Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

Amérique du Nord • Juin 2015

matT_1506_02_02C

Sujets complets

4

Amérique du Nord • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Promenade sur une pyramide

Commun à tous les candidats


Dans l’espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l’espace tel que soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) dans ce repère.

Partie A

>1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure ci-dessus.

>2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure ci-dessus.

>3. Soit K le point de coordonnées .

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.

Partie B

Dans cette partie, on admet que l’aire du quadrilatère AUVE est .

>1. On admet que le point U a pour coordonnées .

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation 3x – 3y + 5z – 3 = 0.

>2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (EAU) passant par le point S.

>3. Déterminer les coordonnées de H, point d’intersection de la droite (d) et du plan (EAU).

>4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?

Exercice 2 (5 points)
Entrez dans la ronde !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn ; yn) de la façon suivante :

>1. a) Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.

b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :


Variables


i, x, y, t : nombres réels


Initialisation


x prend la valeur – 3

y prend la valeur 4


Traitement


Pour i allant de 0 à 20




Construire le point de coordonnées (x ; y)

t prend la valeur x

x prend la valeur ………

y prend la valeur ………



Fin Pour

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20.

c) À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :


Identifier les points A0, A1 et A2. On les nommera sur la figure ci-dessus.

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?

>2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn=xn+ iyn l’affixe du point An.

a) Soit . Montrer que, pour tout entier naturel n, un= 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?

b) On admet qu’il existe un réel θ tel que cos θ = 0,8 et sin θ = 0,6.

Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθzn=zn+1.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn= einθz0.

d) Montrer que est un argument du nombre complexe z0.

e) Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn. Représenter θ sur la figure ci-dessus.

Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An.

Exercice 2 (5 points)
La drôle de parabole

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On donne les matrices  et .

Partie A

>1. Déterminer la matrice M2. On donne .

>2. Vérifier que M3=M2+ 8M + 6I.

>3. En déduire que M est inversible et que .

Partie B : Étude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A(1 ; 1), B(–1 ; –1) et C(2 ; 5).

>1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que

.

>2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C : Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère , on considère les points A(1 ; p), B(–1 ; q) et C(2 ; r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y =ax2+bx +c passant par A, B et C.

>1. Démontrer que si avec a, b et c entiers, alors .

>2. En déduire que .

>3. Réciproquement, on admet que si alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A, B et C.

a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, 2r +q – 3p = 0.

b) On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A, B et C.

Exercice 3 (4 points)
À vos tablettes !

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 100 et d’écart type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de σ.

>1. Calculer la probabilité de l’événement M : « la tablette est mise sur le marché ».

>2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.

Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l’événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.

Partie B : Contrôle à la réception

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme. L’entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.

Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d’humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l’événement « la fève provient du fournisseur i », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l’événement « la fève est conforme ».

>1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10–2.

>2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92 % de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?

Exercice 4 (6 points)
Aire entre deux courbes

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ln(x) +x – 3.

>1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

>2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution α comprise entre 2 et 3.

>3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par .

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

>1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

>2. a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, u est la fonction définie dans la partie A.

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie C

Soit C′ la courbe d’équation y = ln(x).

>1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, .

En déduire que les courbes C et C′ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.

>2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par .

Calculer .

Interpréter graphiquement ce résultat.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Position relative • Produit scalaire dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Parallélisme  E25  → Partie A, 2.
  • Décomposition d’un vecteur  E29  → Partie A, 3. ; Partie B, 1. et 4.
  • Produit scalaire  E31b• E31c• E32a• E32b  → Partie A, 3. ; Partie B, 4.
  • Équation cartésienne d’un plan  E33c  → Partie B, 1. à 3.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30  → Partie B, 2. et 3.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Pensez à utiliser le théorème du toit en vérifiant au préalable que toutes les hypothèses sont satisfaites.

>3. Justifiez que le point K appartient au segment [AE] puis, à l’aide du produit scalaire, que les vecteurs et sont orthogonaux.

Partie B

>4. Calculez le volume du solide de base en identifiant clairement la hauteur correspondante.

Exercice 2 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence  E1  → 2. c)
  • Module d’un nombre complexe  E18  → 2. a)
  • Argument d’un nombre complexe  E19  → 2. d) et e)
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21  → 2. b), c) et e)
  • Nombres complexes et géométrie  E22  → 2. a) et e)

Nos coups de pouce

>2. a) Pensez à démontrer que la suite est constante et calculez ensuite son premier terme.

c) Utilisez ici un raisonnement par récurrence pour démontrer l’égalité demandée.

Exercice 2 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

  • Calcul matriciel  C5  → Partie A, 1., 2. et 3. ; Partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>1. Utilisez le fait qu’un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. Écrivez ensuite les trois égalités qui en découlent sous forme matricielle.

Partie C

>3. a) Souvenez-vous : trois points A, B et C du plan sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois normales • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Probabilité conditionnelle  E35  → Partie B, 1. et 2.
  • Arbre pondéré  E37  → Partie B, 1. et 2.
  • Loi normale centrée réduite  E40c  → Partie A, 2.
  • Loi normale  E40d  → Partie A, 2.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale  C3  → Partie A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

>2. Introduisez la variable aléatoire centrée réduite associée à et traduisez la condition sous forme d’une équation faisant intervenir et .

Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie B

>1. Traduisez la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré. Calculez les probabilités et et concluez.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation  E6c• E6e• E6f  → Partie A, 1. ; Partie B, 2. a) et b)
  • Continuité  E7a• E7b• E7c  → Partie A, 2. ; Partie C, 2.
  • Limites  E5a  → Partie B, 1.
  • Logarithme népérien  E9  → Partie A, 1. ; Partie B, 1. et 2. ; Partie C
  • Intégration  E11c• E13 • E14 • E15a  → Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie C

>1. Écrivez les trois conditions que doit vérifier un point pour appartenir aux deux courbes représentatives citées. Établissez le lien avec l’égalité démontrée à la même question. Concluez.

>2. Démontrez que sur l’intervalle étudié, , avant d’interpréter graphiquement l’intégrale.

Corrigé
Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Construire un point de l’espace


La cote du point est égale à 1 et cette cote est identique à celle du point . Dans le triangle OBS, la droite est donc parallèle à la droite .

On construit donc le point U comme l’intersection de la droite (SB) avec la parallèle à (OB) passant par D.

>2. Démontrer le parallélisme de deux droites de l’espace

  • Le point appartient naturellement au plan .

est le point d’intersection du plan et de la droite donc .

Par conséquent, la droiteest incluse dans le plan.

  • Nous avons :

et .

Par conséquent, la droiteest incluse dans le plan.

  • Nous savons que est un carré donc les droites et sont parallèles.

Nous avons pour résumer les éléments suivants :


  • la droite est incluse dans le plan  ;
  • la droite est incluse dans le plan  ;
  • les droites et sont parallèles ;
  • les plans et sont sécants suivant la droite .

Info

Si deux plans sécants P et P′ contiennent respectivement deux droites parallèles D et D′, alors leur droite d’intersection (d) est parallèle à D et D′.

D’après le théorème du toit, la droite est parallèle aux droites et .

En particulier, les droitesetsont parallèles.

>3. Justifier une orthogonalité


Nous devons démontrer que nous sommes dans la situation ci-contre (la figure n’est pas à l’échelle).

Pour cela, démontrons que le point appartient au segment et que les vecteurs et sont orthogonaux.

Première méthode

Le point a pour coordonnées . Nous avons donc :

et .

Donc le pointappartient au segment.

Remarquons aussi au passage que (utile pour la suite).

Calculons le produit scalaire .

est un carré donc et .

Dans le triangle OBS, les points S, D, O et S, U, B sont rangés dans cet ordre et la droite est parallèle à la droite . D’après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :

.

Or et .

Par conséquent, et finalement .

Ainsi :

.

Ensuite :

Comme le repère proposé est orthonormé et que est un carré de centre O, , et donc :

, , et .

Finalement :

Les vecteursetsont donc orthogonaux.

Nous en déduisons queest le pied de la hauteur issue dedans le trapèze.

Deuxième méthode

Le point a pour coordonnées . Nous avons donc :

et

.

Donc le pointappartient au segment.

Remarquons ensuite que, puisque est dans le plan , nous avons :

est un réel à déterminer.

Dans le triangle OBS, les points S, D, O et S, U, B sont rangés dans cet ordre et la droite est parallèle à la droite . D’après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :

.

Or et . Par conséquent, .

Ainsi et a pour coordonnées.

Calculons maintenant les coordonnées des vecteurs et .

et

Nous avons finalement :

.

Les vecteursetsont donc orthogonaux.

Nous en déduisons donc queest le pied de la hauteur issue dedans le trapèze.

Partie B

>1. Identifier un plan dont on fournit une équation cartésienne

Soit le plan d’équation cartésienne .

Nous avons :

  • donc E a pour coordonnées .

Donc le plan n’est autre que le plan (EAU).

Le plan (EAU) a donc pour équation cartésienne.

>2. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Le plan (EAU) a pour équation cartésienne . Un vecteur normal au plan (EAU) a donc pour coordonnées .

Comme la droite est orthogonale au plan (EAU), est aussi un vecteur directeur de .

Sachant aussi que passe par le point S, une représentation paramétrique de est :

et finalement .

>3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection d’une droite et d’un plan

Les coordonnées de H sont.

>4. Comparer des volumes

Notez bien

.

  • Le volume de la pyramide est donné par : .

Nous avons : .

Ensuite  ; nous avons .

Par conséquent : .

Enfin le point S ayant pour coordonnées , nous avons .

Et finalement : .

Le volumede la pyramideest égal à 2.

  • Comme la droite (d), passant par S, est orthogonale au plan (EAU) et que H est le point d’intersection de (d) et du plan (EAU), nous pouvons dire que la droite (SH) est orthogonale au plan (EAU). La droite (SH) est donc une hauteur de la pyramide de base .

Le volume du solide est donné par : .

D’après l’énoncé, on admet que : .

Finalement, .

Le volumedu solideest égal à.

On constate alors que . Par conséquent le planpartage la pyramideen deuxsolides qui n’ont pas le même volume.

Exercice 2

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

>1. a) Déterminer des coordonnées de points

  • D’après l’énoncé, et , donc le pointa pour coordonnées.
  • En utilisant les relations de récurrence fournies dans l’énoncé, nous avons :

Le pointa donc pour coordonnées.

  • En utilisant les relations de récurrence fournies dans l’énoncé, nous avons :

Le pointa donc pour coordonnées.

b) Compléter un algorithme

  • La première relation de récurrence est .

Dans l’algorithme, prend donc la valeur.

  • La deuxième relation de récurrence est .

La valeur de ayant changé dans la ligne juste au-dessus dans l’algorithme, il faut prendre ici la précaution d’utiliser la valeur de avant modification, valeur qui est stockée dans .

Dans l’algorithme, prend donc la valeur.

c) Identifier des points sur une figure

À l’aide des coordonnées des points trouvées à la question 1. a), nous identifions les points indiqués sur le graphique ci-après.


L’ensemble auquel appartiennent tous les points semble être le cercle de centre O et de rayon 5.

>2. a) Démontrer qu’une suite est constante

Montrons que la suite est constante.

Notez bien

Pour tous réels et  :

.

Pour tout entier naturel  :

Par conséquent, la suite est constante et, pour tout entier naturel  :

.

Finalement, pour tout entier naturel , nous avons .

Par conséquent, tous les pointssont sur le cercle de centreO et de rayon 5.

b) Établir une relation de récurrence avec des nombres complexes

Notez bien

Pour tout réel : .

Pour tout entier naturel  :

c) Démontrer une égalité à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit P() la propriété : .

Démontrons par récurrence que P() est vraie pour tout entier naturel .

Initialisation

donc P(0) est vraie.

La propriété est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P() soit vraie pour un entier naturel  donné :

(hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que la propriété P() est vraie.

(question 2. b))

(hypothèse de récurrence)

(pour tous réels a et b : )

donc P(k+1) est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Par conséquent, nous en déduisons que, pour tout entier naturel,.

d) Déterminer un argument d’un nombre complexe

Nous avons et (question 2. a)).

Notez bien

Pour tout réel  :

.

Soit un argument de . Nous obtenons alors :

et .

Un argument deest donc.

e) Construire des points à l’aide d’arguments algébriques

Notez bien

Pour tous nombres complexes et non nuls :

Pour tout entier naturel  :

D’après l’énoncé, nous savons que :

et .

Par proportionnalité, nous construisons comme indiqué ci-dessous.


Nous avons vu à la question 2. a) que tous les points étaient situés sur le cercle de centre O et de rayon 5.

Ensuite, comme , nous en déduisons que :

.

Notez bien

Pour tous nombres complexes et non nuls :

Par conséquent :

Le pointse déduit donc du pointpar la rotation de centre O et d’angle.

Exercice 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

>1. Effectuer un produit matriciel

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons :

>2. Vérifier une égalité matricielle

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Nous avons, d’après la question 1.,

>3. Démontrer qu’une matrice est inversible

D’après la question 2., nous avons :

Or la matrice est la matrice identité d’ordre 3. Par définition, la matriceest donc inversible et son inverseest donné par.

Partie B : étude d’un cas particulier

>1. Écrire un système sous forme matricielle

Un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. Ainsi, les points A, B et C appartient à la parabole d’équation si, et seulement si,

.

Autrement dit, le problème revient à chercher trois entiers,ettels que.

>2. Résoudre un système à l’aide des matrices

Comme la matrice est inversible d’après la question 3. de la partie A, nous avons :

.

Gagnez des points !

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

Or,

Ainsi,

Ainsi, nous en concluons que :,et.

Partie C : retour au cas général

>1. Démontrer une implication

Supposons que : .

Par suite,

ce qui s’écrit également sous la forme suivante :

.

Par conséquent,,etétant des entiers, nous avons :

>2. Établir des relations de congruence

  • D’après la question 1. de cette partie,
  • Par suite, et
  • Toujours d’après la question 1. de la partie C, nous avons :

et

  • Par somme,

>3. a) Justifier une équivalence

Les trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.

Les coordonnées de sont

celles de sont .

La colinéarité se traduisant par l’égalité :, les équivalences suivantes en découlent :

Nous en concluons que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,.

b) Déterminer une équation d’une parabole

  • Choisissons Comme alors il existe un entier tel que Autrement dit, .
  • De même, choisissons Comme , alors il existe un entier tel que Autrement dit, .
  • Avec , et , comme , alors et donc les trois points A, B et C ne sont pas alignés.

Les trois conditions étant vérifiées pour ces choix de , et , nous en concluons qu’il existe trois entiers et tels que la parabole d’équation passe par les points A, B et C.

Similairement à la partie B, étude d’un cas particulier, nous avons :

Suite aux choix pour,etnous avons :,et.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A : contrôle avant la mise sur le marché

>1. Calculer une probabilité avec une loi normale

Première méthode

Notez bien

Si suit la loi normale d’espérance et d’écart type alors :

.

Calculons . En remarquant que et , nous avons :

La probabilité qu’une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.

Deuxième méthode

Calculons . En prenant en compte le fait que et , nous avons :


TI 83 Plus.fr


CASIO GRAPH 75



À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

.

La probabilité qu’une tablette soit mise sur le marché est environ 0,954.

>2. Déterminer la valeur d’un écart type

D’après l’énoncé, nous devons avoir .

Par définition, la variable aléatoire suit la loi normale d’espérance et d’écart type si la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.

Nous devons donc résoudre l’équation d’inconnue  : suit la loi normale centrée réduite. Cette équation équivaut à .

Notez bien

Si suit la loi normale centrée réduite alors, pour tout réel , il existe un unique réel positif tel que :

.

Si alors  ;

si alors .

Nous savons que si suit la loi normale centrée réduite, alors :

et .

La solution est donc à chercher dans l’intervalle .


TI 83+


CASIO GRAPH 75



À l’aide de la calculatrice, nous obtenons .

Par identification : et .

La valeur depour que la probabilité de l’événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97 est environ 0,922.

Partie B : contrôle à la réception

>1. Déterminer une probabilité conditionnelle

Construisons un arbre pondéré qui traduit la situation proposée.

Le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves donc .

Le deuxième fournisseur procure 30 % du stock de fèves donc .

Le troisième fournisseur procure 20 % du stock de fèves donc .

98 % de la production du premier producteur respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du premier producteur est donc .

90 % de la production du deuxième producteur respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du deuxième producteur est donc .

20 % de la production du troisième producteur n’est pas conforme, donc 80 % de la production respecte le taux d’humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu’elle provient du troisième producteur est donc .

On obtient ainsi l’arbre pondéré ci-dessous, où les probabilités non mentionnées précédemment s’obtiennent par le fait que la somme des probabilités placées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.


La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle que la fève provienne du premier fournisseur, sachant qu’elle est conforme, c’est donc .

Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

.

Grâce au calcul précédent, nous avons aussi : .

Finalement :

.

La probabilité conditionnelle que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu’elle est conforme, est donc d’environ 0,53.

>2. Déterminer une proportion

Reprenons la situation de la question précédente en nous limitant ici aux deux premiers fournisseurs. Si la proportion de fèves achetées au fournisseur 1 est p, nous avons . Ensuite .

L’arbre pondéré associé à la situation proposée est donc le suivant :


L’énoncé impose . Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

Nous en déduisons :

.

L’entreprise doit acheter 25 % de fèves au fournisseur 1 pour atteindre l’objectif fixé de 92 % de fèves conformes.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Partie A

>1. Justifier les variations d’une fonction

Première méthode

  • La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions (de référence) dérivables sur cet intervalle.

Sa dérivée est donnée sur par .

  • Comme , et par suite, . La dérivée étant strictement positive sur la fonctionest alors strictement croissante sur.

Deuxième méthode

La fonction est la somme de la fonction logarithme népérien et d’une fonction affine (de coefficient ) qui sont toutes les deux strictement croissantes sur l’intervalle . Par suite, la fonctionest strictement croissante sur.

>2. Démontrer l’existence d’une solution d’une équation

  • La fonction étant dérivable sur , elle est continue sur .
  • D’après la question 1., la fonction est strictement croissante sur .
  • De plus, et .

Ainsi, est compris entre et .

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équationadmet une unique solution que nous noteronscomprise entre 2 et 3.

>3. Déterminer le signe d’une fonction

Des deux premières questions découle le tableau de variations suivant :


  • La fonction s’annule une seule fois en .
  • Comme est strictement croissante sur et , la fonction est strictement négative sur l’intervalle .
  • Similairement, comme est strictement croissante sur et , la fonction est strictement positive sur l’intervalle .

Ce que nous pouvons résumer par le tableau de signes suivant :


Partie B

>1. Déterminer la limite d’une fonction

D’une part, comme (limite de fonction usuelle), alors :

.

D’autre part, comme (limite de fonction usuelle), alors :

.

Par produit, nous avons et par somme, nous en concluons que .

>2. a) Déterminer la dérivée d’une fonction

  • La fonction est dérivable sur (différence d’une fonction constante et de la fonction inverse) et sa dérivée définie sur est la fonction .
  • La fonction est dérivable sur (différence de la fonction logarithme népérien et d’une fonction constante) et sa dérivée définie sur est la fonction .

Notez bien

Le produit de deux fonctions et dérivables sur un intervalle est dérivable sur et .

Par produit et par somme, la fonction est dérivable sur et sa dérivée est donnée par :

b) Dresser le tableau de variations d’une fonction

Comme , le signe de correspond au signe de déterminé à la question 3. de la partie A. Nous avons par conséquent le tableau de signes suivant :


  • Pour tout de alors la fonctionest décroissante sur.
  • Pour tout de alors la fonctionest croissante sur.

Partie C

>1. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

  • Pour tout réel de l’intervalle nous avons :

  • Un point M de coordonnées appartient aux courbes C et C′ si, et seulement si,

, système équivalent à

Notez bien

Pour tous réels et , .

Pour tout réel .

La deuxième égalité s’écrit également de la manière suivante : . Or, d’après le point précédent,

Notez bien

Pour tout réel .

Comme , .

Les courbesetont un seul point commun, le point de coordonnées.

>2. Calculer une intégrale et l’interpréter graphiquement

  • Nous avons :

Or la fonction est une primitive de la fonction sur l’intervalle donc sur . De plus, d’après l’énoncé, est une primitive de la fonction sur l’intervalle donc également sur . Il en découle que :

  • Par la question 1. de la partie C, nous avons : .

Or, .

Ainsi, pour tout de l’intervalle , et comme .

Comme la fonction et la fonction logarithme népérien sont continues sur l’intervalle , et comme pour tout de cet intervalle, , alors l’intégrale est l’aire exprimée en unités d’aire de la partie du plan (coloriée en violet sur la figure ci-dessous) délimitée par les courbes𝒞et𝒞et les droites d’équationet. Cette aire est égale à deux unités d’aire.