Amérique du Nord &bull Juin 2015
matT_1506_02_01C
Sujets complets
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Amérique du Nord &bull Juin 2015
Sujet complet &bull 20 points
Exercice 1 (4 points)
QCM : estimation du nombre de gauchers et rapidité de lecture d&rsquo élèves
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n&rsquo est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point.
partie A
Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant, il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l&rsquo on dénombre 484 gauchers.
) :
de l&rsquo échantillon que l&rsquo on doit choisir afin d&rsquo obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :
partie B
Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d&rsquo élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d&rsquo une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d&rsquo élèves de CE2. On appelle la variable aléatoire qui donne le temps en secondes mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que
suit la loi normale d&rsquo espérance
et d&rsquo écart-type
Exercice 2 (5 points)
Élèves inscrits à l&rsquo association sportive et élèves fumeurs
Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L
Les parties A et B sont indépendantes.
Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l&rsquo association sportive.
Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l&rsquo association sportive.
On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :
l&rsquo événement « l&rsquo élève choisi est inscrit à l&rsquo association sportive »
l&rsquo événement « l&rsquo élève choisi est fumeur » .
Rappel des notations :
Si et
sont deux événements,
désigne la probabilité de l&rsquo événement
et
désigne la probabilité de l&rsquo événement
sachant que l&rsquo événement
est réalisé.
On note l&rsquo événement contraire de
.
Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
partie A
et
. (0,5 point)

et interpréter ce résultat. (1 point)
partie B
Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d&rsquo élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.
On rappelle que 20,3 % de l&rsquo ensemble des élèves sont inscrits à l&rsquo association sportive.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi, les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l&rsquo association sportive. (1,5 point)
Exercice 2 (5 points)
Agences de services et circuits dans les rues d&rsquo une ville
Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
Un créateur d&rsquo entreprise a lancé un réseau d&rsquo agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d&rsquo agences n&rsquo a fait qu&rsquo augmenter. Ainsi l&rsquo entreprise, qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1er janvier 2012, puis à 500 agences au 1er janvier 2014.

On admet que l&rsquo évolution du nombre d&rsquo agences peut être modélisée par une fonction définie sur
par
, où
,
et
sont trois nombres réels.
La variable désigne le nombre d&rsquo années écoulées depuis 2010 et
exprime le nombre d&rsquo agences en centaines. La valeur 0 de
correspond donc à l&rsquo année 2010.
Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction .
partie A
avec
,
et
une matrice colonne que l&rsquo on précisera. (0,5 point)
À l&rsquo aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients ,
et
en détaillant les calculs. (0,75 point)
partie B
Le responsable d&rsquo une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu&rsquo il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.
Exercice 3 (6 points)
Évolution d&rsquo une population de singes
Commun à tous les candidats
Dans une réserve naturelle, on étudie l&rsquo évolution de la population d&rsquo une race de singes en voie d&rsquo extinction à cause d&rsquo une maladie.
partie A
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.
Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
À l&rsquo aide d&rsquo une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.
Pour tout entier naturel , le terme
représente le nombre de singes au 1er janvier de l&rsquo année
. On a ainsi
.
, on a
. (0,5 point)
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l&rsquo algorithme ci-dessous. (1 point)
L1 : |
Variables |
u un réel, n un entier |
|
L2 : |
Initialisation |
u prend la valeur 25 000 |
|
L3 : |
|
n prend la valeur 0 |
|
L4 : |
Traitement |
Tant que &hellip &hellip &hellip faire |
|
L5 : |
|
|
u prend la valeur&hellip &hellip &hellip |
L6 : |
|
|
n prend la valeur&hellip &hellip &hellip |
L7 : |
|
Fin Tant que |
|
L8 : |
Sortie |
Afficher n |
affichée après l&rsquo exécution de l&rsquo algorithme est 10. (0,5 point)
partie B
Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l&rsquo ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu&rsquo il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l&rsquo aide d&rsquo une nouvelle suite. Pour tout entier naturel , le terme
de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l&rsquo année
. On a ainsi
.
est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de
. (0,5 point)
, exprimer
en fonction de
. (0,5 point)
, on a :
et interpréter ce résultat. (0,5 point)
Exercice 4 (5 points)
Modélisation des ventes espérées d&rsquo un jouet après une campagne publicitaire
Commun à tous les candidats
partie A
Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative d&rsquo une fonction
définie et dérivable sur l&rsquo intervalle
ainsi que les tangentes au point A d&rsquo abscisse 0, au point B d&rsquo abscisse 5 et au point D d&rsquo abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées et que la tangente au point B est parallèle à l&rsquo axe des abscisses.

et
. (0,5 point)
partie B
Une entreprise s&rsquo apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction dont la courbe représentative
a été tracée ci-dessus.
En abscisses, représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.
En ordonnées, représente le nombre de milliers de jouets vendus le
-ième jour.
Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l&rsquo entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction est définie sur l&rsquo intervalle
par :
où
désigne la fonction dérivée de
sur l&rsquo intervalle
. (0,5 point)
sur
puis dresser le tableau de variations de
sur
. (1 point)
partie C
. (0,75 point)
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 30 minutes
Les thèmes en jeu
Intervalle de confiance &bull Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
, on peut déterminer un intervalle de confiance d&rsquo amplitude
.
Partie B
Exercice 2 (Candidats de série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Matrice &bull Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
Partie A
,
et
déterminées à la question précédente.
Au 1er janvier 2016, il s&rsquo est écoulé 6 ans depuis le 1er janvier 2010, on calcule .
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » .
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
telle que
a pour limite 0.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée &bull Tangente &bull Point d&rsquo inflexion &bull Fonction exponentielle &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Primitive &bull Intégrale, calcul d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Convexité.
Les conseils du correcteur
Partie A
et
sont les coefficients directeurs de deux tangentes à
.
Partie B
Partie C
de
donnée.
, où
est la dérivée seconde de
.