Sujet complet d’Afrique 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Afrique

 

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Afrique • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Afrique 2016

Exercice 1 (4 points) 
Encore un mélange !

Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.

On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en grammes, suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart type 10.

Affirmation 1. La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

▶ 2. Affirmation 2. L’équation x − cos = 0 admet une unique solution dans l’intervalle 05126-Eqn1.

Dans les questions 3. et 4., l’espace est rapporté à un repère orthonormal et l’on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :

05126-Eqn2, et 05126-Eqn3

▶ 3. Affirmation 3. Les droites D1 et D2 sont sécantes.

▶ 4. Affirmation 4. La droite D1 est parallèle au plan P d’équation x + 2y z − 3 = 0.

Exercice 2 (6 points)
 Partage d’un domaine

Commun à tous les candidats

matT_1606_01_00C_01

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 < a < 1.

On note :

C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ;

A1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = 0 et = a d’autre part ;

A2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations = a et = 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

On admet l’existence d’un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

Partie A Étude de quelques exemples

▶ 1. Vérifier que, dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a) f est une fonction constante strictement positive.

b) f est définie sur [0 ; 1] par f (x= x.

▶ 2. a) À l’aide d’intégrales, exprimer en unités d’aire les aires A1 et A2.

b) On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors :

F (a) = 05126-Eqn4.

La réciproque est-elle vraie ?

▶ 3. Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= ex.

Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

b) La fonction f est définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x= 05126-Eqn5.

Vérifier que la valeur = 05126-Eqn6 convient.

Partie B Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de a

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de [0 ; 1] par f (x) = 4 − 3x2.

▶ 1. Démontrer que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l’équation :

05126-Eqn7.

Dans la suite de l’exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l’intervalle [0 ; 1]. On note a cette solution.

▶ 2. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1] par g(x) = 05126-Eqn8 et la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

a) Calculer u1.

b) Démontrer que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0  un  un+1 1.

d) Prouver que la suite (un) est convergente.

À l’aide des opérations sur les limites, prouver que sa limite est a.

e) On admet que le réel a vérifie l’inégalité 0 < a u10 < 10−9.

Calculer u10 à 10−8 près.

Exercice 3 (5 points)
 Sincérité dans les sondages

Commun à tous les candidats

Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne.

Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

On admet dans cette partie que la probabilité qu’une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6.

▶ 1. L’institut de sondage interroge 700 personnes. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.

a) Quelle est la loi de la variable aléatoire ? Justifier la réponse.

b) Quelle est la meilleure valeur approchée de P(X  400) parmi les nombres suivants ?

0,92 0,93 0,94 0,95

2. Combien de personnes l’institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400 ?

Partie B Proportion de personnes favorables au projet dans la population

Dans cette partie, on suppose que n personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille n (où n est un entier naturel supérieur à 50).

Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d’aménagement.

▶ 1. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.

▶ 2. Déterminer la valeur minimale de l’entier n pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04.

Partie C Correction due à l’insincérité de certaines réponses

Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29 % affirment qu’elles sont favorables au projet.

L’institut de sondage sait par ailleurs que, la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d’entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable.

Ainsi, une personne qui se dit favorable peut :

soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère ;

soit être en réalité défavorable au projet si elle n’est pas sincère.

Par expérience, l’institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l’opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l’aide d’un modèle probabiliste.

On prélève au hasard la fiche d’une personne ayant répondu, et on définit :

F l’événement « la personne est en réalité favorable au projet » ;

05126-Eqn9 l’événement « la personne est en réalité défavorable au projet » ;

A l’événement « la personne affirme qu’elle est favorable au projet » ;

05126-Eqn10 l’événement « la personne affirme qu’elle est défavorable au projet ». Ainsi, d’après les données, on a P(A) = 0,29.

▶ 1. En interprétant les données de l’énoncé, indiquer les valeurs de PF(A) et 05126-Eqn11.

▶ 2. On pose = P(F).

matT_1606_01_00C_02

a) Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-contre.

b. En déduire une égalité vérifiée par le réel x.

▶ 3. Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.

Exercice 4 (5 points)
 Étude de la coquille d’un nautile

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

matT_1606_01_00C_03

On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct 05126-Eqn12.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes 05126-Eqn13 et on note Mk le point d’affixe zk.

Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0  k  n.

Par exemple, pour les entiers = 6, = 10 et = 20, on obtient les figures ci-dessous :

matT_1606_01_00C_04

Partie A Ligne brisée formée à partir de sept points

Dans cette partie, on suppose que = 6.

Ainsi, pour 0  k  6, on a 05126-Eqn14.

▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.

▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l’on déterminera.

▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 05126-Eqn15.

Partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

▶ 1. Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OMk.

▶ 2. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, déterminer une mesure des angles 05126-Eqn16 et 05126-Eqn17.

En déduire une mesure de l’angle 05126-Eqn18.

▶ 3. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à 05126-Eqn19.

▶ 4. On admet que l’aire du triangle OMk Mk+1 est égale à 05126-Eqn20 et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à A= a0a1 + … + an−1.

L’algorithme suivant permet de calculer l’aire An lorsqu’on entre l’entier :

Variables

A est un nombre réel

k est un entier

n est un entier

Traitement

Lire la valeur de n

A prend la valeur 0

Pour k allant de 0 à n −1

   

A prend la valeur 05126-Eqn21

 

Fin Pour

Sortie

Afficher A

On entre dans l’algorithme = 10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

   

▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que 05126-Eqn22.

Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l’algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An  7,2. On ne demande pas de déterminer n.

L1

Variables

A est un nombre réel

L2

 

k est un entier

L3

 

n est un entier

L4

Traitement

n prend la valeur 2

L5

 

A prend la valeur 0

L6

 

Tant que ………

L7

   

n prend la valeur n + 1

L8

   

A prend la valeur 0

L9

   

Pour k allant de 0 à n – 1

L10

       

A prend la valeur 05126-Eqn23

L11

   

Fin Pour

L12

 

Fin Tant que

L13

Sortie

Afficher …………

Exercice 4 (5 points)
 Cryptons avec M. Hill

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d’étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d’une matrice A, connue uniquement de l’émetteur et du destinataire.

Dans tout l’exercice, on note A la matrice définie par 05126-Eqn24.

Partie A Chiffrement de Hill

Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres.

Étape 1. On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.

Étape 2. On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x1 et x2, tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Étape 3. On transforme la matrice 05126-Eqn25 en la matrice 05126-Eqn26 vérifiant Y = AX.

Étape 4. On transforme la matrice 05126-Eqn27 en la matrice 05126-Eqn28, où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 celui de la division euclidienne de y2 par 26.

Étape 5. On associe aux entiers r1 et r2 les deux lettres correspondantes du tableau de l’étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.

Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot « HILL ».

Partie B Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

▶ 1. Soit a un entier relatif premier avec 26.

Démontrer qu’il existe un entier relatif u tel que u × a ≡ 1 modulo 26.

▶ 2. On considère l’algorithme suivant :

Variables

a, u et r sont des nombres (a est naturel et premier avec 26)

Traitement

Lire a

 

u prend la valeur 0 et r prend la valeur 0

Tant que r ≠ 1

   

u prend la valeur u + 1

r prend la valeur du reste de la division euclidienne de u × a par 26

 

Fin du Tant que

Sortie

Afficher u

On entre la valeur = 21 dans cet algorithme.

a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.

u

0

1

2

r

0

21

b) En déduire que 5 × 21 ≡ 1 modulo 26.

▶ 3. On rappelle que A est la matrice 05126-Eqn29 et on note I la matrice 05126-Eqn30.

a) Calculer la matrice 12A A2.

b) En déduire la matrice B telle que B A = 21I.

c) Démontrer que si AX = Y, alors 21= BY.

Partie C Déchiffrement

On veut déchiffrer le mot VLUP.

On note 05126-Eqn31 la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et 05126-Eqn32 la matrice définie par l’égalité 05126-Eqn33.

Si r1 et r2 sont les restes respectifs de y1 et y2 dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice 05126-Eqn34.

▶ 1. Démontrer que 05126-Eqn35.

▶ 2. En utilisant la question B 2., établir que :

05126-Eqn36

▶ 3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices 05126-Eqn37 et 05126-Eqn38.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Fonction cosinus • Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi normale  E40a • E40e • C3 1.

Fonction cosinus  E10a • E10b • E10e 2.

Continuité  E7b • E7c 2.

Dérivée  E6c • E6e • E6f 2.

Droites et plans  E24a • E24b • E30 • E33c 3. et 4.

Produit scalaire  E31c • E32a 4.

Nos coups de pouce

 2. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. N’oubliez pas au préalable de vérifier les conditions justifiant son utilisation.

 4. Précisez les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite D05126-Eqn39 et celles d’un vecteur normal au plan P. Calculez leur produit scalaire et concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Fonctions et généralités • Suites • Dérivation • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites  E1 • E2a • E2b • E2c • E2e Partie  B, 2. c) et 2. d)

Dérivation  E6c • E6e • E6f Partie B, 2. b)

Continuité  E7a • E7b Partie A

Fonction exponentielle  E8a • E8d Partie A, 3. a)

Fonction logarithme  E9a • E9b Partie A, 3. a)

Intégration  E11a • E11b • E11c • E11d • E13 • E14 Partie A ; ­Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Interprétez graphiquement la condition (E). En particulier, identifiez les deux domaines étudiés, calculez leurs aires et écrivez l’égalité induite avant de conclure.

▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction étudiée sur l’intervalle [0 ; 1]. Utilisez ensuite l’équivalence établie à la question A 2. b). Concluez enfin en déterminant l’unique valeur du réel 05126-Eqn40 vérifiant la condition (E).

Partie B

▶ 2. d) Pensez au théorème de la convergence monotone.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes.

Les thèmes clés

Loi binomiale • Intervalle de confiance • Arbre pondéré.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi binomiale  E39 • C2 Partie A

Intervalle de confiance  E44 Partie B

Arbre pondéré  E37 Partie C, 2. a) et 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 2. Justifiez que la contrainte imposée s’écrit 05126-Eqn4105126-Eqn42 est une variable aléatoire à définir au préalable (05126-Eqn43 désignant un entier naturel non nul). Concluez à l’aide d’une calculatrice par tabulation des valeurs de 05126-Eqn4405126-Eqn45 étant la variable.

Partie B

▶ 2. Traduisez la condition imposée sur l’amplitude de l’intervalle de confiance à l’aide d’une inéquation dont l’inconnue est 05126-Eqn46

Partie C

▶ 2. b) Exprimez la probabilité de l’événement A en fonction du réel 05126-Eqn47 en utilisant l’arbre pondéré. N’oubliez pas une donnée de l’énoncé pour conclure.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans le plan • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Forme algébrique  E16 Partie A, 1., 2. et 3.

Module  E18 Partie A, 3. ; Partie B, 1.

Argument  E19a • E19c • E19d Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 2. et 3.

Forme exponentielle  E21a • E21b Partie A, 1. et 2. ; Partie B, 1.

Applications en géométrie  E22 Partie A, 3. ; Partie B, 1., 2. et 3.

Nombres complexes et calculatrice  C4 Partie A

Suites et algorithme type  A4 Partie B, 5.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 3. Appelez 05126-Eqn48 le pied de la hauteur issue de 05126-Eqn49 dans le triangle 05126-Eqn50. Établissez le lien entre la distance 05126-Eqn51 et la partie imaginaire de 05126-Eqn52 Concluez.

Partie B

▶ 1. Calculez le module du nombre complexe 05126-Eqn53

▶ 2. Pensez à utiliser la relation de Chasles.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 65 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calcul matriciel  C5 Partie A ; Partie B, 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

Partie B

▶ 1. Pensez à utiliser le théorème de Bézout.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

▶ 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale

Notons 05126-Eqn54 la variable aléatoire qui, à une baguette choisie au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Alors, la probabilité demandée s’écrit à l’aide de la variable 05126-Eqn55 de la manière suivante : 05126-Eqn56 Comme 05126-Eqn57suit la loi normale d’espérance 200 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d’équation 05126-Eqn58 nous avons :

05126-Eqn59

Notez bien

Calcul de 05126-Eqn60 avec 05126-Eqn61 05126-Eqn62

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :

NormalFrép05126-Eqn63

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :

NormCD05126-Eqn64

Or, à l’aide de la calculatrice :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_01_00C_05

matT_1606_01_00C_06

Ainsi, 05126-Eqn65L’affirmation 1 est vraie.

▶ 2. Justifier l’unicité d’une solution

Notons 05126-Eqn66 l’intervalle 05126-Eqn67 et 05126-Eqn68 la fonction définie sur 05126-Eqn69 par 05126-Eqn70

La fonction 05126-Eqn71 étant dérivable sur 05126-Eqn72 comme différence de deux fonctions dérivables, sa dérivée 05126-Eqn73 est définie sur 05126-Eqn74 et elle est donnée par 05126-Eqn75 Comme la fonction sinus est positive sur 05126-Eqn76 nous avons : 05126-Eqn77

La fonction 05126-Eqn78 étant strictement positive sur 05126-Eqn79 la fonction 05126-Eqn80 est strictement croissante sur 05126-Eqn81

Par le point précédent, la fonction 05126-Eqn82 est dérivable sur 05126-Eqn83 La fonction 05126-Eqn84 est ainsi continue sur cet intervalle.

Nous avons 05126-Eqn85 et 05126-Eqn86

Par suite, 0 est bien compris entre 05126-Eqn87 et 05126-Eqn88

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 05126-Eqn89 admet une unique solution dans 05126-Eqn90

L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la position relative de deux droites dans l’espace

Un point 05126-Eqn91 appartient aux droites D05126-Eqn92 et D05126-Eqn93 si et seulement si il existe un réel 05126-Eqn94 et un réel 05126-Eqn95 tels que 05126-Eqn96 et 05126-Eqn97 Ce qui implique 05126-Eqn98

Or, par équivalence :

05126-Eqn99

Cela conduit à la contradiction suivante : 05126-Eqn106 Par conséquent, il n’existe pas de point M de l’espace appartenant aux deux droites. Ces droites ne sont ainsi pas sécantes.

L’affirmation 3 est fausse.

▶ 4. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le plan P a pour équation cartésienne 05126-Eqn107 Un vecteur normal à ce plan est, par suite, le vecteur 05126-Eqn108 de coordonnées 05126-Eqn109.

La droite D05126-Eqn110 admet pour représentation paramétrique :

05126-Eqn111, qui s’écrit également 05126-Eqn112.

Un vecteur directeur de cette droite est, par suite, le vecteur 05126-Eqn113 de coordonnées 05126-Eqn114.

Comme 05126-Eqn115, les vecteurs 05126-Eqn116 et 05126-Eqn117 sont orthogonaux. La droite D05126-Eqn118 est donc parallèle au plan P.

L’affirmation 4 est vraie.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie A

▶ 1. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction 05126-Eqn119 est constante et strictement positive sur [0 ; 1]. Notons 05126-Eqn120 cette constante strictement positive.

Notez bien

05126-Eqn121.

05126-Eqn122 est l’aire d’un rectangle de dimensions 05126-Eqn123 et 05126-Eqn124

05126-Eqn125 est donc égale à 05126-Eqn126

De même, 05126-Eqn127 est l’aire d’un rectangle de dimensions 05126-Eqn128 et 05126-Eqn129

05126-Eqn130 est donc égale à 05126-Eqn131

matT_1606_01_00C_07

La condition (E) se traduit, par conséquent, par 05126-Eqn132 Or,

05126-Eqn133

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 0,5.

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Intéressons-nous au cas où la fonction 05126-Eqn134 est définie sur [0 ; 1] par 05126-Eqn135

Notez bien

05126-Eqn136 et05126-Eqn137.

05126-Eqn138 est l’aire d’un triangle de base 05126-Eqn139 et de hauteur 05126-Eqn14005126-Eqn141 est donc égale à 05126-Eqn14205126-Eqn143 est l’aire d’un trapèze de grande base 05126-Eqn144 de petite base 05126-Eqn145 et de hauteur 05126-Eqn146

05126-Eqn147 est donc égale à 05126-Eqn148

matT_1606_01_00C_08

La condition (E) se traduit, par conséquent, par 05126-Eqn149 Or,

05126-Eqn150.

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 05126-Eqn151

▶ 2. a) Exprimer une aire à l’aide d’une intégrale

D’après l’énoncé, la fonction 05126-Eqn152 est continue et positive sur l’intervalle [0 ; 1]. Comme le réel 05126-Eqn153 vérifie 05126-Eqn154 il en est de même sur les intervalles 05126-Eqn155 et 05126-Eqn156.

Ainsi, l’aire 05126-Eqn157 correspond (en unités d’aire) à l’intégrale 05126-Eqn158 tandis que l’aire 05126-Eqn159 correspond (en unités d’aire) à l’intégrale 05126-Eqn160.

b) Démontrer une équivalence

D’après l’énoncé, 05126-Eqn161 est une primitive de 05126-Eqn162 sur l’intervalle [0 ; 1] donc également sur les intervalles 05126-Eqn163 et 05126-Eqn164. Or, d’après la question précédente, l’aire 05126-Eqn165 est égale à 05126-Eqn166 u.a. et l’aire 05126-Eqn167 est égale à 05126-Eqn168 u.a.

Ainsi, 05126-Eqn169 et 05126-Eqn170

Soit 05126-Eqn171 un réel compris entre 0 et 1. Si ce réel satisfait la condition (E), alors :

05126-Eqn172

Un tel réel 05126-Eqn173 vérifie donc l’égalité 05126-Eqn174

Comme dans le point précédent, toutes les implications 05126-Eqn175 peuvent être remplacées par des équivalences 05126-Eqn176la réciproque est vraie, à savoir « si le réel 05126-Eqn177 est tel que 05126-Eqn178 alors le réel 05126-Eqn179 vérifie la condition (E). »

▶ 3. a) Déterminer une valeur sous contrainte

Une primitive de la fonction 05126-Eqn182 sur ℝ donc sur l’intervalle [0 ; 1] est 05126-Eqn183.

Notez bien

Pour tous réels 05126-Eqn184 et 05126-Eqn185 pour tout entier relatif 05126-Eqn186

05126-Eqn187 ; 05126-Eqn188 ; 05126-Eqn189.

05126-Eqn180 et 05126-Eqn181.

D’après la question précédente, un réel 05126-Eqn190 de 05126-Eqn191 satisfait la condition (E) si et seulement si 05126-Eqn192 qui s’écrit alors ici 05126-Eqn193.

Mais, 05126-Eqn194 est équivalent à 05126-Eqn195 ou encore 05126-Eqn196.

La condition (E) est remplie pour un unique réel 05126-Eqn197 égal à 05126-Eqn198.

b) Déterminer une valeur sous contrainte

Déterminons une primitive de la fonction 05126-Eqn199 sur l’intervalle [0 ; 1].

Notez bien

Pour toute fonction 05126-Eqn200 dérivable sur un intervalle 05126-Eqn20105126-Eqn202 ne s’annulant pas sur 05126-Eqn203 une primitive de 05126-Eqn204 est 05126-Eqn205

Pour ce faire, notons 05126-Eqn206 la fonction affine définie sur [0 ; 1] par 05126-Eqn207 Cette fonction est clairement dérivable sur [0 ; 1] et sa dérivée 05126-Eqn208 est définie sur cet intervalle par 05126-Eqn209.

Précisons que la fonction 05126-Eqn210 est strictement positive sur cet intervalle et ainsi ne s’y annule pas. Alors, comme nous avons pour tout réel 05126-Eqn211 de [0 ; 1], 05126-Eqn212 une primitive de la fonction 05126-Eqn213 sur l’intervalle [0 ; 1] est 05126-Eqn214.

D’après la question précédente, un réel 05126-Eqn215 de ]0 ; 1[ satisfait la condition (E) si et seulement si 05126-Eqn216 qui s’écrit alors ici 05126-Eqn217.

05126-Eqn218

La condition (E) est remplie pour un unique réel a égal à 05126-Eqn219.

partie B

▶ 1. Démontrer une implication

Soit 05126-Eqn220 un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E).

Une primitive de la fonction polynôme de degré deux 05126-Eqn221 sur l’intervalle [0 ; 1] est 05126-Eqn222. Il en découle d’après l’équivalence justifiée à la question A 2. b), que le réel 05126-Eqn223 est tel que 05126-Eqn224

Ce qui donne, après simplification, 05126-Eqn225 Or, nous avons :

05126-Eqn226

Nous en concluons que si a est un réel de ]0 ; 1[ satisfaisant la condition (E) alors a est solution de l’équation 05126-Eqn227.

▶ 2. a) Calculer un terme d’une suite

Nous avons 05126-Eqn228

La valeur de 05126-Eqn229 est 0,375.

b) Justifier les variations d’une fonction

La fonction 05126-Eqn230 est une fonction polynôme de degré trois. Elle est alors dérivable sur ℝ donc sur l’intervalle [0 ; 1] et sa dérivée est donnée par 05126-Eqn231. Comme, pour tout réel 05126-Eqn232 de [0 ; 1], 05126-Eqn233, alors la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

c) Démontrer des inégalités par récurrence

Soit la propriété 05126-Eqn234

Initialisation : 05126-Eqn235 (énoncé) et 05126-Eqn236 (question B 1.). Nous avons alors : 05126-Eqn237 La propriété est initialisée.

Hérédité : nous supposons que la propriété 05126-Eqn238 est vraie pour un entier naturel 05126-Eqn239 (hypothèse de récurrence). Démontrons que la propriété 05126-Eqn240 est vérifiée.

Par hypothèse de récurrence, nous avons 05126-Eqn241. Comme la fonction 05126-Eqn242 est croissante sur [0 ; 1], 05126-Eqn243.

Par définition de la suite 05126-Eqn244 il en découle que : 05126-Eqn245.

Or, 05126-Eqn246 et 05126-Eqn247. Il s’ensuit que 05126-Eqn248. La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété 05126-Eqn249 est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel 05126-Eqn250, 05126-Eqn251.

d) Démontrer la convergence d’une suite

D’après la question précédente, la suite 05126-Eqn252 est croissante et majorée par 1. Par le théorème de la convergence monotone, cette suite est convergente.

Notons 05126-Eqn253 la limite de la suite 05126-Eqn254 Par définition de la suite 05126-Eqn255 nous avons pour tout entier naturel 05126-Eqn25605126-Eqn257.

Or, nous avons 05126-Eqn258 et 05126-Eqn259. Par produit et somme (opérations sur les limites), nous en déduisons que 05126-Eqn260.

De plus, par les inégalités justifiées à la question précédente, nous avons également pour tout entier naturel 05126-Eqn26105126-Eqn262, donc 05126-Eqn263.

Or, il a été admis que l’équation 05126-Eqn264 a une unique solution dans [0 ; 1] notée 05126-Eqn265.

Nous en concluons que la limite l de la suite 05126-Eqn266 est 05126-Eqn267.

e) Calculer un terme d’une suite

À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons :

n

05126-Eqn269

0

05126-Eqn270

1

05126-Eqn271

2

05126-Eqn272

3

05126-Eqn273

4

05126-Eqn274

5

05126-Eqn275

6

05126-Eqn276

7

05126-Eqn277

8

05126-Eqn278

9

05126-Eqn279

10

05126-Eqn280

Une valeur approchée de 05126-Eqn281 à 05126-Eqn282 près est 05126-Eqn283

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie A Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

▶ 1. a) Justifier la loi suivie par une variable aléatoire

Pour chaque personne interrogée au hasard dans cette population, deux issues sont possibles : la personne interrogée accepte de répondre à la question (événement noté S) et la personne n’accepte pas (événement 05126-Eqn284), la probabilité de l’événement S étant admise égale à 0,6. Les 700 personnes constituant un échantillon aléatoire de cette population d’après l’énoncé, leurs choix sont implicitement indépendants les uns des autres (« tirage avec remise ») et identiques. X suit donc la loi binomiale de paramètres 05126-Eqn285 et 05126-Eqn286.

b) Déterminer une probabilité avec une loi binomiale

L’événement contraire de 05126-Eqn287 étant l’événement05126-Eqn288 nous avons :

Notez bien

Calcul de 05126-Eqn290 avec 05126-Eqn291B05126-Eqn292

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :

binomFRép05126-Eqn293

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :

BinominalCD05126-Eqn294

05126-Eqn289.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO Graph 75

matT_1606_01_00C_09

matT_1606_01_00C_10

La plus proche valeur de 05126-Eqn295 parmi les nombres proposés est 0,94.

> 2. Déterminer un paramètre sous contrainte

Dans cette question, le nombre de personnes interrogées n’est pas nécessairement égal à 700 contrairement aux deux questions précédentes. Notons 05126-Eqn296 ce nombre et considérons la variable aléatoire 05126-Eqn297 qui, à 05126-Eqn298 personnes interrogées dans cette population, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à la question. Similairement à la question 1. a), nous pouvons justifier que la variable aléatoire 05126-Eqn299 suit la loi binomiale de paramètres 05126-Eqn300 et 05126-Eqn301.

La contrainte de l’énoncé, à savoir « la probabilité que le nombre de personnes répondant à la question soit supérieur ou égal à 400, est supérieure à 0,9 », se traduit alors, à l’aide de la variable aléatoire 05126-Eqn302 par 05126-Eqn303. Grâce à la question précédente, nous savons que la valeur minimale de l’entier naturel 05126-Eqn304 vérifiant une telle contrainte n’excédera pas 700, soit 05126-Eqn305

Comme l’événement contraire de 05126-Eqn306 est l’événement05126-Eqn307 nous avons la relation 05126-Eqn308 Puis, à l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO Graph 75

Touche f(x)

Y1=1−binomFRép(X,0.6,399)

Menu Table

Y1=1−BinominalCD(399,X,0.6)

matT_1606_01_00C_11amatT_1606_01_00C_11b

matT_1606_01_00C_12amatT_1606_01_00C_12bmatT_1606_01_00C_12c

Pour répondre à la contrainte, l’institut doit alors interroger au minimum 694 personnes.

partie B Proportion de personnes favorables au projet dans la population

▶ 1. Donner un intervalle de confiance

Parmi les 05126-Eqn309 personnes qui ont répondu à la question, 29 % sont favorables au projet d’aménagement. Comme 05126-Eqn310 est un entier naturel supérieur à 50, nous avons 05126-Eqn311 ; 05126-Eqn312 et 05126-Eqn313. Les conditions étant vérifiées, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 05126-Eqn314 est bien défini et donné par :

05126-Eqn315

▶ 2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte

L’amplitude de l’intervalle de confiance précédemment défini est égale à :

05126-Eqn316.

La contrainte « l’intervalle de confiance a une amplitude inférieure ou égale à 0,04 » se traduit alors par l’inéquation suivante : 05126-Eqn317. Or, par équivalence, nous avons :

05126-Eqn318

La valeur minimale de l’entier n pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04 est 2 500.

partie C Correction due à l’insincérité de certaines réponses

▶ 1. Indiquer des probabilités conditionnelles

La probabilité 05126-Eqn319 est une probabilité conditionnelle : probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement F est réalisé. Dans notre contexte, c’est la probabilité qu’une personne ayant répondu au sondage dont la fiche a été prélevée au hasard affirme qu’elle est favorable au projet sachant qu’elle y est réellement favorable. La réponse de cette personne serait ainsi sincère. Par conséquent, 05126-Eqn320.

La probabilité 05126-Eqn321 est également une probabilité conditionnelle. C’est la probabilité qu’une personne ayant répondu au sondage dont la fiche a été prélevée au hasard affirme qu’elle est favorable au projet sachant qu’en réalité, elle y est défavorable. La réponse de cette personne serait ainsi non sincère. Par suite, 05126-Eqn322.

▶ 2. a) Compléter un arbre pondéré

Notez bien

La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Au nœud F, d’après la question précédente, 05126-Eqn323. Par suite :

05126-Eqn324.

De même, au nœud 05126-Eqn325, d’après la question précédente, 05126-Eqn326. Par suite :

05126-Eqn327.

L’arbre de probabilité dûment complété est donc :

matT_1606_01_00C_13

b) Établir une égalité

D’une part, l’événement A étant associé aux deux feuilles 05126-Eqn328 et 05126-Eqn329, nous avons d’après la formule des probabilités totales :

05126-Eqn330

D’autre part, d’après l’énoncé, nous avons 05126-Eqn331.

Ainsi, le réel x vérifie l’égalité suivante : 05126-Eqn332.

▶ 3. Résoudre une équation

D’après la question précédente, nous avons 05126-Eqn333.

Or, par équivalence :

05126-Eqn334.

Parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet serait de 20 %.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

partie A Ligne brisée formée à partir de sept points

▶ 1. Déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe

D’après l’énoncé, en remplaçant 05126-Eqn335 par 1, nous avons : 05126-Eqn336.

Par notation (forme exponentielle), il s’ensuit que : 05126-Eqn337.

Enfin, en utilisant le tableau des valeurs usuelles, nous avons :

05126-Eqn338.

La forme algébrique du nombre complexe 05126-Eqn339 est 05126-Eqn340.

▶ 2. Vérifier la nature d’un nombre

Similairement à la question précédente, nous avons :

05126-Eqn341 ;

05126-Eqn342

Les nombres complexes 05126-Eqn343 et 05126-Eqn344 sont des entiers.

▶ 3. Calculer l’aire d’un triangle

Dans le triangle 05126-Eqn345 appelons 05126-Eqn346 le pied de la hauteur issue du sommet 05126-Eqn347.

matT_1606_01_00C_14

Notez bien

05126-Eqn348.

L’aire de ce triangle est par conséquent égale à 05126-Eqn349.

La longueur de la « hauteur » issue de 05126-Eqn350 correspond à la distance 05126-Eqn351 qui n’est rien d’autre que la partie imaginaire du nombre complexe 05126-Eqn352 Par suite, d’après la première question de cette partie, 05126-Eqn353.

La distance 05126-Eqn354 est le module du nombre complexe 05126-Eqn355 Ainsi, d’après la deuxième question de cette partie, 05126-Eqn356.

Donc l’aire du triangle 05126-Eqn357 est 05126-Eqn358.

partie B Ligne brisée formée à partir de n + 1 points

▶ 1. Calculer le module d’un nombre complexe

Soit 05126-Eqn360 un entier tel que 05126-Eqn361 La distance 05126-Eqn362 est égale au module du nombre complexe 05126-Eqn363 Il en découle que :

Notez bien

Pour tout réel 05126-Eqn364, 05126-Eqn365. Pour tout réel 05126-Eqn366, 05126-Eqn367.

05126-Eqn368

La longueur 05126-Eqn369 est égale à 05126-Eqn370.

▶ 2. Déterminer une mesure d’un angle orienté

Soit 05126-Eqn371 un entier tel que 05126-Eqn372

Une mesure de l’angle orienté 05126-Eqn373 est un argument du nombre complexe non nul 05126-Eqn374 Comme 05126-Eqn375, nous avons :

05126-Eqn37605126-Eqn377.

De même, 05126-Eqn37805126-Eqn379.

Par la relation de Chasles, nous avons :

05126-Eqn380

Une mesure de l’angle 05126-Eqn381 est 05126-Eqn382.

▶ 3. Déterminer une longueur

Soit 05126-Eqn383 un entier tel que 05126-Eqn384

Dans le triangle 05126-Eqn385, appelons 05126-Eqn386 le pied de la hauteur issue du sommet 05126-Eqn387.

matT_1606_01_00C_15

Dans le triangle rectangle 05126-Eqn388, nous avons : 05126-Eqn389.

Or, les points O, 05126-Eqn390 et 05126-Eqn391 étant alignés, nous avons : 05126-Eqn392.

Mais, d’après la deuxième question de cette partie, une mesure de 05126-Eqn393 est 05126-Eqn394. De plus, d’après la première question de cette partie, la longueur 05126-Eqn395 est égale à 05126-Eqn396.

Il s’ensuit que 05126-Eqn397 et donc la longueur de la « hauteur » issue de 05126-Eqn398 dans le triangle 05126-Eqn399, à savoir la distance05126-Eqn400, est 05126-Eqn401.

Remarque. Le cas 05126-Eqn402 est implicitement exclu de cette étude. Dans ce cas, la coquille d’un nautile est modélisée par la ligne brisée reliant les points 05126-Eqn403, 05126-Eqn404 et 05126-Eqn405 d’affixes respectives 05126-Eqn40605126-Eqn407 et 05126-Eqn408 Ces points sont alignés sur l’axe des réels et les triangles à considérer sont ainsi aplatis. L’aire totale délimitée par cette ligne brisée est ainsi égale à zéro, ce qui est admis à la question 5.

▶ 4. Dérouler un algorithme

La valeur 10 a été saisie pour la variable 05126-Eqn409 au début de la phase de traitement. La variable 05126-Eqn410 prend alors toutes les valeurs entières comprises entre 05126-Eqn411 et 05126-Eqn412 Pour chacune de ces valeurs, la valeur de la variable 05126-Eqn413 est mise à jour. En particulier, il est ajouté à sa valeur précédente le réel 05126-Eqn414

Notez bien

N’oubliez pas de mettre votre calculatrice en mode « radians ».

Pour 05126-Eqn415 D’après le tableau donné dans l’énoncé, 05126-Eqn416 a pris la valeur 05126-Eqn417 à l’étape précédente. Par suite, 05126-Eqn418 prend la valeur :05126-Eqn419

Pour 05126-Eqn42005126-Eqn421 a pris la valeur 05126-Eqn422 à l’étape précédente (valeur approchée au millième). Par suite, 05126-Eqn423 prend la valeur :

05126-Eqn424

Le tableau ainsi complété est le suivant :

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

0,323

0,711

1,170

1,705

2,322

3,027

3,826

4,726

5,731

6,848

▶ 5. Compléter un algorithme

Cet algorithme permet de déterminer l’indice à partir duquel tous les termes de la suite implicitement croissante 05126-Eqn428 sont supérieurs ou égaux au réel 05126-Eqn429 Pour ce faire, il doit calculer successivement chaque terme 05126-Eqn430 de cette suite tant que la valeur obtenue est inférieure à 05126-Eqn432

La ligne 6 est par suite : « Tant que 05126-Eqn433 ». Une fois que cette condition n’est plus vraie, la dernière valeur prise par la variable 05126-Eqn434 est l’indice recherché. Dans la phase de sortie, la ligne 13 est alors : « Afficher n ».

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie A Chiffrement de Hill

À l’étape 1, le mot « HILL » est divisé en deux blocs de deux lettres consécutives. Le premier bloc est « HI », le deuxième bloc est « LL ».

Étapes 2 à 5 pour le bloc « HI ».

À l’étape 2, le bloc « HI » est associé aux deux entiers 05126-Eqn435 et 05126-Eqn436

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice 05126-Eqn437 est transformée, à l’étape 3, en la matrice 05126-Eqn438:05126-Eqn439

D’une part 05126-Eqn440 et d’autre part 05126-Eqn441.

Donc la matrice 05126-Eqn442 est transformée, à l’étape 4, en la matrice 05126-Eqn443

À cette matrice 05126-Eqn444 est associé, à l’étape 5, le bloc « ZB ».

Étapes 2 à 5 pour le bloc « LL ».

À l’étape 2, le bloc « LL » est associé aux entiers 05126-Eqn445 et 05126-Eqn446

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

La matrice 05126-Eqn447 est transformée, à l’étape 3, en la matrice 05126-Eqn448 :

05126-Eqn449

Comme 05126-Eqn450 et 05126-Eqn451, la matrice 05126-Eqn452 est transformée, à l’étape 4, en la matrice 05126-Eqn453

À cette matrice 05126-Eqn454 est associé, à l’étape 5, le bloc « ZY ».

Finalement, le bloc « HILL » est chiffré en « ZBZY ».

partie B Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

▶ 1. Établir une relation de congruence

Notez bien

Théorème de Bézout. Si 05126-Eqn455 et 05126-Eqn456 deux entiers relatifs, sont premiers entre eux, alors il existe deux entiers relatifs 05126-Eqn457 et 05126-Eqn458 tels que 05126-Eqn459

Comme l’entier relatif 05126-Eqn460 et 26 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs 05126-Eqn461 et 05126-Eqn462 tels que : 05126-Eqn463.

Ce qui s’écrit également 05126-Eqn464

Par conséquent, 05126-Eqn465

▶ 2. a) Dérouler un algorithme

La valeur 21 a été saisie pour la variable 05126-Eqn466 au début de la phase de traitement. La variable 05126-Eqn467 prend la valeur 0, la variable 05126-Eqn468 également (2e colonne du tableau). Comme 05126-Eqn469 la boule « tant que » s’exécute : 05126-Eqn470 prend la valeur 1 et, comme 05126-Eqn47105126-Eqn472 prend la valeur 21 (3e colonne du tableau). Les mises à jour des valeurs prises par les variables 05126-Eqn473 et 05126-Eqn474 sont faites « tant que 05126-Eqn475 est différent de 1 ». Ce que nous pouvons résumer dans le tableau suivant :

u

0

1

2

3

4

5

Calcul intermédiaire

 

05126-Eqn477

05126-Eqn478

05126-Eqn479

05126-Eqn480

05126-Eqn481

r

0

21

16

11

6

1

Condition du « tant que »

Vraie

05126-Eqn483

Vraie

05126-Eqn484

Vraie

05126-Eqn485

Vraie

05126-Eqn486

Vraie

05126-Eqn487

Fausse

05126-Eqn488

L’algorithme affiche la valeur 5.

b) Utiliser un algorithme

Dans la phase de sortie, l’algorithme affiche la valeur 5. Nous en déduisons que 1 est le reste de la division euclidienne de 05126-Eqn489 par 05126-Eqn49005126-Eqn491 est alors congru à 1 modulo 26 ce qui se note 05126-Eqn492.

▶ 3. a) Calculer une matrice

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons :

05126-Eqn493

▶ b) Identifier une matrice

Notez bien

Pour toute matrice carrée 05126-Eqn494 d’ordre 2, 05126-Eqn495

Par la question précédente, nous avons :

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

05126-Eqn496

En posant 05126-Eqn497 nous avons : 05126-Eqn498

c) Démontrer une implication

Supposons vraie la relation matricielle 05126-Eqn499 Alors, en multipliant à gauche par la matrice 05126-Eqn500 on obtient 05126-Eqn501 Par associativité, 05126-Eqn502 Or, d’après la question précédente, 05126-Eqn503 Ainsi, 05126-Eqn504 ou encore 05126-Eqn505 La matrice 05126-Eqn506 étant la matrice identité d’ordre 2, 05126-Eqn507

Nous en concluons que si 05126-Eqn508, alors 05126-Eqn509.

partie C Déchiffrement

▶ 1. Établir un système d’équations

D’après l’énoncé, nous avons la relation matricielle : 05126-Eqn510

Par la question B 3. c), nous en déduisons que 05126-Eqn511 Pour rappel, d’après la question B 3. b), la matrice 05126-Eqn512 est donnée par 05126-Eqn513. Par conséquent :

05126-Eqn514.

Ce qui s’écrit également :

05126-Eqn515

▶ 2. Établir un système d’équations

Multiplions chaque équation du système établi à la question précédente par 5 :

05126-Eqn516

Or, d’après la question B 2. b), 05126-Eqn517. Il en découle alors que :

05126-Eqn518

Comme 05126-Eqn519 et 05126-Eqn520 sont les restes respectifs de 05126-Eqn521 et 05126-Eqn522 dans la division euclidienne par 26, ce que nous pouvons noter 05126-Eqn523 et 05126-Eqn524, il s’ensuit que :

05126-Eqn525

Notez bien

05126-Eqn526 ; 05126-Eqn527 ; 05126-Eqn528.

Ainsi, nous en concluons que : 05126-Eqn529.

▶ 3. Déchiffrer un mot

Le bloc « VL » est codé par la matrice 05126-Eqn530.

Or, d’après la question précédente, nous avons : 05126-Eqn531 et05126-Eqn532.

Notez bien

05126-Eqn533 et 05126-Eqn534.

Ainsi, la matrice 05126-Eqn535 est 05126-Eqn536 et le bloc « VL » est déchiffré en « BI ».

Le bloc « UP » est codé par la matrice 05126-Eqn537. Or, d’après la question précédente, nous avons : 05126-Eqn538 et 05126-Eqn539.

Notez bien

05126-Eqn540 et 05126-Eqn541.

Ainsi, la matrice 05126-Eqn542 est 05126-Eqn543 et le bloc « UP » est déchiffré en « EN ».

Le bloc « VLUP » est, par conséquent, déchiffré en « BIEN ».