Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

Amérique du Nord • Juin 2015

matT_1506_02_01C

Sujets complets

2

Amérique du Nord • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (4 points)
QCM : estimation du nombre de gauchers et rapidité de lecture d’élèves

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

partie A

Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant, il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l’on dénombre 484 gauchers.

>1. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la proportion de gauchers dans la population française est (les bornes ont été arrondies à ) :

a)

b)

c)

d)

>2. La taille de l’échantillon que l’on doit choisir afin d’obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :

a)

b)

c)

d)

partie B

Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d’élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d’une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d’élèves de CE2. On appelle la variable aléatoire qui donne le temps en secondes mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type

>3. La probabilité arrondie au centième est :

a) 0,50

b) 0,68

c) 0,84

d) 0,95

>4. On note la durée de lecture vérifiant . La valeur de arrondie à l’entier est :

a) s

b) s

c) s

d) s

Exercice 2 (5 points)
Élèves inscrits à l’association sportive et élèves fumeurs

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l’association sportive.

Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.

De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive.

On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :

  • l’événement « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ;
  • l’événement « l’élève choisi est fumeur ».

Rappel des notations :

Si et sont deux événements, désigne la probabilité de l’événement et désigne la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé.

On note l’événement contraire de .

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie A

>1. D’après les données de l’énoncé, préciser les valeurs des probabilités et . (0,5 point)

>2. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante. (0,5 point)


 

>3. Calculer la probabilité de l’événement et interpréter ce résultat. (1 point)

>4. On choisit un élève au hasard parmi ceux inscrits à l’association sportive. Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur. (0,5 point)

>5. On choisit un élève au hasard parmi les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit à l’association sportive est 0,101. (1 point)

partie B

Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.

On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi, les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive. (1,5 point)

Exercice 2 (5 points)
Agences de services et circuits dans les rues d’une ville

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Un créateur d’entreprise a lancé un réseau d’agences de services à domicile. Depuis 2010, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi l’entreprise, qui comptait 200 agences au 1er janvier 2010, est passée à 300 agences au 1er janvier 2012, puis à 500 agences au 1er janvier 2014.


 

On admet que l’évolution du nombre d’agences peut être modélisée par une fonction définie sur par , où , et sont trois nombres réels.

La variable désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et exprime le nombre d’agences en centaines. La valeur 0 de correspond donc à l’année 2010.

Sur le dessin ci-contre, on a représenté graphiquement la fonction .

partie A

On cherche à déterminer la valeur des coefficients , et .

>1. a) À partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations traduisant cette situation. (0,75 point)

b) En déduire que le système précédent est équivalent à :

avec , et une matrice colonne que l’on précisera. (0,5 point)

>2. On admet que

À l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients , et en détaillant les calculs. (0,75 point)

>3. Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1er janvier 2016. (0,5 point)

partie B

Le responsable d’une agence de services à domicile implantée en ville a représenté par le graphe ci-dessous toutes les rues dans lesquelles se trouvent des clients qu’il doit visiter quotidiennement. Dans ce graphe, les arêtes sont les rues et les sommets sont les intersections des rues.


 

>1. a) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est complet. (0,5 point)

Ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue dans laquelle se trouvent des clients.

>2. Déterminer si ce circuit existe dans les deux cas suivants :

a) Le point d’arrivée est le même que le point de départ. (0,75 point)

b) Le point d’arrivée n’est pas le même que le point de départ. (0,75 point)

Exercice 3 (6 points)
Évolution d’une population de singes

Commun à tous les candidats

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

partie A

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15 % chaque année.

Au 1er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes.

À l’aide d’une suite, on modélise la population au 1er janvier de chaque année.

Pour tout entier naturel , le terme représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année . On a ainsi .

>1. Calculer l’effectif de cette population de singes :

a) au 1er janvier 2005, (0,5 point)

b) au 1er janvier 2006, en arrondissant à l’entier. (0,5 point)

>2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a . (0,5 point)

>3. Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’années après le 1er janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à 5 000.

Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous. (1 point)

 

L1 :

Variables

u un réel, n un entier

L2 :

Initialisation

u prend la valeur 25 000

L3 :

n prend la valeur 0

L4 :

Traitement

Tant que ………faire

L5 :

u prend la valeur………

L6 :

n prend la valeur………

L7 :

Fin Tant que

L8 :

Sortie

Afficher n

 

>4. Montrer que la valeur de affichée après l’exécution de l’algorithme est 10. (0,5 point)

partie B

Au 1er janvier 2014, une nouvelle étude a montré que la population de cette race de singes, dans la réserve naturelle, ne comptait plus que 5 000 individus. La maladie prenant de l’ampleur, on met en place un programme de soutien pour augmenter le nombre de naissances. À partir de cette date, on estime que, chaque année, un quart des singes disparaît et qu’il se produit 400 naissances.

On modélise la population de singes dans la réserve naturelle à l’aide d’une nouvelle suite. Pour tout entier naturel , le terme de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l’année . On a ainsi .

>1. a) Calculer et . (0,5 point)

b) Justifier que, pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

>2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par :

.

a) Montrer que est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser la valeur de . (0,5 point)

b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de . (0,5 point)

c) En déduire que pour tout entier naturel , on a :

. (0,5 point)

d) Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat. (0,5 point)

Exercice 4 (5 points)
Modélisation des ventes espérées d’un jouet après une campagne publicitaire

Commun à tous les candidats

partie A

Sur le graphique ci-après, on a tracé la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ainsi que les tangentes au point A d’abscisse 0, au point B d’abscisse 5 et au point D d’abscisse 10.

On sait aussi que la tangente au point A passe par le point E de coordonnées et que la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.


 

>1. Donner les valeurs de et . (0,5 point)

>2. On admet que D est un point d’inflexion. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)

partie B

Une entreprise s’apprête à lancer sur le marché français un nouveau jouet destiné aux écoliers. Les ventes espérées ont été modélisées par la fonction dont la courbe représentative a été tracée ci-dessus.

En abscisses, représente le nombre de jours écoulés depuis le début de la campagne publicitaire.

En ordonnées, représente le nombre de milliers de jouets vendus le -ième jour.

Ainsi par exemple, le 10e jour après le début de la campagne publicitaire, l’entreprise prévoit de vendre environ 6 800 jouets.

On admet que la fonction est définie sur l’intervalle par :

>1. Montrer que désigne la fonction dérivée de sur l’intervalle . (0,5 point)

>2. Étudier le signe de sur puis dresser le tableau de variations de sur . (1 point)

>3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le maximum de ventes par jour est atteint. Préciser la valeur de ce maximum, arrondie à l’unité. (0,75 point)

partie C

>1. On admet que la fonction définie sur par :

est une primitive de la fonction .

a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale . (0,75point)

b) En déduire une estimation du nombre moyen de jouets vendus par jour durant la période des 10 premiers jours. On arrondira le résultat à l’unité. (0,5point)

>2. Un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants :

 

1

2

 

Utiliser ces résultats pour déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonction est convexe. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. À partir d’un échantillon de taille , on peut déterminer un intervalle de confiance d’amplitude .

Partie B

>3. Utilisez un résultat du cours.

>4. Utilisez la calculatrice.

Exercice 2 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Les deux premières probabilités sont des probabilités simples, les deux autres sont des probabilités conditionnelles.

>4. et 5. Les probabilités demandées sont des probabilités conditionnelles.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Matrice • Chaîne eulérienne.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. équivaut à .

>3. Utilisez les valeurs de , et déterminées à la question précédente.

Au 1er janvier 2016, il s’est écoulé 6 ans depuis le 1er janvier 2010, on calcule .

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Chaque année, le nombre de singes baisse de 15 %, il est donc multiplié par 0,85.

Partie B

>2. b) Utilisez la formule du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

>2. d) Une suite géométrique de raison telle que a pour limite 0.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Point d’inflexion • Fonction exponentielle • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction • Convexité.

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. et sont les coefficients directeurs de deux tangentes à .

Partie B

>1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

>2. Utilisez une propriété de la fonction exponentielle et appliquez la « règle des signes ».

Partie C

>1. a) Utilisez la primitive de donnée.

b) Utilisez la notion de valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

>2. Le logiciel de calcul formel donne deux expressions de , où est la dérivée seconde de .

Le signe de permet de déterminer la convexité de .