Sujet complet d’Afrique 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Afrique

 

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Afrique • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Afrique 2016

Exercice 1 (4 points) 
Encore un mélange !

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.

On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en grammes, suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart type 10.

Affirmation 1. La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

▶ 2. Affirmation 2. L’équation x − cos = 0 admet une unique solution dans l’intervalle 05126-Eqn1.

Dans les questions 3. et 4., l’espace est rapporté à un repère orthonormal et l’on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :

05126-Eqn2, et 05126-Eqn3

▶ 3. Affirmation 3. Les droites D1 et D2 sont sécantes.

▶ 4. Affirmation 4. La droite D1 est parallèle au plan P d’équation x + 2y z − 3 = 0.

Exercice 2 (6 points)
 Partage d’un domaine

Commun à tous les candidats

matT_1606_01_00C_01

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ;

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = 0 et = a d’autre part ;

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = a et = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0 ; 1] par f (x= x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a) = 05126-Eqn4.

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= 05126-Eqn5.

Vérifier que la valeur = 05126-Eqn6 convient.

Partie B Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

05126-Eqn7.

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par g(x) = 05126-Eqn8 et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0  un  un+1 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a u10 < 10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.

Exercice 3 (5 points)
 Sincérité dans les sondages

Commun à tous les candidats

Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne.

Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

On admet dans cette partie que la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.

▶ 1. L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

a) Quelle est la loi de la variable aléatoire ? Justifier la réponse.

b) Quelle est la meilleure valeur approchée de P(X  400) parmi les nombres suivants ?

0,92 0,93 0,94 0,95

2. Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400 ?

Partie B Proportion de personnes favorables au projet dans la population

Dans cette partie, on suppose que n personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille n (où n est un entier naturel supérieur à 50).

Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d’aménagement.

▶ 1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.

▶ 2. Déterminer la valeur minimale de l’entier n pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.

Partie C Correction due à l’insincérité de certaines réponses

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet.

L’institut de sondage sait par ailleurs que, la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable.

Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère ;

soit être en réalité défavorable au projet si elle n’est pas sincère.

Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l’aide d’un modèle probabiliste.

On prélève au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit :

F l’événement « la personne est en réalité favorable au projet » ;

05126-Eqn9 l’événement « la personne est en réalité défavorable au projet » ;

A l’événement « la personne affirme qu’elle est favorable au projet » ;

05126-Eqn10 l’événement « la personne affirme qu’elle est défavorable au projet ». Ainsi, d’après les données, on a P(A) = 0,29.

▶ 1. En interprétant les données de l’énoncé, indiquer les valeurs de PF(A) et 05126-Eqn11.

▶ 2. On pose = P(F).

matT_1606_01_00C_02

a) Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.

b. En déduire une égalité vérifiée par le réel x.

▶ 3. Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.

Exercice 4 (5 points)
 Étude de la coquille d’un nautile

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

matT_1606_01_00C_03

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct 05126-Eqn12.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes 05126-Eqn13 et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0  k  n.

Par exemple, pour les entiers = 6, = 10 et = 20, on obtient les figures ci-dessous :

matT_1606_01_00C_04

Partie A Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que = 6.

Ainsi, pour 0  k  6, on a 05126-Eqn14.

▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.

▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l’on déterminera.

▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 05126-Eqn15.

Partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

▶ 1. Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OMk.

▶ 2. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, déterminer une mesure des angles 05126-Eqn16 et 05126-Eqn17.

En déduire une mesure de l’angle 05126-Eqn18.

▶ 3. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à 05126-Eqn19.

▶ 4. On admet que l’aire du triangle OMk Mk+1 est égale à 05126-Eqn20 et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à A= a0a1 + … + an−1.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire An lorsqu’on entre l’entier :

Variables

A est un nombre réel

k est un entier

n est un entier

Traitement

Lire la valeur de n

A prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à n −1

   

A prend la valeur 05126-Eqn21

 

Fin Pour

Sortie

Afficher A

On entre dans l’algorithme = 10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

   

▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que 05126-Eqn22.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An  7,2. On ne demande pas de déterminer n.

L1

Variables

A est un nombre réel

L2

 

k est un entier

L3

 

n est un entier

L4

Traitement

n prend la valeur 2

L5

 

A prend la valeur 0

L6

 

Tant que ………

L7

   

n prend la valeur n + 1

L8

   

A prend la valeur 0

L9

   

Pour k allant de 0 à n – 1

L10

       

A prend la valeur 05126-Eqn23

L11

   

Fin Pour

L12

 

Fin Tant que

L13

Sortie

Afficher …………

Exercice 4 (5 points)
 Cryptons avec M. Hill

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d’étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d’une matrice A, connue uniquement de l’émetteur et du destinataire.

Dans tout l’exercice, on note A la matrice définie par 05126-Eqn24.

Partie A Chiffrement de Hill

Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres.

Étape 1. On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.

Étape 2. On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x1 et x2, tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 3. On transforme la matrice 05126-Eqn25 en la matrice 05126-Eqn26 vérifiant Y = AX.

Étape 4. On transforme la matrice 05126-Eqn27 en la matrice 05126-Eqn28, où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 celui de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 5. On associe aux entiers r1 et r2 les deux lettres correspondantes du tableau de l’étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.

Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot « HILL ».

Partie B Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

▶ 1. Soit a un entier relatif premier avec 26.

Démontrer qu’il existe un entier relatif u tel que u × a ≡ 1 modulo 26.

▶ 2. On considère l’algorithme suivant :

Variables

a, u et r sont des nombres (a est naturel et premier avec 26)

Traitement

Lire a

 

u prend la valeur 0 et r prend la valeur 0

Tant que r ≠ 1

   

u prend la valeur u + 1

r prend la valeur du reste de la division euclidienne de u × a par 26

 

Fin du Tant que

Sortie

Afficher u

On entre la valeur = 21 dans cet algorithme.

a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.

u

0

1

2

r

0

21

b) En déduire que 5 × 21 ≡ 1 modulo 26.

▶ 3. On rappelle que A est la matrice 05126-Eqn29 et on note I la matrice 05126-Eqn30.

a) Calculer la matrice 12A A2.

b) En déduire la matrice B telle que B A = 21I.

c) Démontrer que si AX = Y, alors 21= BY.

Partie C Déchiffrement

On veut déchiffrer le mot VLUP.

On note 05126-Eqn31 la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et 05126-Eqn32 la matrice définie par l’égalité 05126-Eqn33.

Si r1 et r2 sont les restes respectifs de y1 et y2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice 05126-Eqn34.

▶ 1. Démontrer que 05126-Eqn35.

▶ 2. En utilisant la question B 2., établir que :

05126-Eqn36

▶ 3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices 05126-Eqn37 et 05126-Eqn38.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Fonction cosinus • Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi normale  E40a • E40e • C3 1.

Fonction cosinus  E10a • E10b • E10e 2.

Continuité  E7b • E7c 2.

Dérivée  E6c • E6e • E6f 2.

Droites et plans  E24a • E24b • E30 • E33c 3. et 4.

Produit scalaire  E31c • E32a 4.

Nos coups de pouce

 2. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. N’oubliez pas au préalable de vérifier les conditions justifiant son utilisation.

 4. Précisez les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite D05126-Eqn39 et celles d’un vecteur normal au plan P. Calculez leur produit scalaire et concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E1 • E2a • E2b • E2c • E2e Partie  B, 2. c) et 2. d)

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie B, 2. b)

Continuité  E7a • E7b Partie A

Fonction exponentielle  E8a • E8d Partie A, 3. a)

Fonction logarithme  E9a • E9b Partie A, 3. a)

Intégration  E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14 Partie A ; ­Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.

▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0 ; 1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel 05126-Eqn40 vérifiant la condition (E).

Partie B

▶ 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes.

Les thèmes clés

Loi binomiale • Intervalle de confiance • Arbre pondéré.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi binomiale  E39 • C2 Partie A

Intervalle de confiance  E44 Partie B

Arbre pondéré  E37 Partie C, 2. a) et 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Justifiez que la contrainte imposée s’écrit 05126-Eqn4105126-Eqn42 est une variable aléatoire à définir au préalable (05126-Eqn43 désignant un entier naturel non nul). Concluez à l’aide d’une calculatrice par tabulation des valeurs de 05126-Eqn4405126-Eqn45 étant la variable.

Partie B

▶ 2. Traduisez la condition imposée sur l’amplitude de l’intervalle de confiance à l’aide d’une inéquation dont l’inconnue est 05126-Eqn46

Partie C

▶ 2. b) Exprimez la probabilité de l’événement A en fonction du réel 05126-Eqn47 en utilisant l’arbre pondéré. N’oubliez pas une donnée de l’énoncé pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans le plan • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Forme algébrique  E16 Partie A, 1., 2. et 3.

Module  E18 Partie A, 3. ; Partie B, 1.

Argument  E19a • E19c • E19d Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 2. et 3.

Forme exponentielle  E21a • E21b Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 1.

Applications en géométrie  E22 Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Nombres complexes et calculatrice  C4 Partie A

Suites et algorithme type  A4 Partie B, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 3. Appelez 05126-Eqn48 le pied de la hauteur issue de 05126-Eqn49 dans le triangle 05126-Eqn50. Établissez le lien entre la distance 05126-Eqn51 et la partie imaginaire de 05126-Eqn52 Concluez.

Partie B

▶ 1. Calculez le module du nombre complexe 05126-Eqn53

▶ 2. Pensez à utiliser la relation de Chasles.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calcul matriciel  C5 Partie A ; Partie B, 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

Partie B

▶ 1. Pensez à utiliser le théorème de Bézout.