Sujet complet d’Amérique du Nord 2013

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2013 | Académie : Amérique du Nord
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Sujet complet d&rsquo Amérique du Nord 2013
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Amérique du Nord 2013

Corrigé

3

Sujets complets

matT_1305_02_00C

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Amérique du Nord &bull Mai 2013

Sujet complet &bull 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification.

Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une mauvaise réponse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève de point.

&gt 1. Pour tout réel non nul, le nombre réel est égal à :

a)

b)

c)

d)

&gt 2. Pour tout réel , le nombre réel est égal à :

a)

b)

c)

d)

&gt 3. Pour tout réel , le nombre réel est égal à :

a)

b)

c)

d)

&gt 4. On donne la fonction définie sur l&rsquo intervalle par .

La dérivée de est définie sur par :

a)

b)

c)

d)

Exercice 2 (5 points)
Prêts immobiliers : âge des demandeurs et prêts acceptés

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à 10&ndash 3 près.

&gt 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu&rsquo on peut estimer que l&rsquo âge moyen d&rsquo un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d&rsquo écart type 12.

a) Calculer la probabilité que le client demandeur d&rsquo un prêt soit d&rsquo un âge compris entre 30 et 35 ans. (1 point)

b) Calculer la probabilité que le client n&rsquo ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. (1 point)

&gt 2. Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.

Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1 000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.

a) Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque. (1 point)

b) Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1 000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.

Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %. (1 point)

c) Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ? (1 point)

Exercice 3 (5 points)
Ouvrages disponibles dans une bibliothèque

Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d&rsquo ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.

Pour l&rsquo ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l&rsquo ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d&rsquo acheter 6 000 ouvrages neufs.

On appelle le nombre, en milliers, d&rsquo ouvrages disponibles le 1er janvier de l&rsquo année (2013 + n).

On donne .

&gt 1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a (1 point)

&gt 2. On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel.

Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. (0,5 point)

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Variables

U, N

Initialisation

Mettre 42 dans U

Mettre 0 dans N

Traitement

Tant que U&lt  100

U prend la valeur

N prend la valeur N + 1

Fin du Tant que

Sortie

Afficher N

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&gt 3. À l&rsquo aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme. (0,5 point)

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.

On appelle le nombre, en milliers, d&rsquo ouvrages disponibles le 1er janvier de l&rsquo année (2013 + n).

&gt 1. Identifier et écrire la ligne qu&rsquo il faut modifier dans l&rsquo algorithme précédent pour prendre en compte ce changement. (0,5 point)

&gt 2. On admet que , avec .

On considère la suite définie, pour tout entier n, par

Montrer que est une suite géométrique de raison q = 0,95 et préciser son premier terme . (1 point)

&gt 3. On admet que, pour tout entier naturel n,

a) Déterminer la limite de . (0,5 point)

b) En déduire la limite de . (0,5 point)

c) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points)
Connexion aux réseaux sociaux et graphe probabiliste

Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

si Léa s&rsquo est connectée un certain jour, la probabilité qu&rsquo elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.

si Léa ne s&rsquo est pas connectée un certain jour, la probabilité qu&rsquo elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n &ge  1, on note la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et la probabilité qu&rsquo elle ne se connecte pas le n-ième jour.

On a donc : .

Le 1er jour, Léa ne s&rsquo est pas connectée, on a donc .

&gt 1.a) Traduire les données par un graphe probabiliste. (0,5 point)

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe. (0,5 point)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour. (0,5 point)

&gt 2. Démontrer que, pour tout entier n &ge  1, on a . (0,75 point)

&gt 3. On considère la suite définie, pour tout entier , par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme. (1 point)

b) Exprimer , puis , en fonction de n. (0,5 point)

&gt 4.a) Déterminer en justifiant la limite de . (0,75 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

Exercice 4 (6 points)
Fonction comportant une exponentielle, représentation graphique et primitives

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur dont la courbe représentative Cf est tracée ci-après dans un repère orthonormé :

Annexe 1


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partie a

On suppose que f est de la forme a et b désignent deux constantes.

On sait que :

Les points A(0  2) et D(2  0) appartiennent à la courbe .

La tangente à la courbe au point A est parallèle à l&rsquo axe des abscisses.

On note la fonction dérivée de , définie sur .

&gt 1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et . (0,5 point)

&gt 2. Calculer (0,5 point)

&gt 3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : (0,75 point)

&gt 4. Calculer a et b et donner l&rsquo expression de . (1 point)

partie b

On admet que .

&gt 1. À l&rsquo aide de la figure précédente, justifier que la valeur de l&rsquo intégrale est comprise entre 2 et 4. (0,75 point)

&gt 2.a) On considère F la fonction définie sur par :

.

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur . (0,5 point)

b) Calculer la valeur exacte de et en donner une valeur approchée à près. (1 point)

&gt 3. On considère G une autre primitive de f sur .

Parmi les trois courbes C1, C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. (1 point)

Annexe 2


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Exercice 1. Durée conseillée : 35 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles &bull Fonctions exponentielles &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

&gt 4. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

Exercice 2. Durée conseillée : 45 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Loi à densité &bull Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

&gt 2.a) Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence dans un échantillon de taille est :

,

est la proportion supposée dans la population (ici ).

&gt 2.b) Deux décisions peuvent être prises, suivant que la fréquence observée sur l&rsquo échantillon appartient ou n&rsquo appartient pas à l&rsquo intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)

Les thèmes en jeu

Algorithme : boucle avec arrêt conditionnel &bull Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

Partie B

&gt 3.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Exercice 3. Durée conseillée : 45 min.
(Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles &bull Graphes probabilistes &bull Matrice associée à un graphe &bull Suites arithmétiques ou géométriques.

Les conseils du correcteur

&gt 1.a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

&gt 1.b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d&rsquo une colonne est égale à 1.

&gt 1.c) La probabilité que Léa se connecte le 3e jour est .

&gt 4.a) Utilisez le résultat suivant : une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Exercice 4. Durée conseillée : 50 min.
(Commun à tous les candidats)

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente &bull Dérivées usuelles &bull Fonctions exponentielles &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1. est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d&rsquo abscisse 0.

Partie B

&gt 1. La fonction est positive sur [0  2], donc est l&rsquo aire du domaine limité par l&rsquo axe des abscisses, la courbe représentative de et les droites d&rsquo équations et (domaine hachuré sur la figure).

&gt 2.b) Utilisez la primitive de obtenue à la question précédente.