Amérique du Nord • Juin 2015
matT_1506_02_01C
Sujets complets
2
Amérique du Nord • Juin 2015
Sujet complet • 20 points
Exercice 1 (4 points)
QCM : estimation du nombre de gauchers et rapidité de lecture d’élèves
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
partie A
Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant, il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l’on dénombre 484 gauchers.
) :
de l’échantillon que l’on doit choisir afin d’obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :
partie B
Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d’élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d’une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d’élèves de CE2. On appelle 
la variable aléatoire qui donne le temps en secondes mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que 
suit la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
arrondie au centième est :
la durée de lecture vérifiant 
. La valeur de 
arrondie à l’entier est :
s
s
s
s
Exercice 2 (5 points)
Élèves inscrits à l’association sportive et élèves fumeurs
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Les parties A et B sont indépendantes.
Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l’association sportive.
Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive.
On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :
l’événement « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ;
l’événement « l’élève choisi est fumeur ».
Rappel des notations :
Si 
et 
sont deux événements, 
désigne la probabilité de l’événement 
et 
désigne la probabilité de l’événement 
sachant que l’événement 
est réalisé.
On note 
l’événement contraire de 
.
Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
partie A
et 
. (0,5 point)
et interpréter ce résultat. (1 point)
partie B
Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.
On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi, les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive. (1,5 point)
Exercice 2 (5 points)
Agences de services et circuits dans les rues d’une ville
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1er janvier 2012, puis à 500 agences au 1er janvier 2014.
On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction 
définie sur 
par 
, où 
, 
et 
sont trois nombres réels.
La variable 
désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et 
exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de 
correspond donc à l’année 2010.
Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction 
.
partie A
On cherche à déterminer la valeur des coefficients 
, 
et 
.
avec 
, 
et 
une matrice colonne que l’on précisera. (0,5 point)
À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients 
, 
et 
en détaillant les calculs. (0,75 point)
partie B
Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.
Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.
Exercice 3 (6 points)
Évolution d’une population de singes
Commun à tous les candidats
Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.
partie A
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.
Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.
À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.
Pour tout entier naturel 
, le terme 
représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 
. On a ainsi 
.
, on a 
. (0,5 point)
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous. (1 point)
|
L1 : |
Variables |
u un réel, n un entier |
|
|
L2 : |
Initialisation |
u prend la valeur 25 000 |
|
|
L3 : |
|
n prend la valeur 0 |
|
|
L4 : |
Traitement |
Tant que ………faire |
|
|
L5 : |
|
|
u prend la valeur……… |
|
L6 : |
|
|
n prend la valeur……… |
|
L7 : |
|
Fin Tant que |
|
|
L8 : |
Sortie |
Afficher n |
|
affichée après l’exécution de l’algorithme est 10. (0,5 point)
partie B
Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.
On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel 
, le terme 
de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année 
. On a ainsi 
.
et 
. (0,5 point)
, on a :
. (0,5 point)
définie pour tout entier naturel 
par :
.
est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de 
. (0,5 point)
, exprimer 
en fonction de 
. (0,5 point)
, on a :
. (0,5 point)
et interpréter ce résultat. (0,5 point)
Exercice 4 (5 points)
Modélisation des ventes espérées d’un jouet après une campagne publicitaire
Commun à tous les candidats
partie A
Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative 
d’une fonction 
définie et dérivable sur l’intervalle 
ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.
On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées 
et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.
et 
. (0,5 point)
partie B
Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction 
dont la courbe représentative 
a été tracée ci-dessus.
En abscisses, 
représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.
En ordonnées, 
représente le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.
On admet que la fonction 
est définie sur l’intervalle 
par :
où 
désigne la fonction dérivée de 
sur l’intervalle 
. (0,5 point)
sur 
puis dresser le tableau de variations de 
sur 
. (1 point)
partie C
définie sur 
par :
est une primitive de la fonction 
.
. (0,75 point)
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction 
est convexe. (0,5 point)
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 30 minutes
Les thèmes en jeu
Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
, on peut déterminer un intervalle de confiance d’amplitude 
.
Partie B
Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Matrice • Chaîne eulérienne.
Les conseils du correcteur
Partie A
équivaut à 
.
, 
et 
déterminées à la question précédente.
Au 1er janvier 2016, il s’est écoulé 6 ans depuis le 1er janvier 2010, on calcule 
.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
telle que 
a pour limite 0.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Convexité.
Les conseils du correcteur
Partie A
et 
sont les coefficients directeurs de deux tangentes à 
.
Partie B
Partie C
de 
donnée.
, où 
est la dérivée seconde de 
.
Le signe de 
permet de déterminer la convexité de 
.
Exercice 1
Commun à tous les candidats
partie A
> 1. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95
Notez bien
Si 
est la fréquence d’individus possédant un caractère donné dans un échantillon de taille 
, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion d’individus possédant le caractère dans l’ensemble de la population est 
La fréquence 
de gauchers dans l’échantillon étudié est :
.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de gauchers dans la population française est :
,
soit, en arrondissant les bornes à 
.
Gagnez des points !
On a vu à la question 1. qu’à partir d’un échantillon de taille 4 000, on obtient un intervalle de confiance au niveau 0,95 d’amplitude environ égale à 0,032. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude plus petite, on doit donc considérer un échantillon plus grand, c’est-à-dire de taille 
telle que 
. Cela permet d’éliminer directement les réponses a) et b).
> 2. Déterminer la taille d’un échantillon permettant d’obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude donnée
À partir d’un échantillon de taille 
, on obtient un intervalle de confiance au niveau 0,95 d’amplitude 
. Cette amplitude est égale à 0,01 si et seulement si :
partie B
Conseil
On sait que, si 
est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
, alors :
,
,
.
Si l’on veut déterminer une probabilité du type 
et que l’intervalle 
a pour centre 
, il est conseillé de regarder si le rayon de cet intervalle est 
, 
ou 
.
> 3. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Avec 
et 
, on a :
et 
.
Donc 
(arrondie au centième) d’après un résultat du cours.
> 4. Déterminer une borne d’un intervalle connaissant une probabilité associée à une loi normale
On utilise la calculatrice ; on saisit la probabilité 0,9 donnée et les paramètres de la loi de 
.
Sur le graphique ci-dessous, la courbe représente la fonction de densité de probabilité de la loi de 
. L’aire du domaine coloré est égale à 0,9.
Exercice 2
Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L
Partie A
> 1. Préciser d’après l’énoncé les valeurs de deux probabilités
20,3 % des élèves du collège sont inscrits à l’association sportive, d’où :
Parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive, d’où :
> 2. Compléter un arbre de probabilités
Les probabilités sont indiquées en vert sur l’arbre.
car, d’après l’énoncé, 17,8 % des élèves du collège sont fumeurs.
On en déduit 
.
Les deux autres probabilités indiquées sont les probabilités conditionnelles :
et 
.
> 3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements
Attention !
La probabilité calculée est la probabilité de l’intersection de deux événements. Elle ne doit pas être confondue avec une probabilité conditionnelle.
D’après l’arbre ci-dessus :
en arrondissant au millième.
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité demandée est 
car l’élève est choisi parmi ceux inscrits à l’association sportive.
Par définition d’une probabilité conditionnelle , 
étant non nulle :
> 5. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité demandée est 
car l’élève est choisi parmi les élèves fumeurs.
Par définition d’une probabilité conditionnelle, 
étant non nulle :
Or 
car 
et 
forment une partition de l’univers, d’où :
.
D’où, en arrondissant au millième :
Partie B
> Calculer une probabilité à partir d’une variable aléatoire à définir
On peut assimiler l’expérience (le « choix » des quatre gagnants) à la répétition de quatre épreuves (choix d’un élève au hasard parmi les élèves du collège) successives, identiques et indépendantes, correspondant au « choix » des quatre gagnants.
Pour chacune de ces épreuves, on appelle « succès » l’événement 
« l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ; la probabilité de succès est 
.
On appelle 
la variable aléatoire égale au nombre d’élèves inscrits à l’association sportive parmi les quatre gagnants, c’est-à-dire égale au nombre de succès lors de la répétition de quatre épreuves successives identiques et indépendantes.
suit la loi binomiale de paramètres 
et 
.
La probabilité que, parmi les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive est 
Exercice 2
Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
> 1. a) Traduire une situation par un système d’équations
car il y a 200 agences en 2010, donc 
.
car il y a 300 agences en 2012, donc 
.
car, en 2014, le nombre d’agences est passé à 500, donc 
.
D’où le système :
b) Écrire un système d’équations sous forme matricielle
Le système précédent est équivalent à 
c’est-à-dire :
> 2. Résoudre un système d’équations à l’aide de matrices
La matrice 
est supposée inversible, donc 
équivaut à 
, soit :
.
D’où :
> 3. Calculer l’image d’un nombre par une fonction
, donc le nombre d’agences, en centaines, au 1er janvier 2016 est :
.
Partie B
> 1. a) Indiquer si un graphe est connexe
Entre deux sommets quelconques, il existe au moins une chaîne, aucun sommet n’est isolé.
b) Indiquer si un graphe est complet
Deux sommets quelconques ne sont pas nécessairement reliés par une arête ; par exemple, il n’existe pas d’arête d’extrémités A et C.
> 2. a) Déterminer si un graphe possède un cycle eulérien
Un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue et dont le point d’arrivée est le même que le point de départ est un cycle eulérien du graphe.
Pour déterminer si le graphe possède un cycle eulérien, on détermine le degré de chaque sommet, c’est-à-dire le nombre d’arêtes dont une extrémité est ce sommet.
D’après le théorème d’Euler, un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si il est connexe et n’a aucun sommet de degré impair.
|
Sommet |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
|
Degré |
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
2 |
Gagnez des points !
Le graphe possède 21 arêtes. La somme des nombres figurant sur la deuxième ligne du tableau établi à la question a) est égale à 42 (chaque arête est comptée deux fois).
On vérifie que le circuit proposé ci‑dessus comporte bien 21 arêtes.
Le graphe donné est connexe, mais il possède deux sommets de degré impair : les sommets H et I sont de degré 3. Ce graphe ne possède donc pas de cycle eulérien.
b) Déterminer si un graphe possède une chaîne eulérienne qui n’est pas un cycle
Toujours d’après le théorème d’Euler, un graphe admet une chaîne eulérienne d’extrémités deux sommets donnés si et seulement si il est connexe et ces deux sommets sont les seuls de degré impair.
D’après le tableau établi à la question précédente, il existe donc sur le graphe au moins une chaîne eulérienne d’extrémités H et I.
Un exemple de tel circuit est :
|
H – D – C - G – H – L – M – I – E – B – A – D – E – F – J – K – P – O – M – N – J – I |
Exercice 3
Commun à tous les candidats
partie A
> 1. Calculer deux termes d’une suite
Notez bien
0,85 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 15 % ; une quantité qui baisse de 15 % est multipliée par 0,85.
soit, en arrondissant à l’unité :
> 2. Déterminer l’expression du terme général d’une suite
Pour tout entier naturel 
:
La suite 
est géométrique de raison 
Donc, pour tout entier naturel 
:
> 3. Compléter un algorithme
Gagnez des points !
D’après la question précédente, la suite 
a pour limite 0. Donc, pour tout nombre réel strictement positif 
fixé, il existe un entier naturel 
tel que, pour tout 
, 
.
Pour savoir au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera pour la première fois inférieur à 5 000, on peut utiliser l’algorithme ci-dessous :
|
L1 : |
Variables |
|
|
|
L2 : |
Initialisation |
|
|
|
L3 : |
|
|
|
|
L4 : |
Traitement |
Tant que |
|
|
L5 : |
|
|
|
|
L6 : |
|
|
|
|
L7 : |
|
Fin Tant que |
|
|
L8 : |
Sortie |
Afficher |
|
> 4. Déterminer le nombre affiché en sortie d’un algorithme
On peut dresser un tableau d’étapes (valeurs de 
arrondies à l’unité) :
|
u |
25 000 |
21 250 |
18 063 |
15 353 |
13 050 |
11 093 |
9 429 |
8 014 |
6 812 |
5 790 |
4 922 |
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
u≥ 5 000 |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
vrai |
faux |
L’algorithme calcule les termes successifs de la suite ; il s’arrête dès qu’il obtient un terme inférieur à 5 000 et affiche l’indice du « premier » terme inférieur à 5 000. D’après le tableau précédent, le « premier » terme inférieur à 5 000 est 
.
D’ailleurs 
et 
La valeur de 
affichée après l’exécution de l’algorithme est donc :
Partie B
> 1. a) Calculer deux termes d’une suite
b) Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite
Pour tout entier naturel 
:
> 2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Son premier terme est 
.
b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
D’après le cours, pour tout entier naturel 
:
c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
d) Déterminer et interpréter la limite d’une suite
La suite 
a pour limite 1 600.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
Partie A
> 1. Lire graphiquement deux nombres dérivés
Notez bien
Si A et B sont deux points de coordonnées respectives 
et 
, avec 
, alors la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et a pour coefficient directeur 
.
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point B ; cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur est 0, donc :
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point A ; cette tangente est la droite (AE). Son coefficient directeur est 
. Donc :
> 2. Interpréter graphiquement la notion de point d’inflexion
D est un point d’inflexion de 
, donc 
partie B
> 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Pour tout réel 
appartenant à 
:
> 2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
. Donc :
- si
, alors 
, donc
- si
, alors 
, donc 
.
On en déduit que 
est strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
. D’où le tableau de variations :
> 3. Étudier le maximum d’une fonction
Attention !
désigne le nombre de milliers de jouets vendus le 
-ième jour.
D’après la question précédente,
partie C
> 1. a) Calculer une intégrale
est une primitive de 
, donc :
b) Calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Une estimation du nombre moyen de milliers de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours est donnée par la valeur moyenne de 
sur l’intervalle 
, c’est-à-dire
à 
près.
> 2. Étudier la convexité d’une fonction
La fonction 
est convexe sur l’intervalle 
si et seulement si, pour tout 
dans cet intervalle, 
.
D’après le dernier résultat fourni par le logiciel de calcul formel, 
est définie par :
pour tout réel 
, donc 
a le signe de 
.
Donc :
