Sujet complet d’Afrique 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Sujet complet d’Afrique 2015

Afrique • Juin 2015

matT_1506_01_00C

Sujets complets

2

CORRIGE

Afrique • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
Une histoire de cadenas

Commun à tous les candidats

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième. Les parties A, B et C sont indépendantes.

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont «  premier prix  », et les autres sont «  haut de gamme  ». Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur  ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

Partie A

>1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas «  haut de gamme  », il n’y a pas plus de 3  % de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock  à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas «  haut de gamme  », et en trouve 19 qui sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3  % de cadenas défectueux  ?

On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %.

>2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas «  premier prix  ». Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas «  premier prix  », parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95  %.

Partie B

D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas «  premier prix  » vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne &mu   = 750 et d’écart type &sigma   = 25.

>1. Calculer P(725 &le X &le   775).

>2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas «  premier prix  » qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. On ne réalimente pas le stock en cours de mois.

Déterminer la plus petite valeur de l’entier n remplissant cette condition.

Partie C

On admet maintenant que, dans le magasin  :

  • 80  % des cadenas proposés à la vente sont «  premier prix  », les autres «  haut de gamme  » 
  • 3  % des cadenas «  haut de gamme  » sont défectueux 
  • 7  % des cadenas sont défectueux.

On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note  :

  • p la probabilité qu’un cadenas «  premier prix  » soit défectueux 
  • H l’événement  : «  le cadenas prélevé est “haut de gamme”  » 
  • D l’événement  : «  le cadenas prélevé est défectueux  ».

>1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

>2. Exprimer en fonction de p la probabilité P(D). En déduire la valeur du réel p. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A2.  ?

>3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas «  haut de gamme  ».

Exercice 2 (4 points)
Le quatre en un  !

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.


>1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note S l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie les deux conditions  :

et .

Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le point de coordonnées (3  2) et de rayon 2, et la droite d’équation y  =  x.

Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.

Affirmation 1  : l’ensemble S est le segment [AB].

>2.Affirmation 2  : le nombre complexe est un réel.

Pour les questions 3. et 4., on considère les points E(2 1 ‒   3), F(1    &ndash   1 2) et G(&ndash   1 3    1) dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l’espace.

>3.Affirmation 3  : une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par  :

>4.Affirmation 4  : une mesure en degrés de l’angle géométrique , arrondie au degré, est 50&deg .

Exercice 3 (7 points)
Un mélange détonnant

Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie par  : u0  =  a et, pour tout n de ℕ , .

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire  : .

>1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par  : g(x)  =  e2x &ndash ex &ndash   x.

a) Calculer g&prime (x) et prouver que, pour tout réel x  :

g&prime (x)  =  (ex  &ndash   1)(2ex  +  l).

b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c) En remarquant que un+1 &ndash un  =  g(un), étudier le sens de variation de la suite (un).

>2. Dans cette question, on suppose que a  &le   0 .

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un  &le   0.

b) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.

c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).

>3. Dans cette question, on suppose que a  >  0.

La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, un  &ge   a.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a  : un+1  &ndash   un&ge   g(a).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a  : un  &ge   a  +n  &times   g(a).

c) Déterminer la limite de la suite (un).

>4. Dans cette question, on prend a  =  0,02.

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier  n tel que un>M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.


Variables

n est un entier, u et M sont deux réels

Initialisation

u prend la valeur 0,02

n prend la valeur 0

Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …………………….

 


 


…………………….……..

…………………….……..

 


Fin tant que

Sortie

Afficher n

a) Sur la copie, recopier la partie «  Traitement  » en la complétant.

b) &Agrave l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M  =  60.

Exercice 4 (5 points)
Impression d’un logo

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Le fabricant de cadenas de la marque «  K  » désire imprimer un logo pour son entreprise.

Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.

  • Condition C1  : la lettre K doit être constituée de trois lignes  :
  • une des lignes est le segment [AD] 
  • une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] 
  • la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.
  • Condition C2  : l’aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.

Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.


Proposition A


Proposition B

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé .

Partie A  : étude de la proposition A

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales  : .

Déterminer les coordonnées des points E et G.

Partie B  : étude de la proposition B

Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes  :

  • la ligne d’extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x  &ge   0 par  : f(x)  =  ln(2x  +  1)
  • la ligne d’extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x > 0 par  :, où k est un réel positif qui sera déterminé.

>1. a) Déterminer l’abscisse du point E.

b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l’abscisse du point G est égale à 0,5.

>2. a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x &ge   0 par  : F(x)  = (x +  0,5)  &times ln(2x +  l)  &ndash   x.

b) Démontrer que .

>3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l’intervalle .

>4. On admet que les résultats précédents permettent d’établir que .

La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant  ?

Exercice 4 (5 points)
Ce sont des triplets  !

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls (x,  y,  z) tels que x2  +  y2  =  z2. Ces triplets seront nommés «  triplets pythagoriciens  » en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé «  TP  ».

Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32+  42  = 9  +  16 = 25 = 52.

Partie A  : généralités

>1. Démontrer que, si (x,  y,  z) est un TP, et p un entier naturel non nul, alors le triplet (px, py, pz) est lui aussi un TP.

>2. Démontrer que, si (x,  y,  z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les trois impairs.

>3. Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 2 par un entier impair  :

n  = 2&alpha &times k où &alpha est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair.

L’écriture n  = 2&alpha &times k est nommée décomposition de n.

Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120  : 9 = 20 &times 9, 120  =  23 &times 15.

a) Donner la décomposition de l’entier 192.

b) Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont x  = 2&alpha &times k et z  = 2&beta &times m.

&Eacute crire la décomposition des entiers naturels 2x2 et z2.

c) En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2x2 et dans celle de z2, montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que 2x2  =  z2.

On admet que la question A 3. permet d’établir que les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x, y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP (x,  y,  z), les trois entiers naturels x, y et z seront rangés dans l’ordre suivant  : x   y   z.

Partie B  : recherche de triplets
pythagoriciens contenant l’entier 2015

>1. Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme (x, y, 2015).

>2. On admet que, pour tout entier naturel n, (2n  +  1)2  +  (2n2  +  2n)2  = (2n2+  2n +  1)2.

Déterminer un TP de la forme (2015, y, z).

>3. a) En remarquant que 4032  =  169  &times   961, déterminer un couple d’entiers naturels non nuls (x, z) tels que  : z2  &ndash   x2  = 4032, avec x    403.

b) En déduire un TP de la forme (x, 2015, z).

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fluctuation et confiance • Loi normale • Arbre pondéré.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Intervalle de fluctuation   E43  → Partie A, 1.
  • Intervalle de confiance   E44  → Partie A, 2.
  • Loi normale   E40e  → Partie B, 1. et 2.
  • Arbre pondéré   E37  → Partie C, 1. et 2.
  • Probabilité conditionnelle   E35  → Partie C, 3.
  • Probabilité d’un événement   E34  → Partie C.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale   C3  → Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Identifiez la taille de l’échantillon et la fréquence du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur et sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie B

>2. Justifiez que la contrainte sur le nombre n de cadenas «  premier prix  » s’écrit à l’aide de la variable aléatoire de la manière suivante  : . Concluez à l’aide d’une calculatrice.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 40  minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Représentation paramétrique d’une droite • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Nombres complexes et géométrie   E22  → 1.
  • Nombres complexes et forme exponentielle   E16a• E18a• E19b-d• E21  → 2.
  • Représentation paramétrique d’une droite   E30  → 3.
  • Produit scalaire   E31a• E31c  → 4.

Calculatrice

  • Calcul avec les nombres complexes   C4  → 2.

Nos coups de pouce

>1. Interprétez géométriquement les deux conditions données. &Eacute tablissez le lien avec la figure. Concluez.

>3. Vérifiez simplement que les points E et F appartiennent à la droite dont la représentation paramétrique est donnée dans l’énoncé.

>4. Calculez les coordonnées des vecteurs et , puis les distances EF et EG et enfin le produit scalaire . Concluez en utilisant une autre expression du produit scalaire.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 80 minutes.

Les thèmes clés

Suites et généralités • Fonction exponentielle • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence   E1  → 2. a) et 3. b)
  • Généralités sur les suites   E2  → 1. c), 2. b), 2. c) et 3. c)
  • Généralités sur les fonctions   E6c• E6e• E6f  → 1. a) et 1. b)
  • Fonction exponentielle   E8a• E8b• E8d• E8e• E8f  → 1. a), 1. b) et 2. a)

Algorithmes

  • Suites et détermination d’un indice   A4  → 4. a)

Nos coups de pouce

>2. c) Justifiez soigneusement que tous les termes de la suite étudiée sont nuls. Concluez.

>3. a) Prenez en compte la remarque faite à la question  1. c) et l’affirmation de la question  3. Utilisez les variations de la fonction étudiées à la question  1. b) pour conclure.

>3. c) Justifiez que l’image du réel par la fonction est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l’aide du théorème de comparaison.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de  spécialité)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation   E6e• E6f  → Partie B, 2. a)
  • Continuité   E7b  → Partie B, 2. b)
  • Logarithme népérien   E9a• E9d• E9e  → Partie B
  • Primitives   E11a• E11c  → Partie B, 2. a) et 3.
  • Intégration   E13 • E14  → Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l’abscisse du point G.

Partie B

>2. b) Exploitez la figure fournie pour déterminer comment calculer à l’aide, entre autres, d’un calcul d’intégrale.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres premiers.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Raisonnez par l’absurde.

Partie B

>2. Décomposez 2015 sous la forme pour déterminer la valeur de à utiliser dans la formule proposée.