Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant, il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l’on dénombre 484 gauchers.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d’élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d’une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d’élèves de CE2. On appelle la variable aléatoire qui donne le temps en secondes mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type

a) 0,50

b) 0,68

c) 0,84

d) 0,95

a) s

b) s

c) s

d) s

Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l’association sportive.

Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.

De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive.

On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :

• l’événement « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ;
• l’événement « l’élève choisi est fumeur ».

Rappel des notations :

Si et sont deux événements, désigne la probabilité de l’événement et désigne la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé.

On note l’événement contraire de .

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.

On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi, les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive. (1,5 point)

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1^er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1^er janvier 2012, puis à 500 agences au 1^er janvier 2014.

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction définie sur par , où , et sont trois nombres réels.

La variable désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de correspond donc à l’année 2010.

Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction .

On cherche à déterminer la valeur des coefficients , et .

b) En déduire que le système précédent est équivalent à :

avec , et une matrice colonne que l’on précisera. (0,5 point)

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients , et en détaillant les calculs. (0,75 point)

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.

b) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

a) Le point d’arrivée est le même que le point de départ. (0,75 point)

b) Le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ. (0,75 point)

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.

Au 1^er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.

À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1^er janvier de chaque année.

Pour tout entier naturel , le terme représente le nombre de singes au 1^er janvier de l’année . On a ainsi .

a) au 1^er janvier 2005, (0,5 point)

b) au 1^er janvier 2006, en arrondissant à l’entier. (0,5 point)

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous. (1 point)

Au 1^er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel , le terme de la suite représente le nombre de singes au 1^er janvier de l’année . On a ainsi .

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de . (0,5 point)

b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat. (0,5 point)

Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction dont la courbe représentative a été tracée ci-dessus.

En abscisses, représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.

En ordonnées, représente le nombre de milliers de jouets vendus le -ième jour.

Ainsi par exemple, le 10^e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.

On admet que la fonction est définie sur l’intervalle par :

a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale . (0,75 point)

b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. (0,5 point)

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction est convexe. (0,5 point)