Afrique • Juin 2015
matT_1506_01_00C
Sujets complets
2
CORRIGE
Afrique • Juin 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
Une histoire de cadenas
Commun à tous les candidats
Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième. Les parties A, B et C sont indépendantes.
Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont « premier prix », et les autres sont « haut de gamme ». Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.
Partie A
Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3 % de cadenas défectueux ?
On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95 %.
Partie B
D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ
Déterminer la plus petite valeur de l'entier n remplissant cette condition.
Partie C
On admet maintenant que, dans le magasin :
- 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix », les autres « haut de gamme »
- 3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux
- 7 % des cadenas sont défectueux.
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
- p la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux
- H l'événement : « le cadenas prélevé est “haut de gamme” »
- D l'événement : « le cadenas prélevé est défectueux ».
Exercice 2 (4 points)
Le quatre en un !
Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le point de coordonnées (3 2) et de rayon 2, et la droite d'équation y
Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.
Affirmation 1 : l'ensemble S est le segment [AB].
Pour les questions
Exercice 3 (7 points)
Un mélange détonnant
Commun à tous les candidats
Soit a un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d'étudier la suite (un) définie par : u0 .
g′(x)
La suite (un) étant croissante, la question
L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un
Variables | n est un entier, u et M sont deux réels | |
Initialisation | u prend la valeur 0,02 n prend la valeur 0 Saisir la valeur de M | |
Traitement | Tant que ……………………. | |
|
| …………………….…….. …………………….…….. |
| Fin tant que | |
Sortie | Afficher n |
Exercice 4 (5 points)
Impression d'un logo
Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.
Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.
- Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :
- une des lignes est le segment [AD]
- une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC]
- la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.
- Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.
Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.

Proposition A

Partie A : étude de la proposition A
Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : .
Déterminer les coordonnées des points E et G.
Partie B : étude de la proposition B
Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes :
- la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x
≥ 0 par : f(x)= ln(2x+ 1) - la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x
> 0 par :, où k est un réel positif qui sera déterminé.
.
.
La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?
Exercice 4 (5 points)
Ce sont des triplets !
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que x2 + y2
Ainsi (3, 4, 5) est un TP car 32
Partie A : généralités
n
L'écriture n
Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9
Écrire la décomposition des entiers naturels 2x2 et z2.
On admet que la question
Partie B : recherche de triplets
pythagoriciens contenant l'entier 2015
Déterminer un TP de la forme (2015, y, z).
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fluctuation et confiance • Loi normale • Arbre pondéré.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Intervalle de fluctuation
E43 → Partie A, 1. - Intervalle de confiance
E44 → Partie A, 2. - Loi normale
E40 → Partie B, 1. et 2.e - Arbre pondéré
E37 → Partie C, 1. et 2. - Probabilité conditionnelle
E35 → Partie C, 3. - Probabilité d'un événement
E34 → Partie C.
Calculatrice
- Probabilités avec la loi normale
C3 → Partie B, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
et la fréquence
du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur
et
sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant.
Partie B
de la manière suivante :
. Concluez à l'aide d'une calculatrice.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Représentation paramétrique d'une droite • Produit scalaire.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Nombres complexes et géométrie
E22 → 1. - Nombres complexes et forme exponentielle
E16 a • E18 a • E19 b-d • E21 → 2. - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → 3. - Produit scalaire
E31 a • E31 → 4.c
Calculatrice
- Calcul avec les nombres complexes
C4 → 2.
Nos coups de pouce
et
, puis les distances EF et EG et enfin le produit scalaire
. Concluez en utilisant une autre expression du produit scalaire.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 80 minutes.
Les thèmes clés
Suites et généralités • Fonction exponentielle • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Raisonnement par récurrence
E1 → 2. a) et 3. b) - Généralités sur les suites
E2 → 1. c), 2. b), 2. c) et 3. c) - Généralités sur les fonctions
E6 c • E6 e • E6 → 1. a) et 1. b)f - Fonction exponentielle
E8 a • E8 b • E8 d • E8 e • E8 → 1. a), 1. b) et 2. a)f
Algorithmes
- Suites et détermination d'un indice
A4 → 4. a)
Nos coups de pouce
étudiées à la question
par la fonction
est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l'aide du théorème de comparaison.
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Dérivation
E6 e • E6 → Partie B, 2. a)f - Continuité
E7 → Partie B, 2. b)b - Logarithme népérien
E9 a • E9 d • E9 → Partie Be - Primitives
E11 a • E11 → Partie B, 2. a) et 3.c - Intégration
E13 • E14 → Partie B, 2. b)
Nos coups de pouce
Partie A
Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l'abscisse du point G.
Partie B
à l'aide, entre autres, d'un calcul d'intégrale.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Nombres premiers.
Nos coups de pouce
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie a
> 1. Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision
Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n'y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Pour ne pas être confronté à une mauvaise surprise, le responsable du magasin a tout intérêt à vérifier la validité de cette affirmation à partir de son stock en se basant sur la valeur haute. Autrement dit, supposons que la proportion de cadenas défectueux dans la production est égale à 3 %
. Afin de valider cette affirmation, le responsable a prélevé un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme » : la taille
de l'échantillon est donc 500. Comme
,
et
, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :
.
Parmi les cadenas prélevés au hasard, 19 s'avèrent être défectueux : la fréquence observée de cadenas défectueux dans l'échantillon est donc :
Comme la fréquence observée
appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %,
> 2. Déterminer un intervalle de confiance
- 500 cadenas « premier prix » ont été prélevés de manière aléatoire dans le stock du magasin. La taille de l'échantillon considéré est donc
.
- Parmi les 500 cadenas prélevés, 39 se révèlent être défectueux. La fréquence observée dans cet échantillon de cadenas défectueux est alors :
.
- Comme
,
et
, les conditions sur
et
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :
partie b
> 1. Calculer une probabilité avec la loi normale
Première méthode : « par propriété »
Nous avons :
La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est
Deuxième méthode : « par calculatrice »
La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est
> 2. Déterminer une valeur sous contrainte
Le responsable du magasin sera confronté à une rupture de stock si le nombre de cadenas « premier prix » demandé par ses clients est supérieur au nombre de cadenas « premier prix » en stock. L'événement « être en rupture de stock au cours d'un mois » s'écrit
où la variable aléatoire
, pour rappel, associe à un mois donné le nombre de cadenas « premier prix » vendus. Comme la probabilité de cet événement doit être inférieure à
nous avons alors la contrainte suivante :
Première méthode : méthode par balayage
D'après l'étude statistique faite sur plusieurs mois, le responsable du magasin peut espérer vendre en moyenne 750 cadenas de ce type par mois. Le nombre minimal de cadenas à prévoir est alors naturellement supérieur à 750. Autrement dit, la valeur minimale de est supérieure à 750. Nous avons alors :
À l'aide d'une calculatrice, méthode par balayage, nous obtenons :
La plus petite valeur de l'entier remplissant cette condition est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir
Deuxième méthode
La contrainte est équivalente à
. Résolvons alors l'équation
où
suit la loi normale d'espérance
et d'écart type
.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
La fonction qui à tout réel associe la probabilité
étant croissante sur
remplissant la condition
est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir
partie c
> 1. Construire un arbre pondéré
- Comme 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix » et les autres sont « haut de gamme », les cadenas « haut de gamme » proposés à la vente représentent 20 %. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit « haut de gamme » est 0,2, soit
et la probabilité qu'il soit « premier prix » est 0,8 soit
.
- 3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas soit défectueux sachant qu'il est « haut de gamme » est de 0,03, soit
.
- En notant
la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux, et en prenant en compte que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1, la situation peut se représenter à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

> 2. Calculer une probabilité à partir d'un arbre pondéré
L'événement D est associé à deux feuilles : et
. Par suite, nous avons :
Or, d'après l'énoncé, 7 % des cadenas sont défectueux. Autrement dit, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit défectueux est 0,07 soit . Par conséquent,
et
.
D'après la question
> 3. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état (non défectueux), soit Nous avons :
La probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état est
Exercice 2
Commun à tous les candidats
> 1. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un disque
- Soit M un point d'affixe
vérifiant la condition
. En notant I le point d'affixe
et J le point d'affixe i, cette condition est équivalente à
. Le point M est alors équidistant des points I et J. L'ensemble des points M d'affixe
vérifiant
est donc la médiatrice du segment [IJ], droite d'équation
sur la figure.
Remarque. En toute rigueur, il faudrait démontrer que la droite d'équation est bien la médiatrice du segment [IJ]. Nous supposons ici que ce n'est pas un attendu.
- Soit M un point d'affixe
vérifiant la condition
. En notant
le point d'affixe
, cette condition est équivalente à
. Le point M est alors au maximum à une distance de 2 unités du point
. L'ensemble des points M d'affixe
vérifiant
est donc le disque de rayon 2 et de centre
, représenté sur la figure.
Par conséquent, un point M d'affixe vérifiant les deux conditions précédentes appartient à la médiatrice du segment [IJ] et au disque de rayon 2 et de centre
. Or, d'après l'énoncé, cette droite coupe le cercle de centre
et de rayon 2 en deux points A et B. Ainsi, l'ensemble
est le segment [AB].
> 2. Justifier qu'un nombre complexe n'est pas réel
Notons le nombre complexe défini par
.
D'après le tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons qu'un argument du nombre complexe non nul
est
.
D'après les deux points précédents, nous en concluons que le nombre complexe s'écrit sous la forme exponentielle suivante :
.
Par conséquent, nous avons :
Le nombre complexe est un imaginaire pur et donc il n'est pas réel.
> 3. Justifier une représentation paramétrique d'une droite
Considérons la droite
• Déterminons le ou les éventuels nombres réels vérifiant les trois conditions suivantes :
Nous avons :
Comme il existe un unique réel vérifiant les trois conditions données, le point E appartient à la droite
Nous avons :
Comme il existe un unique réel vérifiant les trois conditions données, le point F appartient à la droite
Les points E et F étant distincts, les droites (EF) et
> 4. Déterminer une mesure en degrés d'un angle
Les coordonnées des vecteurs et
sont :
De plus, les distances EF et EG sont :
Par définition, le produit scalaire des vecteurs et
est donné par :
Or, à l'aide des coordonnées, nous avons :
À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons . Une mesure en degrés de cet angle géométrique, arrondie au degré, est donc bien 50° .
Exercice 3
Commun à tous les candidats
> 1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction
En remarquant que , nous pouvons dire que
est dérivable sur
b) Déterminer les variations d'une fonction
c) Déterminer le sens de variation d'une suite
D'après la question ,
. Ainsi, pour tout entier naturel
,
. Or, d'après l'énoncé,
. Par conséquent,
, ce qui s'écrit également
.
2. a) Démontrer une inégalité par récurrence
Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel
Initialisation
Pour Comme
est supposé être négatif ou nul, nous avons
Donc
est vraie. La propriété est ainsi initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel
donné, soit
Démontrons que la propriété est vraie. Par définition de la suite
qui peut aussi s'écrire
. Comme une exponentielle est toujours positive,
, le signe de
correspond au signe de
. Or, par l'hypothèse de récurrence,
b) Justifier la convergence d'une suite
La suite est croissante d'après la question
c) Déterminer la limite d'une suite
Supposons que le réel est nul. D'après l'énoncé, le premier terme de la suite
est ainsi
Or, d'après la question
est croissante. Cela implique que pour tout entier naturel
Mais, d'après la question
est majorée par zéro : pour tout entier naturel
Nous en concluons que tous les termes de la suite
sont nuls et par conséquent que
> 3. a) Justifier une inégalité
Soit un entier naturel. D'après la remarque faite à la question
De plus, d'après l'affirmation de la question Or, comme le réel
est strictement positif et que la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle
b) Démontrer une inégalité par récurrence
Démontrons par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel
Initialisation
Pour nous avons d'une part,
et d'autre part,
Comme
est vraie et la propriété est initialisée.
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel
donné :
Démontrons que la propriété
est vraie. Nous avons :
Conclusion
c) Déterminer la limite d'une suite
D'après la question est strictement croissante sur l'intervalle
et elle admet sur
Le réel
étant strictement positif, nous en déduisons que
.
Comme, d'après la question précédente, pour tout entier naturel
> 4. a) Compléter un algorithme
La suite étant croissante, le calcul des termes de cette suite doit se poursuivre jusqu'à obtenir le premier terme
saisie. Autrement dit, nous devons calculer successivement à l'aide de la formule de récurrence (pour tout
de
) les termes de cette suite tant que ces derniers sont
La partie « Traitement » est ainsi :
b) Déterminer une valeur affichée par un algorithme
À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie a : étude de la proposition a
Remarquons ensuite que est l'aire du triangle ADE rectangle en D. Nous avons donc :
Remarquons tout d'abord que est l'aire du triangle AGB. La hauteur issue de G dans ce triangle a une longueur égale à
. Nous avons donc :
Notons H le point d'intersection de [AD] avec la parallèle à (DE) passant par G.

Dans le triangle ADE, les points A, G, E et A, H, D sont alignés dans cet ordre et la droite (GH) est parallèle à la droite (DE). D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :
partie b : étude de la proposition b
> 1. a) Déterminer l'abscisse d'un point
E appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction et son ordonnée est
. Pour déterminer son abscisse
, il faut donc résoudre, pour
, l'équation
.
b) Déterminer la valeur d'une constante
G appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction donc
.
G appartient aussi à la ligne d'extrémités B et G qui est une portion de la courbe représentative de la fonction donc
.
Sachant que , en regroupant les deux informations précédentes, nous obtenons :
> 2. a) Identifier une primitive d'une fonction donnée
La fonction est une fonction affine, donc elle est dérivable sur l'intervalle
, et sur cet intervalle,
. La fonction ln est dérivable sur
. Par composition, la fonction
est dérivable sur
.
La fonction est donc dérivable sur
comme produits et somme de fonctions dérivables sur
.
b) Calculer une aire
La fonction est dérivable donc continue sur
.
La fonction est donc positive sur
.
Nous pouvons remarquer que est obtenu en faisant la différence entre l'aire du rectangle de longueur AD et de largeur DE d'une part, et l'aire située sous la portion de la courbe représentative de la fonction
sur l'intervalle
d'autre part.
Nous avons ainsi :
Par conséquent :
> 3. Déterminer une primitive d'une fonction donnée
D'après la question .
Par conséquent, pour tout réel :
> 4. Étudier une proposition
D'après la question .
D'après l'énoncé, nous avons ici .
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons et
.
Par conséquent, puisque (aire du carré ABCD), nous avons
.
La condition C1 est respectée.
La condition C2 (
et
) imposée par le fabricant est respectée.
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
partie a : généralités
> 1. Vérifier qu'un triplet est un triplet pythagoricien
> 2. Étudier la parité simultanée d'entiers naturels
Supposons que est un TP. Nous avons alors
.
Raisonnons par l'absurde en supposant que les trois entiers naturels ,
et
sont tous les trois impairs.
Dans ce cas, nous avons : ,
et
.
Cela signifie donc que est pair et
est impair.
Or ceci est absurde : un nombre impair ne peut être égal à un nombre pair. L'hypothèse initiale était donc fausse.
Par conséquent,
> 3. a) Donner la décomposition d'un entier naturel
b) Décomposer des entiers naturels
c) Vérifier qu'une égalité donnée ne peut être satisfaite
Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe deux entiers naturels non nuls et
tels que
.
En utilisant leurs décompositions, nous avons alors : , où
sont des entiers naturels impairs.
Par conséquent, les puissances de 2 sont égales et nous obtenons alors . Or,
est impair et
est pair : cela est absurde.
Notre hypothèse initiale est donc fausse. Par conséquent, .
partie b : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015
> 1. Déterminer un triplet pythagoricien
Le TP donné dans le préambule est . En prenant
, d'après la question
est lui aussi un TP.
> 2. Déterminer un triplet pythagoricien
Remarquons tout d'abord que, 2015 étant un entier impair, il peut s'écrire sous la forme avec
.
En utilisant l'égalité, vraie pour tout entier naturel , donnée dans l'énoncé,
et en prenant
, nous obtenons :
> 3. a) Rechercher une décomposition sous la forme d'une différence de carrés
Cherchons alors à écrire le produit sous la forme
où
et
sont des entiers naturels non nuls avec
.