Amérique du Nord • Juin 2015
matT_1506_02_02C
Sujets complets
4
Amérique du Nord • Juin 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (5 points)
Promenade sur une pyramide
Commun à tous les candidats

Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 0 3) dans ce repère.
Partie A
Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.
Partie B
Vérifier que le plan (EAU) a pour équation 3x – 3y
Exercice 2 (5 points)
Entrez dans la ronde !
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn yn) de la façon suivante :
Variables | i, x, y, t : nombres réels | |
Initialisation | x prend la valeur – 3 y prend la valeur 4 | |
Traitement | Pour i allant de 0 à 20 | |
|
| Construire le point de coordonnées (x y) t prend la valeur x x prend la valeur ……… y prend la valeur ……… |
| Fin Pour |
Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points A0 à A20.

Identifier les points A0, A1 et A2. On les nommera sur la figure ci-dessus.
Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?
Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn
. Montrer que, pour tout entier naturel n, un
Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθzn
est un argument du nombre complexe z0.
Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An.
Exercice 2 (5 points)
La drôle de parabole
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Partie B : Étude d'un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d'équation y
Partie C : Retour au cas général
Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.
Dans un repère , on considère les points A(1 p), B(–1 q) et C(2 r).
On cherche des valeurs de p, q et r pour qu'il existe une parabole d'équation y
avec a, b et c entiers, alors
.
alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d'équation y
Exercice 3 (4 points)
À vos tablettes !
Commun à tous les candidats
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
Partie A : Contrôle avant la mise sur le marché
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.
La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance µ
Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité de l'événement « la tablette est mise sur le marché » soit égale à 0,97.
Partie B : Contrôle à la réception
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7 %. On dit alors que la fève est conforme. L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30 % et le dernier apporte 20 % du stock.
Pour le premier, 98 % de sa production respecte le taux d'humidité pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90 % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20 % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l'événement « la fève provient du fournisseur i », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l'événement « la fève est conforme ».
Exercice 4 (6 points)
Aire entre deux courbes
Commun à tous les candidats
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 +∞[ par u(x)
Partie B
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 +∞[ par .
On appelle
où u est la fonction définie dans la partie
Partie C
Soit
En déduire que les courbes
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l'espace • Position relative • Produit scalaire dans l'espace.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Parallélisme
E25 → Partie A, 2. - Décomposition d'un vecteur
E29 → Partie A, 3. Partie B, 1. et 4. - Produit scalaire
E31 b • E31 c • E32 a • E32 → Partie A, 3. Partie B, 4.b - Équation cartésienne d'un plan
E33 → Partie B, 1. à 3.c - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → Partie B, 2. et 3.
Nos coups de pouce
Partie A
et
sont orthogonaux.
Partie B
de base
en identifiant clairement la hauteur correspondante.
Exercice 2 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Raisonnement par récurrence
E1 → 2. c) - Module d'un nombre complexe
E18 → 2. a) - Argument d'un nombre complexe
E19 → 2. d) et e) - Forme exponentielle d'un nombre complexe
E21 → 2. b), c) et e) - Nombres complexes et géométrie
E22 → 2. a) et e)
Nos coups de pouce
Exercice 2 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Calculatrice
- Calcul matriciel
C5 → Partie A, 1., 2. et 3. Partie B, 2.
Nos coups de pouce
Partie B
Partie C
et
sont colinéaires.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Lois normales • Probabilités conditionnelles.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Probabilité conditionnelle
E35 → Partie B, 1. et 2. - Arbre pondéré
E37 → Partie B, 1. et 2. - Loi normale centrée réduite
E40 → Partie A, 2.c - Loi normale
E40 → Partie A, 2.d
Calculatrice
- Probabilités avec la loi normale
C3 → Partie A, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
centrée réduite associée à
et traduisez la condition
sous forme d'une équation faisant intervenir
et
.
Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l'équation obtenue et pour conclure.
Partie B
et
et concluez.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Logarithme népérien • Intégration.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Dérivation
E6 c • E6 e • E6 → Partie A, 1. Partie B, 2. a) et b)f - Continuité
E7 a • E7 b • E7 → Partie A, 2. Partie C, 2.c - Limites
E5 → Partie B, 1.a - Logarithme népérien
E9 → Partie A, 1. Partie B, 1. et 2. Partie C - Intégration
E11 c • E13 • E14 • E15 → Partie C, 2.a
Nos coups de pouce
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Construire un point de l'espace

La cote du point est égale à 1 et cette cote est identique à celle du point
. Dans le triangle OBS, la droite
est donc parallèle à la droite
.
> 2. Démontrer le parallélisme de deux droites de l'espace
est le point d'intersection du plan
et de la droite
donc
.
Par conséquent, .
- Nous avons :
Par conséquent, .
Nous avons pour résumer les éléments suivants :

Info
Si deux plans sécants
> 3. Justifier une orthogonalité

Nous devons démontrer que nous sommes dans la situation ci-contre (la figure n'est pas à l'échelle).
Pour cela, démontrons que le point appartient au segment
et que les vecteurs
et
sont orthogonaux.
Première méthode
Le point a pour coordonnées
. Nous avons donc :
Donc .
Remarquons aussi au passage que (utile pour la suite).
Calculons le produit scalaire .
Dans le triangle OBS, les points S, D, O et S, U, B sont rangés dans cet ordre et la droite est parallèle à la droite
. D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :
Par conséquent, et finalement
.
Ainsi :
Ensuite :
Comme le repère proposé est orthonormé et que est un carré de centre O,
,
et
donc :
Finalement :
Deuxième méthode
Le point a pour coordonnées
. Nous avons donc :
Donc .
Remarquons ensuite que, puisque est dans le plan
, nous avons :
Dans le triangle OBS, les points S, D, O et S, U, B sont rangés dans cet ordre et la droite est parallèle à la droite
. D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :
Calculons maintenant les coordonnées des vecteurs et
.
Nous avons finalement :
Partie B
> 1. Identifier un plan dont on fournit une équation cartésienne
> 2. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
Le plan (EAU) a pour équation cartésienne . Un vecteur
normal au plan (EAU) a donc pour coordonnées
.
Comme la droite est orthogonale au plan (EAU),
est aussi un vecteur directeur de
.
Sachant aussi que passe par le point S, une représentation paramétrique de
est :
> 3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan
> 4. Comparer des volumes
Enfin le point S ayant pour coordonnées , nous avons
.
- Comme la droite (d), passant par S, est orthogonale au plan (EAU) et que H est le point d'intersection de (d) et du plan (EAU), nous pouvons dire que la droite (SH) est orthogonale au plan (EAU). La droite (SH) est donc une hauteur de la pyramide
de base
.
Le volume du solide
est donné par :
.
D'après l'énoncé, on admet que : .
On constate alors que . Par conséquent
Exercice 2
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
> 1. a) Déterminer des coordonnées de points
- D'après l'énoncé,
et
, donc
le point a pour coordonnées .
- En utilisant les relations de récurrence fournies dans l'énoncé, nous avons :
- En utilisant les relations de récurrence fournies dans l'énoncé, nous avons :
b) Compléter un algorithme
Dans l'algorithme, .
La valeur de ayant changé dans la ligne juste au-dessus dans l'algorithme, il faut prendre ici la précaution d'utiliser la valeur de
avant modification, valeur qui est stockée dans
.
c) Identifier des points sur une figure
À l'aide des coordonnées des points trouvées à la question

> 2. a) Démontrer qu'une suite est constante
Par conséquent, la suite est constante et, pour tout entier naturel
:
Finalement, pour tout entier naturel , nous avons
.
b) Établir une relation de récurrence avec des nombres complexes
c) Démontrer une égalité à l'aide d'un raisonnement par récurrence
Démontrons par récurrence que P() est vraie pour tout entier naturel
.
Initialisation
Hérédité
Supposons que la propriété P() soit vraie pour un entier naturel
donné :
Démontrons alors que la propriété P() est vraie.
donc P(k+1) est vraie.
Par conséquent, nous en déduisons que, .
d) Déterminer un argument d'un nombre complexe
e) Construire des points à l'aide d'arguments algébriques
D'après l'énoncé, nous savons que :
Par proportionnalité, nous construisons comme indiqué ci-dessous.

Nous avons vu à la question étaient situés sur le cercle de centre O et de rayon 5.
Exercice 2
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
> 1. Effectuer un produit matriciel
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
> 2. Vérifier une égalité matricielle
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
> 3. Démontrer qu'une matrice est inversible
D'après la question
Or la matrice est la matrice identité d'ordre 3. Par définition,
.
Partie B : étude d'un cas particulier
> 1. Écrire un système sous forme matricielle
Un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l'équation. Ainsi, les points A, B et C appartient à la parabole d'équation si, et seulement si,
> 2. Résoudre un système à l'aide des matrices
Gagnez des points !
Vous pouvez vérifier vos résultats à l'aide de la calculatrice
Partie C : retour au cas général
> 1. Démontrer une implication
ce qui s'écrit également sous la forme suivante :
> 2. Établir des relations de congruence
- D'après la question
1. de cette partie, - Par suite,
et
- Toujours d'après la question
1. de la partieC , nous avons :
- Par somme,
> 3. a) Justifier une équivalence
Les trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et
sont colinéaires.
La colinéarité se traduisant par l'égalité :, les équivalences suivantes en découlent :
b) Déterminer une équation d'une parabole
- Choisissons
Comme
alors il existe un entier
tel que
Autrement dit,
.
- De même, choisissons
Comme
, alors il existe un entier
tel que
Autrement dit,
.
- Avec
,
et
, comme
, alors
et donc les trois points A, B et C ne sont pas alignés.
Les trois conditions étant vérifiées pour ces choix de ,
et
, nous en concluons qu'il existe trois entiers
et
tels que la parabole d'équation
passe par les points A, B et C.
Similairement à la partie
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A : contrôle avant la mise sur le marché
> 1. Calculer une probabilité avec une loi normale
Première méthode
Calculons . En remarquant que
et
, nous avons :
Deuxième méthode
Calculons . En prenant en compte le fait que
et
, nous avons :
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
> 2. Déterminer la valeur d'un écart type
D'après l'énoncé, nous devons avoir .
Par définition, la variable aléatoire suit la loi normale d'espérance
et d'écart type
si la variable aléatoire
suit la loi normale centrée réduite.
Nous devons donc résoudre l'équation d'inconnue :
où
suit la loi normale centrée réduite. Cette équation équivaut à
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons .
Partie B : contrôle à la réception
> 1. Déterminer une probabilité conditionnelle
Construisons un arbre pondéré qui traduit la situation proposée.
Le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves donc .
Le deuxième fournisseur procure 30 % du stock de fèves donc .
Le troisième fournisseur procure 20 % du stock de fèves donc .
98 % de la production du premier producteur respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du premier producteur est donc .
90 % de la production du deuxième producteur respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du deuxième producteur est donc .
20 % de la production du troisième producteur n'est pas conforme, donc 80 % de la production respecte le taux d'humidité de 7 % : la probabilité que la fève soit conforme sachant qu'elle provient du troisième producteur est donc .
On obtient ainsi l'arbre pondéré ci-dessous, où les probabilités non mentionnées précédemment s'obtiennent par le fait que la somme des probabilités placées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.

La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle que la fève provienne du premier fournisseur, sachant qu'elle est conforme, c'est donc .
Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire :
Grâce au calcul précédent, nous avons aussi : .
Finalement :
> 2. Déterminer une proportion
Reprenons la situation de la question précédente en nous limitant ici aux deux premiers fournisseurs. Si la proportion de fèves achetées au fournisseur 1 est p, nous avons . Ensuite
.
L'arbre pondéré associé à la situation proposée est donc le suivant :

L'énoncé impose . Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire :
Nous en déduisons :
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Justifier les variations d'une fonction
Première méthode
- La fonction
est dérivable sur
comme somme de fonctions (de référence) dérivables sur cet intervalle.
Sa dérivée est donnée sur
par
.
- Comme
,
et par suite,
. La dérivée
étant strictement positive sur
la fonction est alors strictement croissante sur .
Deuxième méthode
La fonction est la somme de la fonction logarithme népérien et d'une fonction affine (de coefficient
) qui sont toutes les deux strictement croissantes sur l'intervalle
. Par suite,
.
> 2. Démontrer l'existence d'une solution d'une équation
- La fonction
étant dérivable sur
, elle est continue sur
.
- D'après la question
1. , la fonctionest strictement croissante sur
.
- De plus,
et
.
> 3. Déterminer le signe d'une fonction
Des deux premières questions découle le tableau de variations suivant :

- La fonction
s'annule une seule fois en
.
- Comme
est strictement croissante sur
et
, la fonction
est strictement négative sur l'intervalle
.
- Similairement, comme
est strictement croissante sur
et
, la fonction
est strictement positive sur l'intervalle
.

Partie B
> 1. Déterminer la limite d'une fonction
D'une part, comme (limite de fonction usuelle), alors :
D'autre part, comme (limite de fonction usuelle), alors :
Par produit, nous avons et par somme, nous en concluons que
> 2. a) Déterminer la dérivée d'une fonction
b) Dresser le tableau de variations d'une fonction
Comme , le signe de
correspond au signe de
déterminé à la question

Partie C
> 1. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection
> 2. Calculer une intégrale et l'interpréter graphiquement
- Nous avons :
Or la fonction est une primitive de la fonction
sur l'intervalle
donc sur
. De plus, d'après l'énoncé,
est une primitive de la fonction
sur l'intervalle
donc également sur
. Il en découle que :
Ainsi, pour tout de l'intervalle
,
et comme
.
Comme la fonction et la fonction logarithme népérien sont continues sur l'intervalle
, et comme pour tout
de cet intervalle,
, alors l'intégrale
est
