cette affirmation à partir de son stock en se basant sur la valeur haute. Autrement dit, supposons que la proportion de cadenas défectueux dans la production est égale à 3 % . Afin de valider cette affirmation, le responsable a prélevé un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme » : la taille de l'échantillon est donc 500. Comme , et , l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :.

Parmi les cadenas prélevés au hasard, 19 s'avèrent être défectueux : la fréquence observée de cadenas défectueux dans l'échantillon est donc : Comme la fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le contrôle par le responsable du magasin ne remet pas en cause l'affirmation du fournisseur.

>2. Déterminer un intervalle de confiance

  • 500 cadenas « premier prix » ont été prélevés de manière aléatoire dans le stock du magasin. La taille de l'échantillon considéré est donc .
  • Parmi les 500 cadenas prélevés, 39 se révèlent être défectueux. La fréquence observée dans cet échantillon de cadenas défectueux est alors : .
  • Comme , et , les conditions sur et sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 %.

partie b

>1. Calculer une probabilité avec la loi normale

Première méthode : « par propriété »

Notez bien

Si suit la loi normale d'espérance et d'écart type alors :

Nous avons :

La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.

Deuxième méthode : « par calculatrice »

En prenant en compte le fait que et , nous avons :


TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75


La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.

>2. Déterminer une valeur sous contrainte

Le responsable du magasin sera confronté à une rupture de stock si le nombre de cadenas « premier prix » demandé par ses clients est supérieur au nombre de cadenas « premier prix » en stock. L'événement « être en rupture de stock au cours d'un mois » s'écrit où la variable aléatoire , pour rappel, associe à un mois donné le nombre de cadenas « premier prix » vendus. Comme la probabilité de cet événement doit être inférieure à nous avons alors la contrainte suivante :

Première méthode : méthode par balayage

D'après l'étude statistique faite sur plusieurs mois, le responsable du magasin peut espérer vendre en moyenne 750 cadenas de ce type par mois. Le nombre minimal de cadenas à prévoir est alors naturellement supérieur à 750. Autrement dit, la valeur minimale de est supérieure à 750. Nous avons alors :

À l'aide d'une calculatrice, méthode par balayage, nous obtenons :


TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75


La plus petite valeur de l'entier remplissant cette condition est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.

Deuxième méthode

La contrainte est équivalente à . Résolvons alors l'équation où suit la loi normale d'espérance et d'écart type .

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 + :

FracNormale (, , ).

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :

InvNormCD (, , ).

À l'aide de la calculatrice, nous avons :


TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75


La fonction qui à tout réel associe la probabilité étant croissante sur ℝ , la plus petite valeur de l'entier remplissant la condition est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.

partie c

>1. Construire un arbre pondéré

  • Comme 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix » et les autres sont « haut de gamme », les cadenas « haut de gamme » proposés à la vente représentent 20 %. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit « haut de gamme » est 0,2, soit et la probabilité qu'il soit « premier prix » est 0,8 soit .
  • 3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas soit défectueux sachant qu'il est « haut de gamme » est de 0,03, soit .
  • En notant la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux, et en prenant en compte que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1, la situation peut se représenter à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

>2. Calculer une probabilité à partir d'un arbre pondéré

L'événement D est associé à deux feuilles : et . Par suite, nous avons :

Or, d'après l'énoncé, 7 % des cadenas sont défectueux. Autrement dit, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit défectueux est 0,07 soit . Par conséquent, et . La probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux est donc de 0,08.

D'après la question 2. de la partie A, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 % (au niveau de confiance 0,95). Comme 8 % est dans cet intervalle, le résultat obtenu précédemment est cohérent avec celui de la question A 2.

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état (non défectueux), soit Nous avons :

La probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état est environ 0,209.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un disque

  • Soit M un point d'affixe vérifiant la condition . En notant I le point d'affixe et J le point d'affixe i, cette condition est équivalente à . Le point M est alors équidistant des points I et J. L'ensemble des points M d'affixe vérifiant est donc la médiatrice du segment [IJ], droite d'équation sur la figure.

Remarque. En toute rigueur, il faudrait démontrer que la droite d'équation est bien la médiatrice du segment [IJ]. Nous supposons ici que ce n'est pas un attendu.

  • Soit M un point d'affixe vérifiant la condition . En notant le point d'affixe , cette condition est équivalente à . Le point M est alors au maximum à une distance de 2 unités du point . L'ensemble des points M d'affixe vérifiant est donc le disque de rayon 2 et de centre , représenté sur la figure.

Par conséquent, un point M d'affixe vérifiant les deux conditions précédentes appartient à la médiatrice du segment [IJ] et au disque de rayon 2 et de centre . Or, d'après l'énoncé, cette droite coupe le cercle de centre et de rayon 2 en deux points A et B. Ainsi, l'ensemble est le segment [AB]. L'affirmation 1 est vraie.

>2. Justifier qu'un nombre complexe n'est pas réel

Notons le nombre complexe défini par .

  • Le module de ce nombre complexe est : .
  • Un argument du nombre complexe non nul est tel que :

et .

D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons qu'un argument du nombre complexe non nul est .

D'après les deux points précédents, nous en concluons que le nombre complexe s'écrit sous la forme exponentielle suivante : .

Notez bien

Pour tout réel .

Par conséquent, nous avons :

Le nombre complexe est un imaginaire pur et donc il n'est pas réel. L'affirmation 2 est fausse.

>3. Justifier une représentation paramétrique d'une droite

Considérons la droite de représentation paramétrique :

ℝ .

• Déterminons le ou les éventuels nombres réels vérifiant les trois conditions suivantes :

Nous avons :

Comme il existe un unique réel vérifiant les trois conditions données, le point E appartient à la droite .

  • Déterminons le ou les éventuels nombres réels vérifiant les trois conditions suivantes :

Nous avons :

Comme il existe un unique réel vérifiant les trois conditions données, le point F appartient à la droite .

Les points E et F étant distincts, les droites (EF) et sont confondues. La droite (EF) admet ainsi la représentation paramétrique donnée dans l'énoncé. L'affirmation 3 est vraie.

>4. Déterminer une mesure en degrés d'un angle

Les coordonnées des vecteurs et sont :

et .

De plus, les distances EF et EG sont :

Par définition, le produit scalaire des vecteurs et est donné par :

.

Or, à l'aide des coordonnées, nous avons :

Ainsi, .

À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons . Une mesure en degrés de cet angle géométrique, arrondie au degré, est donc bien 50&deg . L'affirmation 4 est vraie.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

>1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

En remarquant que , nous pouvons dire que est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ .

Notez bien

Pour toute fonction dérivable sur , est dérivable sur et .

Pour tout de ℝ , nous avons : .

Pour tout réel , nous avons :

b) Déterminer les variations d'une fonction

  • Soit un nombre réel.

Comme , . Or, d'après la question précédente, . Le signe de correspond donc au signe de .

Notez bien

Pour tous réels et strictement positifs,

.

Pour tout réel ,

.

  • Pour tout nombre réel

De même, et .

  • Pour tout réel , alors la fonctionest strictement décroissante sur.

Pour tout réel , , alors la fonctionest strictement croissante sur.

  • La fonction admet alors un minimum en . Ce minimum a pour valeur :

.

c) Déterminer le sens de variation d'une suite

D'après la question 1. b), pour tout réel , . Ainsi, pour tout entier naturel , . Or, d'après l'énoncé, . Par conséquent, , ce qui s'écrit également . La suiteest donc croissante.

2. a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit la propriété : .

Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel

Initialisation

Pour Comme est supposé être négatif ou nul, nous avons Donc est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel donné, soit

Démontrons que la propriété est vraie. Par définition de la suite qui peut aussi s'écrire . Comme une exponentielle est toujours positive, , le signe de correspond au signe de . Or, par l'hypothèse de récurrence,

Notez bien

Pour tous réels .

Il en découle que et la propriété est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel

b) Justifier la convergence d'une suite

La suite est croissante d'après la question 1. c) et majorée par zéro d'après la question 2. a). La suiteest donc convergente.

c) Déterminer la limite d'une suite

Supposons que le réel est nul. D'après l'énoncé, le premier terme de la suite est ainsi Or, d'après la question 1. c), la suite est croissante. Cela implique que pour tout entier naturel Mais, d'après la question 2. a), la suite est majorée par zéro : pour tout entier naturel Nous en concluons que tous les termes de la suite sont nuls et par conséquent que la limite de cette suite est zéro.

>3. a) Justifier une inégalité

Soit un entier naturel. D'après la remarque faite à la question 1. c), nous avons :

De plus, d'après l'affirmation de la question 3., Or, comme le réel est strictement positif et que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle Ainsi, pour tout entier naturel

b) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit la propriété :

Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel

Initialisation

Pour nous avons d'une part, et d'autre part, Comme est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel donné : Démontrons que la propriété est vraie. Nous avons :

La propriété est ainsi vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel

c) Déterminer la limite d'une suite

D'après la question 1. b), la fonction est strictement croissante sur l'intervalle et elle admet sur ℝ zéro comme minimum, atteint en Le réel étant strictement positif, nous en déduisons que .

Notez bien

Soit une fonction strictement croissante sur un intervalle Pour tous réels si

Comme et

Comme, d'après la question précédente, pour tout entier naturel nous en concluons par le théorème de comparaison, que

>4. a) Compléter un algorithme

La suite étant croissante, le calcul des termes de cette suite doit se poursuivre jusqu'à obtenir le premier terme strictement supérieur à la valeur saisie. Autrement dit, nous devons calculer successivement à l'aide de la formule de récurrence (pour tout de ℕ , ) les termes de cette suite tant que ces derniers sont inférieurs ou égaux à la valeur La partie « Traitement » est ainsi :


Traitement

Tant que




prend la valeur

prend la valeur



Fin Tant que

b) Déterminer une valeur affichée par un algorithme

À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :


Condition

0

0,02

≤ 60



≤ 60

34

0,71

≤ 60

35

2,13

≤ 60

36

62,35

> 60

La valeur affichée par l'algorithme est 36.

Exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a : étude de la proposition a

  • Notons les coordonnées du point E dans le repère .

Nous avons tout d'abord : . Donc .

Notez bien

.

Remarquons ensuite que est l'aire du triangle ADE rectangle en D. Nous avons donc :

.

Le point E a donc pour coordonnées.

  • Notons les coordonnées du point G dans le repère .

Remarquons tout d'abord que est l'aire du triangle AGB. La hauteur issue de G dans ce triangle a une longueur égale à . Nous avons donc :

.

Notons H le point d'intersection de [AD] avec la parallèle à (DE) passant par G.


Dans le triangle ADE, les points A, G, E et A, H, D sont alignés dans cet ordre et la droite (GH) est parallèle à la droite (DE). D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :

.

En remarquant que et , nous avons :

.

Le point G a donc pour coordonnées.

partie b : étude de la proposition b

>1. a) Déterminer l'abscisse d'un point

E appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction et son ordonnée est . Pour déterminer son abscisse , il faut donc résoudre, pour , l'équation .

Notez bien

• Pour tous réels et strictement positifs : .

• .

Le point E a donc pour abscisse.

b) Déterminer la valeur d'une constante

G appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction donc .

G appartient aussi à la ligne d'extrémités B et G qui est une portion de la courbe représentative de la fonction donc .

Sachant que , en regroupant les deux informations précédentes, nous obtenons :

.

Le réelest égal à.

>2. a) Identifier une primitive d'une fonction donnée

La fonction est une fonction affine, donc elle est dérivable sur l'intervalle , et sur cet intervalle, . La fonction ln est dérivable sur . Par composition, la fonction est dérivable sur .

La fonction est donc dérivable sur comme produits et somme de fonctions dérivables sur .

Notez bien

Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : .

Pour tout réel , nous avons :

est donc une primitive desur.

b) Calculer une aire

Notez bien

Pour tous réels et strictement positifs : .

La fonction est dérivable donc continue sur .

Pour tout réel : .

La fonction est donc positive sur .

Nous pouvons remarquer que est obtenu en faisant la différence entre l'aire du rectangle de longueur AD et de largeur DE d'une part, et l'aire située sous la portion de la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle d'autre part.

Nous avons ainsi :

.

Par conséquent :

Nous avons bien.

>3. Déterminer une primitive d'une fonction donnée

D'après la question 1. b) de la partie B, nous savons que .

Par conséquent, pour tout réel :

.

Une primitive de sur est donc donnée par :

.

>4. Étudier une proposition

D'après la question 2. b) de la partie B, nous avons .

D'après l'énoncé, nous avons ici .

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons et .

Par conséquent, puisque (aire du carré ABCD), nous avons .

La condition C1 est respectée.

La condition C2 ( et ) imposée par le fabricant est respectée.

La proposition B remplit donc les conditions imposées par le fabricant.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : généralités

>1. Vérifier qu'un triplet est un triplet pythagoricien

Supposons que est un TP. Dans ce cas : .

Pour tout entier naturel non nul :

.

Par conséquent, est un TP.

>2. Étudier la parité simultanée d'entiers naturels

Supposons que est un TP. Nous avons alors .

Raisonnons par l'absurde en supposant que les trois entiers naturels , et sont tous les trois impairs.

Dans ce cas, nous avons : , et .

Par conséquent : et .

Cela signifie donc que est pair et est impair.

Or ceci est absurde : un nombre impair ne peut être égal à un nombre pair. L'hypothèse initiale était donc fausse.

Par conséquent, siest un TP, alors les trois entiers naturels,etne peuvent pas être tous les trois impairs.

>3. a) Donner la décomposition d'un entier naturel

Nous avons : .

b) Décomposer des entiers naturels

Comme , nous avons et :

, où est impair puisque est impair.

De même, comme , nous avons :

, où est impair puisque est impair.

c) Vérifier qu'une égalité donnée ne peut être satisfaite

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe deux entiers naturels non nuls et tels que .

En utilisant leurs décompositions, nous avons alors : , où sont des entiers naturels impairs.

Par conséquent, les puissances de 2 sont égales et nous obtenons alors . Or, est impair et est pair : cela est absurde.

Notre hypothèse initiale est donc fausse. Par conséquent, il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nulstels que.

partie b : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015

>1. Déterminer un triplet pythagoricien

Nous avons .

Le TP donné dans le préambule est . En prenant , d'après la question 1. de la partie A, nous savons que est lui aussi un TP.

Par conséquent, est un TP.

>2. Déterminer un triplet pythagoricien

Remarquons tout d'abord que, 2015 étant un entier impair, il peut s'écrire sous la forme avec .

En utilisant l'égalité, vraie pour tout entier naturel , donnée dans l'énoncé, et en prenant , nous obtenons :

ce qui équivaut à .

Par conséquent, est un TP.

>3. a) Rechercher une décomposition sous la forme d'une différence de carrés

Nous avons .

Notez bien

Pour tous réels et :

.

Cherchons alors à écrire le produit sous la forme où et sont des entiers naturels non nuls avec .

Résolvons alors le système : .

.

Le coupleconvient. Ainsi.

b) Déterminer un triplet pythagoricien

En remarquant que , nous obtenons, en multipliant dans l'égalité par , le résultat :

Par conséquent, est un TP.

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