Sujet complet d’Amérique du Nord 2014

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2014 | Académie : Amérique du Nord
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Sujet complet d’Amérique du Nord 2014

Amérique du Nord • Mai 2014

matT_1405_02_00C

Sujets complets

2

CORRIGE

Amérique du Nord • Mai 2014

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM sur les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle .

On note la fonction dérivée de .


>1. Sur l’intervalle  :

a) est une fonction densité de probabilité.

b) est positive.

c) n’est pas continue.

d) L’équation admet 2 solutions.

>2. Sur l’intervalle , on a :

a).

b).

c).

d).

>3. On admet qu’une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 4 est . Le nombre dérivé de en 4 est :

a).

b).

c).

d).

>4. On pose . Un encadrement de est :

a).

b).

c).

d)

Exercice 2 (6 points)
Étude de la rentabilité d’appartements à louer

Commun à tous les candidats

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l’objectif de le louer. Pour cela, il s’intéresse à la rentabilité locative de cet appartement.

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à .

partie a

On considère deux types d’appartements :

  • les appartements d’une ou deux pièces notés respectivement T1 et T2 ;
  • les appartements de plus de deux pièces.

Une étude des dossiers d’appartements loués dans un secteur a montré que :

  • 35 % des appartements loués sont de type T1 ou T2 ;
  • 45 % des appartements loués de type T1 ou T2 sont rentables ;
  • 30 % des appartements loués, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont rentables.

On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants :

 : « l’appartement est de type T1 ou T2 » ;

 : « l’appartement en location est rentable » ;

est l’événement contraire de et est l’événement contraire de .

>1. Traduire cette situation par un arbre pondéré. (1 point)

>2. Montrer que la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est égale à 0,3525. (1 point)

>3. Calculer la probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable. (1 point)

partie b

On considère la variable aléatoire égale au nombre d’appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d’écart-type .

À l’aide de la calculatrice :

>1. Calculer la probabilité . (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’au moins 45 appartements parmi les 100 appartements loués soient rentables. (0,75 point)

partie c

L’investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements loués par son agence sont rentables.

Pour vérifier son affirmation, on a prélevé au hasard 280 dossiers d’appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

>1. Déterminer la fréquence observée sur l’échantillon prélevé. (0,5 point)

>2. Peut-on valider l’affirmation du responsable de cette agence ? Justifier cette réponse. On pourra s’aider du calcul d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95  %. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points)
Modélisation du temps de chargement d’une vidéo sur Internet

Commun à tous les candidats

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur Internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction du nombre d’internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a : modèle exponentiel

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction qui modélise la situation précédente.

On note le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément et la durée de chargement exprimée en seconde.


>1. Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour 8 000 personnes connectées. (0,5 point)

>2.a) Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par . (0,5 point)

b) Donner une interprétation de ce résultat. (0,5 point)

partie b : modèle logarithmique

On considère une autre fonction pour modéliser la situation précédente.

On note le nombre, exprimé en millier, d’internautes connectés simultanément. La durée de chargement en seconde est alors avec pour appartenant à .

>1. a) Calculer . (0,5 point)

b) Dresser le tableau de variations de sur l’intervalle . (0,5 point)

>2. a) Justifier que la fonction définie sur par :

est une primitive de sur . (0,5 point)

b) On pose .

Montrer que la valeur exacte de peut s’écrire sous la forme , où et sont deux entiers relatifs que l’on déterminera. (0,75 point)

c) Déterminer une valeur approchée à près de , puis donner une interprétation de ce résultat. (0,5 point)

partie c

Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément 8 000 personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes.

Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo. (0,75 point)

Exercice 4 (5 points)
Étude à l’aide d’une suite du nombre d’arbres d’une forêt

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

Le nombre d’arbres de cette forêt est modélisé par une suite notée désigne le nombre d’arbres au cours de l’année .

En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

>1. a) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2014. (0,5 point)

b) Montrer que la suite est définie par et pour tout entier naturel par la relation . (0,5 point)

>2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,95.

Déterminer son premier terme. (0,75 point)

b) Exprimer en fonction de . (0,25 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Déterminer la limite de la suite . (0,25 point)

e) Interpréter le résultat précédent. (0,25 point)

>3. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation :

. (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,25 point)

>4. a) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel. (0,75 point)


Algorithme 1

Variables

A, U, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de A

N prend la valeur 0

U prend la valeur 50 000

Tant que U < A

N prend la valeur N+1

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin tant que

Afficher N

Fin algorithme



Algorithme 2

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme



Algorithme 3

Variables

U, I, N sont des nombres

Début de l’algorithme

Saisir la valeur de N

U prend la valeur 50 000

Pour I variant de 1 à N

Afficher U

U prend la valeur

0,95*U + 3 000

Fin pour

Afficher U

Fin algorithme

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

>1. Indiquer une propriété d’une fonction sur un intervalle

Notez bien

si et seulement si la tangente au point d’abscisse à la courbe représentative de est parallèle à l’axe des abscisses.

Sur l’intervalle , est positive ; la courbe 𝒞 est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses.

n’est pas une densité de probabilité car l’aire totale sous la courbe 𝒞 est strictement supérieure à 1.

(Si était une densité de probabilité, cette aire serait égale à 1.)

est continue sur l’intervalle car la courbe 𝒞 se trace « sans lever le crayon ».

La seule solution de l’équation est 0 ; la courbe 𝒞 possède une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.

La bonne réponse estb).

>2. Déterminer graphiquement un nombre dérivé d’une fonction

(la justification a été donnée à la question précédente).

car d’après le graphique, (la tangente au point d’abscisse 1 à la courbe 𝒞 a un coefficient directeur négatif).

La bonne réponse estc).

>3. Déterminer un nombre dérivé à partir d’une équation de tangente

Le nombre dérivé de en 4, noté , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse 4, donc .

La bonne réponse estc).

>4. Donner un encadrement d’une intégrale entre deux entiers consécutifs

Puisque est continue et positive sur l’intervalle , 𝒜 est l’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe 𝒞 et les droites d’équation et . On obtient un encadrement de 𝒜 par lecture graphique : .

La bonne réponse estc).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré


>2. Calculer une probabilité associée à une partition de l’univers

et constituent une partition de l’univers, donc la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est :

.

D’après l’arbre :

.

>3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable est . D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, étant non nul :

.

D’où, en arrondissant à  :

partie b

Info

On peut obtenir une approximation de ce résultat en utilisant les résultats du cours.

En effet, et on sait que :

Par symétrie : .

>1. Déterminer à l’aide de la calculatrice une probabilité associée à une loi normale

D’après la calculatrice :

>2. Déterminer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’au moins 45 appartements soient rentables est :

.

Or, d’après les propriétés de la loi normale, .

Donc

D’où :

partie c

>1. Déterminer la fréquence observée sur un échantillon

Notez bien

Cela signifie qu’environ 42,86 % des appartements de l’échantillon sont rentables.

Sur l’échantillon prélevé, la fréquence des appartements rentables est :

>2. Prendre une décision en utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique

Pour une proportion dans la population supposée égale à , un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée dans un échantillon de taille est :

,

sous réserve que .

Ici (taille de l’échantillon) et (proportion d’appartements rentables affirmée par le responsable de l’agence), donc les conditions sont remplies.

Attention

La borne gauche a été arrondie par défaut, la borne droite par excès.

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour les échantillons de taille est :

Info

Le risque d’erreur au cas où, comme ici, on remet en cause l’hypothèse faite sur la proportion, est le risque de rejeter à tort.

, donc au risque d’erreur de 5 %, on rejette l’affirmation du responsable de l’agence, on ne la valide pas.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

partie a

>1. Déterminer par lecture graphique l’image d’un nombre par une fonction

Si 8 000 personnes sont connectées, alors et la durée de téléchargement, en seconde, est .

Par lecture graphique, on peut estimer que la durée de téléchargement pour 8 000 personnes connectées est environ 96 secondes.

>2.a) Déterminer par lecture graphique un antécédent d’un nombre par une fonction

Un antécédent de 15 par est l’abscisse d’un point de la courbe représentative de dont l’ordonnée est égale à 15.

Graphiquement, puisque la courbe représentative de passe par le point de coordonnées (2 ; 15), on observe que 2 est un antécédent de 15 par.

b) Donner une interprétation d’un résultat associé à une fonction

Le résultat donné à la question précédente signifie que le temps de chargement est de 15 secondes lorsque 2 000 personnes sont connectées.

partie b

>1.

a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à  :

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle donné

car , donc le signe de est celui de .

si et seulement si .

  • Si , alors , donc  ;
  • si , alors , donc .

On en déduit que est strictement décroissante sur , strictement croissante sur . Son tableau de variations sur l’intervalle est donc :


>2.a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

.

Pour tout appartenant à  :

On en déduit que G est une primitive deg sur.

b) Calculer une intégrale

Donc la valeur exacte de est de la forme , avec :

c) Calculer une valeur approchée d’une intégrale et donner une interprétation du résultat

À près, .

donc est la valeur moyenne de sur .

Donc la durée moyenne de téléchargement lorsqu’il y a entre 2 000 et 4 000 internautes connectés simultanément est de 21,36 secondes environ.

partie c

Déterminer, entre deux modèles, celui qui décrit le mieux une situation donnée

On a estimé dans la partie A (modèle exponentiel) que .

Avec la modélisation considérée dans la partie B :

.

Si le temps effectif de chargement constaté pour 8 000 personnes connectées est 92 secondes, c’est le modèle exponentiel (modèle de la partie A) qui semble décrire le mieux la situation, il donne une valeur plus proche du temps réel que celui donné par le modèle logarithmique.

Exercice 4

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Notez bien

Puisque 5 % des arbres existants sont abattus, 95 % sont conservés.

>1.a) Calculer un terme d’une suite

Le nombre d’arbres de la forêt en 2014 est , soit :

b) Déterminer une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

et, pour tout entier naturel  :

>2. Pour tout entier naturel , .

a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel  :

Donc :

.

On en déduit que est une suite géométrique de raison 0,95.

Son premier terme est .

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Puisque est la suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme 10 000, pour tout entier naturel  :

c) Donner l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel  :

d) Déterminer la limite d’une suite associée à une suite géométrique

, donc , donc :

e) Donner une interprétation de la limite d’une suite convergente

On déduit du résultat de la question précédente qu’à long terme, le nombre d’arbres de la forêt se rapproche de 60 000.

>3.a) Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

équivaut à :

.

Notez bien

On a divisé les deux membres de l’inégalité par et car , donc le sens de l’inégalité est inversé.

Pour résoudre cette inéquation, on peut calculer les puissances successives de 0,95 et trouver la première de ces puissances inférieure ou égale à 0,3 ou bien utiliser les logarithmes :

équivaut successivement à : .

Or , donc, puisque est un entier naturel :

b) Donner une interprétation d’un résultat associé à une suite

On peut interpréter le résultat de la question précédente de la manière suivante : au bout de 24 années, c’est-à-dire à partir de l’année 2037, le nombre d’arbres de la forêt dépassera 57 000.

>4.a) Choisir un algorithme affichant un résultat souhaité

Les algorithmes 1 et 2 ne peuvent pas convenir, car l’instruction d’affichage n’y figure qu’après la boucle « Tant que » ; ils produisent donc l’affichage d’une seule valeur, celle du dernier terme calculé pour l’algorithme 2, celle de son indice pour l’algorithme 1.

Donc, parmi les trois algorithmes donnés, le seul qui calcule successivement et affiche, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang est l’algorithme 3.

b) Donner une interprétation du résultat affiché par un algorithme

Pour un nombre A donné, l’algorithme 1 affiche l’indice du premier terme de la suite supérieur ou égal à A, puisqu’il calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils restent inférieurs à A.

Si cet l’algorithme 1 affiche la valeur 24 lorsque A = 57 000, alors on peut dire que le premier terme de la suite supérieur ou égal à 57 000 est . On retrouve ainsi le résultat de la question 3. b).

Le nombre d’arbres de la forêt est pour la première fois supérieur ou égal à 57 000 au bout de 24 ans, c’est-à-dire en 2037. On retrouve le résultat de la question 3.

Exercice 4 (5 points)

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie a

>1.a) Déterminer si un graphe est complet

Il n’existe pas d’arête entre les sommets A et E (les villes A et E ne sont pas reliées par un tronçon d’autoroute).

Donc le graphe𝒢n’est pas complet.

b) Déterminer si un graphe est connexe

Deux sommets quelconques sont reliés par une arête ou par une chaîne ; il n’existe pas de sommet « isolé », on peut aller d’une ville à une autre en empruntant un ou plusieurs tronçons d’autoroute.

Donc le graphe𝒢est connexe.

>2.a) Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne

Il est possible d’organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, et en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d’autoroute si et seulement si le graphe possède une chaîne eulérienne.

D’après le théorème d’Euler, un graphe connexe possède une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de ce graphe de degré impair (c’est-à-dire extrémités d’un nombre impair d’arêtes) est égal à 0 ou 2. On peut résumer dans un tableau les degrés des différents sommets :


Sommet


A


B


C


D


E


F


G


H


Degré


2


3


4


3


4


2


4


4