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Afrique • Juin 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet d'Afrique 2016
Exercice 1 (4 points) Encore un mélange !
Commun à tous les candidats
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
▶ 1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.
On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en grammes, suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 10.
Affirmation 1. La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.
▶ 2. Affirmation 2. L'équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l'intervalle 
.
Dans les questions 3. et 4., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :
, et 
▶ 3. Affirmation 3. Les droites D1 et D2 sont sécantes.
▶ 4. Affirmation 4. La droite D1 est parallèle au plan P d'équation x + 2y + z − 3 = 0.
Exercice 2 (6 points) Partage d'un domaine
Commun à tous les candidats
Soit f une fonction définie sur l'intervalle [0 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 a 1.
On note :
C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
A1 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = 0 et x = a d'autre part
A2 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = a et x = 1 d'autre part.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».
On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.
Partie A Étude de quelques exemples
▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.
a) f est une fonction constante strictement positive.
b) f est définie sur [0 1] par f (x) = x.
▶ 2. a) À l'aide d'intégrales, exprimer en unités d'aire les aires A1 et A2.
b) On note F une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 1].
Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :
F (a) = 
.
La réciproque est-elle vraie ?
▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.
a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = ex.
Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.
b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = 
.
Vérifier que la valeur a = 
convient.
Partie B Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée de a
Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 1] par f (x) = 4 − 3x2.
▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation :
.
Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l'intervalle [0 1]. On note a cette solution.
▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle [0 1] par g(x) = 
et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).
a) Calculer u1.
b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l'intervalle [0 1].
c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1.
d) Prouver que la suite (un) est convergente.
À l'aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.
e) On admet que le réel a vérifie l'inégalité 0 a − u10 10−9.
Calculer u10 à 10−8 près.
Exercice 3 (5 points) Sincérité dans les sondages
Commun à tous les candidats
Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne.
Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage
On admet dans cette partie que la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.
▶ 1. L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.
a) Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? Justifier la réponse.
b) Quelle est la meilleure valeur approchée de P(X ≥ 400) parmi les nombres suivants ?
0,92 0,93 0,94 0,95
▶ 2. Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400 ?
Partie B Proportion de personnes favorables au projet dans la population
Dans cette partie, on suppose que n personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille n (où n est un entier naturel supérieur à 50).
Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d'aménagement.
▶ 1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.
▶ 2. Déterminer la valeur minimale de l'entier n pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.
Partie C Correction due à l'insincérité de certaines réponses
Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29 % affirment qu'elles sont favorables au projet.
L'institut de sondage sait par ailleurs que, la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable.
Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :
soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère
soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère.
Par expérience, l'institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée.
Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d'un modèle probabiliste.
On prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit :
F l'événement « la personne est en réalité favorable au projet »
l'événement « la personne est en réalité défavorable au projet »
A l'événement « la personne affirme qu'elle est favorable au projet »
l'événement « la personne affirme qu'elle est défavorable au projet ». Ainsi, d'après les données, on a P(A) = 0,29.
▶ 1. En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de PF(A) et 
.
▶ 2. On pose x = P(F).
a) Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.
b. En déduire une égalité vérifiée par le réel x.
▶ 3. Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.
Exercice 4 (5 points) Étude de la coquille d'un nautile
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale. On s'intéresse à l'aire délimitée par cette ligne.
On munit le plan d'un repère orthonormal direct 
.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes 
et on note Mk le point d'affixe zk.
Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0 ≤ k ≤ n.
Par exemple, pour les entiers n = 6, n = 10 et n = 20, on obtient les figures ci-dessous :
Partie A Ligne brisée formée à partir de sept points
Dans cette partie, on suppose que n = 6.
Ainsi, pour 0 ≤ k ≤ 6, on a 
.
▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.
▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l'on déterminera.
▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l'aire de ce triangle est égale à 
.
Partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points
Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.
▶ 1. Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OMk.
▶ 2. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, déterminer une mesure des angles 
et 
.
En déduire une mesure de l'angle 
.
▶ 3. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à 
.
▶ 4. On admet que l'aire du triangle OMk Mk+1 est égale à 
et que l'aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à An = a0 + a1 + … + an−1.
L'algorithme suivant permet de calculer l'aire An lorsqu'on entre l'entier n :
| Variables | A est un nombre réel k est un entier n est un entier | |
| Traitement | Lire la valeur de n A prend la valeur 0 Pour k allant de 0 à n −1 | |
| A prend la valeur | ||
| Fin Pour | ||
| Sortie | Afficher A | |
On entre dans l'algorithme n = 10
Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l'algorithme.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| A | 0,323 | 0,711 | 1,170 | 1,705 | 2,322 | 3,027 | 3,826 | 4,726 |
▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que 
.
Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l'algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An ≥ 7,2. On ne demande pas de déterminer n.
| L1 | Variables | A est un nombre réel | |||
| L2 | k est un entier | ||||
| L3 | n est un entier | ||||
| L4 | Traitement | n prend la valeur 2 | |||
| L5 | A prend la valeur 0 | ||||
| L6 | Tant que ……… | ||||
| L7 | n prend la valeur n + 1 | ||||
| L8 | A prend la valeur 0 | ||||
| L9 | Pour k allant de 0 à n – 1 | ||||
| L10 | A prend la valeur | ||||
| L11 | Fin Pour | ||||
| L12 | Fin Tant que | ||||
| L13 | Sortie | Afficher ………… | |||
Exercice 4 (5 points) Cryptons avec M. Hill
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice A, connue uniquement de l'émetteur et du destinataire.
Dans tout l'exercice, on note A la matrice définie par 
.
Partie A Chiffrement de Hill
Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres.
Étape 1. On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.
Étape 2. On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x1 et x2, tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
Étape 3. On transforme la matrice 
en la matrice 
vérifiant Y = AX.
Étape 4. On transforme la matrice 
en la matrice 
, où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 celui de la division euclidienne de y2 par 26.
Étape 5. On associe aux entiers r1 et r2 les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.
Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot « HILL ».
Partie B Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement
▶ 1. Soit a un entier relatif premier avec 26.
Démontrer qu'il existe un entier relatif u tel que u × a ≡ 1 modulo 26.
▶ 2. On considère l'algorithme suivant :
| Variables | a, u et r sont des nombres (a est naturel et premier avec 26) | |
| Traitement | Lire a | |
| u prend la valeur 0 et r prend la valeur 0 Tant que r ≠ 1 | ||
| u prend la valeur u + 1 r prend la valeur du reste de la division euclidienne de u × a par 26 | ||
| Fin du Tant que | ||
| Sortie | Afficher u | |
On entre la valeur a = 21 dans cet algorithme.
a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
| u | 0 | 1 | 2 | … |
| r | 0 | 21 | … | … |
b) En déduire que 5 × 21 ≡ 1 modulo 26.
▶ 3. On rappelle que A est la matrice 
et on note I la matrice 
.
a) Calculer la matrice 12A − A2.
b) En déduire la matrice B telle que B A = 21I.
c) Démontrer que si AX = Y, alors 21X = BY.
Partie C Déchiffrement
On veut déchiffrer le mot VLUP.
On note 
la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et 
la matrice définie par l'égalité 
.
Si r1 et r2 sont les restes respectifs de y1 et y2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice 
.
▶ 1. Démontrer que 
.
▶ 2. En utilisant la question B 2., établir que :
▶ 3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices 
et 
.
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Fonction cosinus • Géométrie dans l'espace.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Loi normale E40a • E40e • C3 → 1.
Fonction cosinus E10a • E10b • E10e → 2.
Continuité E7b • E7c → 2.
Dérivée E6c • E6e • E6f → 2.
Droites et plans E24a • E24b • E30 • E33c → 3. et 4.
Produit scalaire E31c • E32a → 4.
Nos coups de pouce
▶ 2. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. N'oubliez pas au préalable de vérifier les conditions justifiant son utilisation.
▶ 4. Précisez les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite D
et celles d'un vecteur normal au plan P. Calculez leur produit scalaire et concluez.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 80 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Suites E1 • E2a • E2b • E2c • E2e → Partie B, 2. c) et 2. d)
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie B, 2. b)
Continuité E7a • E7b → Partie A
Fonction exponentielle E8a • E8d → Partie A, 3. a)
Fonction logarithme E9a • E9b → Partie A, 3. a)
Intégration E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14 → Partie A Partie B, 1.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l'égalité induite avant de conclure.
▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l'intervalle [0 1]. Utilisez ensuite l'équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l'unique valeur du réel 
vérifiant la condition (E).
Partie B
▶ 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 55 minutes.
Les thèmes clés
Loi binomiale • Intervalle de confiance • Arbre pondéré.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Loi binomiale E39 • C2 → Partie A
Intervalle de confiance E44 → Partie B
Arbre pondéré E37 → Partie C, 2. a) et 2. b)
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Justifiez que la contrainte imposée s'écrit 
où 
est une variable aléatoire à définir au préalable (
désignant un entier naturel non nul). Concluez à l'aide d'une calculatrice par tabulation des valeurs de 
étant la variable.
Partie B
▶ 2. Traduisez la condition imposée sur l'amplitude de l'intervalle de confiance à l'aide d'une inéquation dont l'inconnue est 
Partie C
▶ 2. b) Exprimez la probabilité de l'événement A en fonction du réel 
en utilisant l'arbre pondéré. N'oubliez pas une donnée de l'énoncé pour conclure.
Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 65 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Géométrie dans le plan • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Forme algébrique E16 → Partie A, 1., 2. et 3.
Module E18 → Partie A, 3. Partie B, 1.
Argument E19a • E19c • E19d → Partie A, 1. et 2. Partie B, 2. et 3.
Forme exponentielle E21a • E21b → Partie A, 1. et 2. Partie B, 1.
Applications en géométrie E22 → Partie A, 3. Partie B, 1., 2. et 3.
Nombres complexes et calculatrice C4 → Partie A
Suites et algorithme type A4 → Partie B, 5.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Appelez 
le pied de la hauteur issue de 
dans le triangle 
. Établissez le lien entre la distance 
et la partie imaginaire de 
Concluez.
Partie B
▶ 1. Calculez le module du nombre complexe 
▶ 2. Pensez à utiliser la relation de Chasles.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 65 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Calcul matriciel C5 → Partie A Partie B, 3. a) et 3. b)
Nos coups de pouce
Partie B
▶ 1. Pensez à utiliser le théorème de Bézout.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
▶ 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale
Notons 
la variable aléatoire qui, à une baguette choisie au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Alors, la probabilité demandée s'écrit à l'aide de la variable 
de la manière suivante : 
Comme 
suit la loi normale d'espérance 200 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation 
nous avons :
Notez bien
Calcul de 
avec 
Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :
NormalFrép
Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :
NormCD
Or, à l'aide de la calculatrice :
| TI 83 + | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
Ainsi, 
L'affirmation 1 est vraie.
▶ 2. Justifier l'unicité d'une solution
Notons 
l'intervalle 
et 
la fonction définie sur 
par 
La fonction 
étant dérivable sur 
comme différence de deux fonctions dérivables, sa dérivée 
est définie sur 
et elle est donnée par 
Comme la fonction sinus est positive sur 
nous avons : 
La fonction 
étant strictement positive sur 
la fonction 
est strictement croissante sur 
Par le point précédent, la fonction 
est dérivable sur 
La fonction 
est ainsi continue sur cet intervalle.
Nous avons 
et 
Par suite, 0 est bien compris entre 
et 
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation 
admet une unique solution dans 
L'affirmation 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la position relative de deux droites dans l'espace
Un point 
appartient aux droites D
et D
si et seulement si il existe un réel 
et un réel 
tels que 
et 
Ce qui implique 
Or, par équivalence :
Cela conduit à la contradiction suivante : 
Par conséquent, il n'existe pas de point M de l'espace appartenant aux deux droites. Ces droites ne sont ainsi pas sécantes.
L'affirmation 3 est fausse.
▶ 4. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Le plan P a pour équation cartésienne 
Un vecteur normal à ce plan est, par suite, le vecteur 
de coordonnées 
.
La droite D
admet pour représentation paramétrique :
, qui s'écrit également 
.
Un vecteur directeur de cette droite est, par suite, le vecteur 
de coordonnées 
.
Comme 
, les vecteurs 
et 
sont orthogonaux. La droite D
est donc parallèle au plan P.
L'affirmation 4 est vraie.
Exercice 2
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. a) Déterminer une valeur sous contrainte
Intéressons-nous au cas où la fonction 
est constante et strictement positive sur [0 1]. Notons 
cette constante strictement positive.
Notez bien
.
est l'aire d'un rectangle de dimensions 
et 
est donc égale à 
De même, 
est l'aire d'un rectangle de dimensions 
et 
est donc égale à 
La condition (E) se traduit, par conséquent, par 
Or,
La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 0,5.
b) Déterminer une valeur sous contrainte
Intéressons-nous au cas où la fonction 
est définie sur [0 1] par 
Notez bien
et
.
est l'aire d'un triangle de base 
et de hauteur 
est donc égale à 
est l'aire d'un trapèze de grande base 
de petite base 
et de hauteur 
est donc égale à 
La condition (E) se traduit, par conséquent, par 
Or,
.
La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 
▶ 2. a) Exprimer une aire à l'aide d'une intégrale
D'après l'énoncé, la fonction 
est continue et positive sur l'intervalle [0 1]. Comme le réel 
vérifie 
il en est de même sur les intervalles 
et 
.
Ainsi, l'aire 
correspond (en unités d'aire) à l'intégrale 
tandis que l'aire 
correspond (en unités d'aire) à l'intégrale 
.
b) Démontrer une équivalence
D'après l'énoncé, 
est une primitive de 
sur l'intervalle [0 1] donc également sur les intervalles 
et 
. Or, d'après la question précédente, l'aire 
est égale à 
u.a. et l'aire 
est égale à 
u.a.
Ainsi, 
et 
Soit 
un réel compris entre 0 et 1. Si ce réel satisfait la condition (E), alors :
Un tel réel 
vérifie donc l'égalité 
Comme dans le point précédent, toutes les implications 
peuvent être remplacées par des équivalences 
la réciproque est vraie, à savoir « si le réel 
est tel que 
alors le réel 
vérifie la condition (E). »
▶ 3. a) Déterminer une valeur sous contrainte
Une primitive de la fonction 
sur ℝ donc sur l'intervalle [0 1] est 
.
Notez bien
Pour tous réels 
et 
pour tout entier relatif 
.
et 
.
D'après la question précédente, un réel 
de 
satisfait la condition (E) si et seulement si 
qui s'écrit alors ici 
.
Mais, 
est équivalent à 
ou encore 
.
La condition (E) est remplie pour un unique réel 
égal à 
.
b) Déterminer une valeur sous contrainte
Déterminons une primitive de la fonction 
sur l'intervalle [0 1].
Notez bien
Pour toute fonction 
dérivable sur un intervalle 
ne s'annulant pas sur 
une primitive de 
est 
Pour ce faire, notons 
la fonction affine définie sur [0 1] par 
Cette fonction est clairement dérivable sur [0 1] et sa dérivée 
est définie sur cet intervalle par 
.
Précisons que la fonction 
est strictement positive sur cet intervalle et ainsi ne s'y annule pas. Alors, comme nous avons pour tout réel 
de [0 1], 
une primitive de la fonction 
sur l'intervalle [0 1] est 
.
D'après la question précédente, un réel 
de ]0 1[ satisfait la condition (E) si et seulement si 
qui s'écrit alors ici 
.
La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 
.
partie B
▶ 1. Démontrer une implication
Soit 
un réel de ]0 1[ satisfaisant la condition (E).
Une primitive de la fonction polynôme de degré deux 
sur l'intervalle [0 1] est 
. Il en découle d'après l'équivalence justifiée à la question A 2. b), que le réel 
est tel que 
Ce qui donne, après simplification, 
Or, nous avons :
Nous en concluons que si a est un réel de ]0 1[ satisfaisant la condition (E) alors a est solution de l'équation 
.
▶ 2. a) Calculer un terme d'une suite
Nous avons 
La valeur de 
est 0,375.
b) Justifier les variations d'une fonction
La fonction 
est une fonction polynôme de degré trois. Elle est alors dérivable sur ℝ donc sur l'intervalle [0 1] et sa dérivée est donnée par 
. Comme, pour tout réel 
de [0 1], 
, alors la fonction g est croissante sur l'intervalle [0 1].
c) Démontrer des inégalités par récurrence
Soit la propriété 
Initialisation : 
(énoncé) et 
(question B 1.). Nous avons alors : 
La propriété est initialisée.
Hérédité : nous supposons que la propriété 
est vraie pour un entier naturel 
(hypothèse de récurrence). Démontrons que la propriété 
est vérifiée.
Par hypothèse de récurrence, nous avons 
. Comme la fonction 
est croissante sur [0 1], 
.
Par définition de la suite 
il en découle que : 
.
Or, 
et 
. Il s'ensuit que 
. La propriété est donc héréditaire.
Comme la propriété 
est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel 
, 
.
d) Démontrer la convergence d'une suite
D'après la question précédente, la suite 
est croissante et majorée par 1. Par le théorème de la convergence monotone, cette suite est convergente.
Notons 
la limite de la suite 
Par définition de la suite 
nous avons pour tout entier naturel 
.
Or, nous avons 
et 
. Par produit et somme (opérations sur les limites), nous en déduisons que 
.
De plus, par les inégalités justifiées à la question précédente, nous avons également pour tout entier naturel 
, donc 
.
Or, il a été admis que l'équation 
a une unique solution dans [0 1] notée 
.
Nous en concluons que la limite l de la suite 
est 
.
e) Calculer un terme d'une suite
À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :
| n |
|
| 0 |
|
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
| 5 |
|
| 6 |
|
| 7 |
|
| 8 |
|
| 9 |
|
| 10 |
|
Une valeur approchée de 
à 
près est 
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie A Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage
▶ 1. a) Justifier la loi suivie par une variable aléatoire
Pour chaque personne interrogée au hasard dans cette population, deux issues sont possibles : la personne interrogée accepte de répondre à la question (événement noté S) et la personne n'accepte pas (événement 
), la probabilité de l'événement S étant admise égale à 0,6. Les 700 personnes constituant un échantillon aléatoire de cette population d'après l'énoncé, leurs choix sont implicitement indépendants les uns des autres (« tirage avec remise ») et identiques. X suit donc la loi binomiale de paramètres 
et 
.
b) Déterminer une probabilité avec une loi binomiale
L'événement contraire de 
étant l'événement
nous avons :
Notez bien
Calcul de 
avec 
B
Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :
binomFRép
Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :
BinominalCD
.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO Graph 75 |
|
|
|
La plus proche valeur de 
parmi les nombres proposés est 0,94.
> 2. Déterminer un paramètre sous contrainte
Dans cette question, le nombre de personnes interrogées n'est pas nécessairement égal à 700 contrairement aux deux questions précédentes. Notons 
ce nombre et considérons la variable aléatoire 
qui, à 
personnes interrogées dans cette population, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à la question. Similairement à la question 1. a), nous pouvons justifier que la variable aléatoire 
suit la loi binomiale de paramètres 
et 
.
La contrainte de l'énoncé, à savoir « la probabilité que le nombre de personnes répondant à la question soit supérieur ou égal à 400, est supérieure à 0,9 », se traduit alors, à l'aide de la variable aléatoire 
par 
. Grâce à la question précédente, nous savons que la valeur minimale de l'entier naturel 
vérifiant une telle contrainte n'excédera pas 700, soit 
Comme l'événement contraire de 
est l'événement
nous avons la relation 
Puis, à l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO Graph 75 |
| Touche f(x) Y1=1−binomFRép(X,0.6,399) | Menu Table Y1=1−BinominalCD(399,X,0.6) |
|
|
|
Pour répondre à la contrainte, l'institut doit alors interroger au minimum 694 personnes.
partie B Proportion de personnes favorables au projet dans la population
▶ 1. Donner un intervalle de confiance
Parmi les 
personnes qui ont répondu à la question, 29 % sont favorables au projet d'aménagement. Comme 
est un entier naturel supérieur à 50, nous avons 
et 
. Les conditions étant vérifiées, l'intervalle de confiance au niveau de confiance 
est bien défini et donné par :
▶ 2. Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte
L'amplitude de l'intervalle de confiance précédemment défini est égale à :
.
La contrainte « l'intervalle de confiance a une amplitude inférieure ou égale à 0,04 » se traduit alors par l'inéquation suivante : 
. Or, par équivalence, nous avons :
La valeur minimale de l'entier n pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04 est 2 500.
partie C Correction due à l'insincérité de certaines réponses
▶ 1. Indiquer des probabilités conditionnelles
La probabilité 
est une probabilité conditionnelle : probabilité que l'événement A se réalise sachant que l'événement F est réalisé. Dans notre contexte, c'est la probabilité qu'une personne ayant répondu au sondage dont la fiche a été prélevée au hasard affirme qu'elle est favorable au projet sachant qu'elle y est réellement favorable. La réponse de cette personne serait ainsi sincère. Par conséquent, 
.
La probabilité 
est également une probabilité conditionnelle. C'est la probabilité qu'une personne ayant répondu au sondage dont la fiche a été prélevée au hasard affirme qu'elle est favorable au projet sachant qu'en réalité, elle y est défavorable. La réponse de cette personne serait ainsi non sincère. Par suite, 
.
▶ 2. a) Compléter un arbre pondéré
Notez bien
La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Au nœud F, d'après la question précédente, 
. Par suite :
.
De même, au nœud 
, d'après la question précédente, 
. Par suite :
.
L'arbre de probabilité dûment complété est donc :
b) Établir une égalité
D'une part, l'événement A étant associé aux deux feuilles 
et 
, nous avons d'après la formule des probabilités totales :
D'autre part, d'après l'énoncé, nous avons 
.
Ainsi, le réel x vérifie l'égalité suivante : 
.
▶ 3. Résoudre une équation
D'après la question précédente, nous avons 
.
Or, par équivalence :
.
Parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet serait de 20 %.
Exercice 4
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
partie A Ligne brisée formée à partir de sept points
▶ 1. Déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe
D'après l'énoncé, en remplaçant 
par 1, nous avons : 
.
Par notation (forme exponentielle), il s'ensuit que : 
.
Enfin, en utilisant le tableau des valeurs usuelles, nous avons :
.
La forme algébrique du nombre complexe 
est 
.
▶ 2. Vérifier la nature d'un nombre
Similairement à la question précédente, nous avons :
Les nombres complexes 
et 
sont des entiers.
▶ 3. Calculer l'aire d'un triangle
Dans le triangle 
appelons 
le pied de la hauteur issue du sommet 
.
Notez bien
.
L'aire de ce triangle est par conséquent égale à 
.
La longueur de la « hauteur » issue de 
correspond à la distance 
qui n'est rien d'autre que la partie imaginaire du nombre complexe 
Par suite, d'après la première question de cette partie, 
.
La distance 
est le module du nombre complexe 
Ainsi, d'après la deuxième question de cette partie, 
.
Donc l'aire du triangle 
est 
.
partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points
▶ 1. Calculer le module d'un nombre complexe
Soit 
un entier tel que 
La distance 
est égale au module du nombre complexe 
Il en découle que :
Notez bien
Pour tout réel 
, 
. Pour tout réel 
, 
.
La longueur 
est égale à 
.
▶ 2. Déterminer une mesure d'un angle orienté
Soit 
un entier tel que 
Une mesure de l'angle orienté 
est un argument du nombre complexe non nul 
Comme 
, nous avons :
.
De même, 
.
Par la relation de Chasles, nous avons :
Une mesure de l'angle 
est 
.
▶ 3. Déterminer une longueur
Soit 
un entier tel que 
Dans le triangle 
, appelons 
le pied de la hauteur issue du sommet 
.
Dans le triangle rectangle 
, nous avons : 
.
Or, les points O, 
et 
étant alignés, nous avons : 
.
Mais, d'après la deuxième question de cette partie, une mesure de 
est 
. De plus, d'après la première question de cette partie, la longueur 
est égale à 
.
Il s'ensuit que 
et donc la longueur de la « hauteur » issue de 
dans le triangle 
, à savoir la distance
, est 
.
Remarque. Le cas 
est implicitement exclu de cette étude. Dans ce cas, la coquille d'un nautile est modélisée par la ligne brisée reliant les points 
, 
et 
d'affixes respectives 
et 
Ces points sont alignés sur l'axe des réels et les triangles à considérer sont ainsi aplatis. L'aire totale délimitée par cette ligne brisée est ainsi égale à zéro, ce qui est admis à la question 5.
▶ 4. Dérouler un algorithme
La valeur 10 a été saisie pour la variable 
au début de la phase de traitement. La variable 
prend alors toutes les valeurs entières comprises entre 
et 
Pour chacune de ces valeurs, la valeur de la variable 
est mise à jour. En particulier, il est ajouté à sa valeur précédente le réel 
Notez bien
N'oubliez pas de mettre votre calculatrice en mode « radians ».
Pour 
D'après le tableau donné dans l'énoncé, 
a pris la valeur 
à l'étape précédente. Par suite, 
prend la valeur :
Pour 
a pris la valeur 
à l'étape précédente (valeur approchée au millième). Par suite, 
prend la valeur :
Le tableau ainsi complété est le suivant :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| A | 0,323 | 0,711 | 1,170 | 1,705 | 2,322 | 3,027 | 3,826 | 4,726 | 5,731 | 6,848 |
▶ 5. Compléter un algorithme
Cet algorithme permet de déterminer l'indice à partir duquel tous les termes de la suite implicitement croissante 
sont supérieurs ou égaux au réel 
Pour ce faire, il doit calculer successivement chaque terme 
de cette suite tant que la valeur obtenue est inférieure à 
La ligne 6 est par suite : « Tant que 
». Une fois que cette condition n'est plus vraie, la dernière valeur prise par la variable 
est l'indice recherché. Dans la phase de sortie, la ligne 13 est alors : « Afficher n ».
Exercice 4
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
partie A Chiffrement de Hill
À l'étape 1, le mot « HILL » est divisé en deux blocs de deux lettres consécutives. Le premier bloc est « HI », le deuxième bloc est « LL ».
Étapes 2 à 5 pour le bloc « HI ».
À l'étape 2, le bloc « HI » est associé aux deux entiers 
et 
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
La matrice 
est transformée, à l'étape 3, en la matrice 
:
D'une part 
et d'autre part 
.
Donc la matrice 
est transformée, à l'étape 4, en la matrice 
À cette matrice 
est associé, à l'étape 5, le bloc « ZB ».
Étapes 2 à 5 pour le bloc « LL ».
À l'étape 2, le bloc « LL » est associé aux entiers 
et 
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
La matrice 
est transformée, à l'étape 3, en la matrice 
:
Comme 
et 
, la matrice 
est transformée, à l'étape 4, en la matrice 
À cette matrice 
est associé, à l'étape 5, le bloc « ZY ».
Finalement, le bloc « HILL » est chiffré en « ZBZY ».
partie B Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement
▶ 1. Établir une relation de congruence
Notez bien
Théorème de Bézout. Si 
et 
deux entiers relatifs, sont premiers entre eux, alors il existe deux entiers relatifs 
et 
tels que 
Comme l'entier relatif 
et 26 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs 
et 
tels que : 
.
Ce qui s'écrit également 
Par conséquent, 
▶ 2. a) Dérouler un algorithme
La valeur 21 a été saisie pour la variable 
au début de la phase de traitement. La variable 
prend la valeur 0, la variable 
également (2e colonne du tableau). Comme 
la boule « tant que » s'exécute : 
prend la valeur 1 et, comme 
prend la valeur 21 (3e colonne du tableau). Les mises à jour des valeurs prises par les variables 
et 
sont faites « tant que 
est différent de 1 ». Ce que nous pouvons résumer dans le tableau suivant :
| u | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Calcul intermédiaire |
|
|
|
|
| |
| r | 0 | 21 | 16 | 11 | 6 | 1 |
| Condition du « tant que » | Vraie
| Vraie
| Vraie
| Vraie
| Vraie
| Fausse
|
L'algorithme affiche la valeur 5.
b) Utiliser un algorithme
Dans la phase de sortie, l'algorithme affiche la valeur 5. Nous en déduisons que 1 est le reste de la division euclidienne de 
par 
est alors congru à 1 modulo 26 ce qui se note 
.
▶ 3. a) Calculer une matrice
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
Nous avons :
▶ b) Identifier une matrice
Notez bien
Pour toute matrice carrée 
d'ordre 2, 
Par la question précédente, nous avons :
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice C5 .
En posant 
nous avons : 
c) Démontrer une implication
Supposons vraie la relation matricielle 
Alors, en multipliant à gauche par la matrice 
on obtient 
Par associativité, 
Or, d'après la question précédente, 
Ainsi, 
ou encore 
La matrice 
étant la matrice identité d'ordre 2, 
Nous en concluons que si 
, alors 
.
partie C Déchiffrement
▶ 1. Établir un système d'équations
D'après l'énoncé, nous avons la relation matricielle : 
Par la question B 3. c), nous en déduisons que 
Pour rappel, d'après la question B 3. b), la matrice 
est donnée par 
. Par conséquent :
.
Ce qui s'écrit également :
▶ 2. Établir un système d'équations
Multiplions chaque équation du système établi à la question précédente par 5 :
Or, d'après la question B 2. b), 
. Il en découle alors que :
Comme 
et 
sont les restes respectifs de 
et 
dans la division euclidienne par 26, ce que nous pouvons noter 
et 
, il s'ensuit que :
Notez bien
.
Ainsi, nous en concluons que : 
.
▶ 3. Déchiffrer un mot
Le bloc « VL » est codé par la matrice 
.
Or, d'après la question précédente, nous avons : 
et
.
Notez bien
et 
.
Ainsi, la matrice 
est 
et le bloc « VL » est déchiffré en « BI ».
Le bloc « UP » est codé par la matrice 
. Or, d'après la question précédente, nous avons : 
et 
.
Notez bien
et 
.
Ainsi, la matrice 
est 
et le bloc « UP » est déchiffré en « EN ».
Le bloc « VLUP » est, par conséquent, déchiffré en « BIEN ».