Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Sujet complet d'Amérique du Nord 2013

Amérique du Nord 2013

Corrigé

Sujets complets

matT_1305_02_00C

Amérique du Nord • Mai 2013

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification.

Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

>1. Pour tout réel non nul, le nombre réel est égal à :

>2. Pour tout réel , le nombre réel est égal à :

>3. Pour tout réel , le nombre réel est égal à :

>4. On donne la fonction définie sur l'intervalle par .

La dérivée de est définie sur par :

Exercice 2 (5 points)
Prêts immobiliers : âge des demandeurs et prêts acceptés

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10^–3 près.

>1. Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12.

a) Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans. (1 point)

b) Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. (1 point)

>2. Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.

Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.

a) Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque. (1 point)

b) Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.

Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %. (1 point)

c) Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Ouvrages disponibles dans une bibliothèque

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.

Pour l'ouverture prévue le 1^er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6 000 ouvrages neufs.

On appelle le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^erjanvier de l'année (2013 + n).

On donne .

>1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a (1 point)

>2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

Variables	U, N
Initialisation	Mettre 42 dans U Mettre 0 dans N
Traitement	Tant que U U prend la valeur N prend la valeur N + 1 Fin du Tant que
Sortie	Afficher N

>3. À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. (0,5 point)

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.

On appelle le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année (2013 + n).

>1. Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme précédent pour prendre en compte ce changement. (0,5 point)

>2. On admet que , avec .

On considère la suite définie, pour tout entier n, par

Montrer que est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme . (1 point)

>3. On admet que, pour tout entier naturel n,

a) Déterminer la limite de . (0,5 point)

b) En déduire la limite de . (0,5 point)

c) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.

si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n ≥ 1, on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour.

On a donc : .

Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc .

>1.a) Traduire les données par un graphe probabiliste. (0,5 point)

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. (0,5 point)

>2. Démontrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a . (0,75 point)

>3. On considère la suite définie, pour tout entier , par :

a) Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer , puis , en fonction de n. (0,5 point)

>4.a) Déterminer en justifiant la limite de . (0,75 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Exercice 4 (6 points)
Fonction comportant une exponentielle, représentation graphique et primitives

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur dont la courbe représentative C_f est tracée ci-après dans un repère orthonormé :

Annexe 1

partie a

On suppose que f est de la forme où a et b désignent deux constantes.

On sait que :

Les points A(0 2) et D(2 0) appartiennent à la courbe .

La tangente à la courbe au point A est parallèle à l'axe des abscisses.

On note la fonction dérivée de , définie sur .

>1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et . (0,5 point)

>2. Calculer (0,5 point)

>3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : (0,75 point)

>4. Calculer a et b et donner l'expression de . (1 point)

partie b

On admet que .

>1. À l'aide de la figure précédente, justifier que la valeur de l'intégrale est comprise entre 2 et 4. (0,75 point)

>2.a) On considère F la fonction définie sur par :

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte de et en donner une valeur approchée à près. (1 point)

>3. On considère G une autre primitive de f sur .

Parmi les trois courbes C₁, C₂ et C₃ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. (1 point)

Annexe 2

Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Fonctions exponentielles • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

>4. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Loi à densité • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

>2.a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

où est la proportion supposée dans la population (ici ).

>2.b) Deux décisions peuvent être prises, suivant que la fréquence observée sur l'échantillon appartient ou n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

Partie B

>3.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles • Graphes probabilistes • Matrice associée à un graphe • Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

>1.a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d'un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>1.b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe la somme des coefficients d'une colonne est égale à 1.

>1.c) La probabilité que Léa se connecte le 3^e jour est .

>4.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Dérivées usuelles • Fonctions exponentielles • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse 0.

Partie B

>1. La fonction est positive sur [0 2], donc est l'aire du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d'équations et (domaine hachuré sur la figure).

>2.b) Utilisez la primitive de obtenue à la question précédente.

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

Pour tout réel , , donc (avec ) si est un réel non nul.

La bonne réponse est b).

>2. Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

est un réel strictement positif et .

La bonne réponse est a).

>3. Utiliser les propriétés de la fonction logarithme népérien

Notez bien

Si , alors . On applique la propriété avec .

Pour tout réel , , donc, si :

La bonne réponse est b).

>4. Calculer la dérivée d'une fonction

La fonction est le produit de deux fonctions dérivables sur .

On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions dérivables pour tout réel appartenant à :

La bonne réponse est d).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

>1.a) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Puisque X suit une loi normale, c'est-à-dire une loi continue, les probabilités et sont nulles, donc :

suit la loi . La probabilité que le client qui demande un prêt ait un âge compris entre 30 et 35 ans est

D'après la calculatrice :

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt avant 55 ans est .

Or suit une loi normale de moyenne 40,5, donc :

D'où :

D'après la calculatrice, , donc :

>2.a) Donner un intervalle de fluctuation asymptotique

Ici et (puisque la banque affirme que 75 % des demandes de prêts sont acceptées).

np=750 et n(1 – p)=250, donc les conditions de validité d'un intervalle de fluctuation aymptotique sont vérifiées.

Au seuil de 95 %, l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de prêts acceptés par la banque est :

à près par défaut

à près par excès.

Notez bien

Lors du calcul des bornes de l'intervalle, la borne inférieure est approchée par défaut et la borne supérieure par excès.

L'intervalle approché obtenu contient l'intervalle initial on peut donc affirmer qu'au moins 95 % des échantillons de taille 1 000 donnent une fréquence appartenant à cet intervalle.

Donc l'intervalle est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.

b) Énoncer une règle de décision sur une proportion à partir d'un intervalle de fluctuation asymptotique

Attention

Le risque d'erreur de 5 % dans le cas où l'on rejette l'affirmation est le risque de rejeter à tort même si la proportion réelle est 0,75, environ 5 % des échantillons de taille 1 000 qu'il est possible de constituer donnent une fréquence n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation.

La règle de décision est la suivante :

si la fréquence obtenue dans l'échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, on valide le slogan publicitaire de la banque
si la fréquence obtenue dans l'échantillon n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, on rejette, au risque d'erreur de 5 %, l'affirmation de la banque.

c) Appliquer une règle de décision sur une proportion à partir d'un intervalle de fluctuation asymptotique

On calcule la fréquence de demandes acceptées dans l'échantillon considéré et on applique la règle de décision énoncée à la question précédente.

Puisque, sur 1 000 demandes, 600 sont acceptées, .

0,6 n'appartient pas à l'intervalle .

Donc au risque d'erreur de 5 %, on rejette l'affirmation du slogan publicitaire, on ne la valide pas. Puisque est inférieure à la borne inférieure de l'intervalle de fluctuation, on peut penser que la proportion réelle de demandes de prêt acceptées est inférieure à 0,75.

Exercice 3

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

partie a

>1. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par les termes d'une suite

Pour tout entier naturel n, le nombre d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année (2013 + n + 1) est égal à 95 % du nombre d'ouvrages disponibles un an auparavant (puisque 5 % des ouvrages sont supprimés), plus 6 000 (6 000 ouvrages neufs sont achetés chaque année), soit, en milliers :

>2. Expliquer le fonctionnement d'un algorithme

Info

La boucle « Tant que… » est une boucle avec arrêt conditionnel. On ne peut pas prévoir à l'avance le nombre d'étapes ce nombre dépend d'une condition donnée.

L'algorithme donné calcule les termes de la suite jusqu'à ce que l'un de ces termes atteigne ou dépasse 100. Il permet de déterminer le plus petit entier tel que .

Il permet donc de calculer le nombre d'années écoulées à partir de 2013 lorsque, pour la première fois, le nombre d'ouvrages disponibles atteint ou dépasse 100 000.

>3. Faire fonctionner un algorithme

Info

En programmant le calcul des termes de la suite , on obtient :

ce qui semble confirmer que est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.

En programmant et en faisant « tourner » l'algorithme à l'aide d'une calculatrice, on obtient en sortie 27.

D'après ce qui précède, cela signifie que est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 100.

Concrètement, cela signifie que le nombre d'ouvrages disponibles à la médiathèque atteindra ou dépassera 100 000 en 2013 + 27, c'est-à-dire en 2040.

partie b

>1. Adapter un algorithme

Si seulement 4 000 ouvrages, au lieu de 6 000, sont achetés chaque année, alors, pour prendre en compte ce changement, dans la boucle « Tant que… » de l'algorithme, la ligne

U prend la valeur

est remplacée par :

>2. Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel :

Donc la suite est une suite géométrique de raison .

Son premier terme est

>3.a) Déterminer la limite d'une suite géométrique

est une suite géométrique de raison 0,95, et , donc la suite est convergente et :

b) Déterminer la limite d'une suite

Pour tout entier naturel et

Donc la suite est convergente et :

c) Donner une interprétation de la limite d'une suite

Ce résultat signifie qu'à long terme (en théorie « au bout d'un nombre infini d'années »), le nombre d'ouvrages disponibles à la médiathèque se rapprochera de 80 000.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

>1.a) Représenter des données par un graphe probabiliste

Notez bien

Les deux sommets de ce graphe correspondent aux deux situations possibles un jour donné : événement A « Léa se connecte », événement B « Léa ne se connecte pas ». A et B sont deux événements contraires.

Les données peuvent être représentées par le graphe suivant :

b) Donner la matrice de transition associée à un graphe

La matrice de transition associée au graphe est :

c) Calculer une probabilité

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel :

Or, car Léa ne s'est pas connectée le premier jour.

D'où :

Notez bien

On remarque qu'on a bien .

Puis :

La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est 0,88.

>2. Établir une relation de récurrence vérifiée par les termes d'une suite

On a vu que, pour tout entier :

Or , donc :

>3.a) Montrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier :

Notez bien

La démonstration précédente n'est pas une démonstration par récurrence.

est donc une suite géométrique de raison .

Son premier terme est .

b) Donner l'expression du terme général de deux suites

On en déduit que, pour tout entier , d'où :

>4.a) Déterminer la limite d'une suite

(suite géométrique de raison 0,1 avec 0

b) Donner une interprétation de la limite d'une suite

À long terme, la probabilité que Léa se connecte un jour donné se stabilisera autour de .

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Déterminer deux nombres par lecture graphique

est l'ordonnée du point de C_f d'abscisse 2, c'est-à-dire le point D, donc :

Notez bien

La tangente en A à C_f est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est donc égal à 0.

est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 0, c'est-à-dire au point A, donc :

>2. Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout réel

est dérivable sur ℝ comme produit de deux fonctions dérivables sur ℝ et, pour tout réel :

>3. Traduire des données par un système d'équations

Notez bien

pour tout réel a.

équivaut à , c'est-à-dire .

Donc est solution du système :

>4. Déterminer l'expression d'une fonction

Le système équivaut à , c'est-à-dire .

La fonction f est donc définie sur ℝ par :

partie b

>1. Établir un encadrement d'une intégrale

D'après l'annexe 1, la fonction est continue et positive sur l'intervalle [0 2], donc l'intégrale représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équations et (domaine hachuré sur la figure).

Ce domaine est contenu dans le carré AODB, avec O(0 0) (origine du repère) et B(2 2). L'aire de ce carré est égale à 4, donc .

De plus, sur l'intervalle [0 2], la courbe est au-dessus du segment [AD], diagonale du carré AODB. Donc l'aire du domaine hachuré est supérieure ou égale à l'aire du triangle AOD, soit .