Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Sujet complet d’Amérique du Nord 2015

Amérique du Nord • Juin 2015

matT_1506_02_02C

Sujets complets

4

Amérique du Nord • Juin 2015

Sujet complet • 20 points

Exercice 1 (5 points)
Promenade sur une pyramide

Commun à tous les candidats


Dans l’espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l’espace tel que soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0    0    3) dans ce repère.

Partie A

>1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure ci-dessus.

>2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure ci-dessus.

>3. Soit K le point de coordonnées .

Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.

Partie B

Dans cette partie, on admet que l’aire du quadrilatère AUVE est .

>1. On admet que le point U a pour coordonnées .

Vérifier que le plan (EAU) a pour équation 3x &ndash 3y +  5z &ndash 3 = 0.

>2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (EAU) passant par le point S.

>3. Déterminer les coordonnées de H, point d’intersection de la droite (d) et du plan (EAU).

>4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume  ?

Exercice 2 (5 points)
Entrez dans la ronde  !

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel  n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn  yn) de la façon suivante  :

>1. a) Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.

b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant  :


Variables

i, x, y, t  : nombres réels

Initialisation

x prend la valeur &ndash 3

y prend la valeur 4

Traitement

Pour i allant de 0 à 20

 


 


Construire le point de coordonnées (x  y)

t prend la valeur x

x prend la valeur ………

y prend la valeur ………

 


Fin Pour

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20.

c) &Agrave l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant  :


Identifier les points A0, A1 et A2. On les nommera sur la figure ci-dessus.

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel  ?

>2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn=  xn+  iyn l’affixe du point An.

a) Soit . Montrer que, pour tout entier naturel n, un=  5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat  ?

b) On admet qu’il existe un réel &theta tel que cos  &theta =  0,8 et sin  &theta =  0,6.

Montrer que, pour tout entier naturel n, ei&theta zn=  zn+1.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=  ein&theta z0.

d) Montrer que est un argument du nombre complexe z0.

e) Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et &theta , un argument du nombre complexe zn. Représenter &theta sur la figure ci-dessus.

Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point  An+1 à partir du point An.

Exercice 2 (5 points)
La drôle de parabole

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On donne les matrices &ensp et&ensp .

Partie A

>1. Déterminer la matrice M2. On donne .

>2. Vérifier que M3=M2+ 8M + 6I.

>3. En déduire que M est inversible et que .

Partie B  : &Eacute tude d’un cas particulier

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A(1    1), B(&ndash 1    &ndash 1) et C(2    5).

>1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que

.

>2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C  : Retour au cas général

Les nombres a, b, c, p, q, r sont des entiers.

Dans un repère , on considère les points A(1    p), B(&ndash 1    q) et C(2    r).

On cherche des valeurs de p, q et r pour qu’il existe une parabole d’équation y =ax2+bx +c passant par A, B et C.

>1. Démontrer que si avec a, b et c entiers, alors&ensp .

>2. En déduire que .

>3. Réciproquement, on admet que si alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A, B et C.

a) Montrer que les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, 2r +q &ndash 3p = 0.

b) On choisit p = 7. Déterminer des entiers q, r, a, b et c tels que la parabole d’équation y =ax2+bx +c passe par les points A, B et C.

Exercice 3 (4 points)
&Agrave vos tablettes  !

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.

Partie A  : Contrôle avant la mise sur le marché

Une tablette de chocolat doit peser 100  grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102  grammes.

La masse (exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance &micro = 100 et d’écart type &sigma = 1. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de &sigma .

>1. Calculer la probabilité de l’événement M  : «  la tablette est mise sur le marché  ».

>2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet événement atteigne 0,97.

Déterminer la valeur de &sigma pour que la probabilité de l’événement «  la tablette est mise sur le marché  » soit égale à 0,97.

Partie B  : Contrôle à la réception

Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d’humidité qui doit être de 7  %. On dit alors que la fève est conforme. L’entreprise a trois fournisseurs différents  : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30  % et le dernier apporte 20  % du stock.

Pour le premier, 98  % de sa production respecte le taux d’humidité  pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90  % de sa production est conforme, et le troisième fournit 20  % de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note Fi l’événement «  la fève provient du fournisseur i  », pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C l’événement «  la fève est conforme  ».

>1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur  1, sachant qu’elle est conforme. Le résultat sera arrondi à 10&ndash 2.

>2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, l’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs  1  et  2. De plus, elle souhaite que 92  % de fèves qu’elle achète soient conformes. Quelle proportion p de fèves doit-elle acheter au fournisseur  1 pour atteindre cet objectif  ?

Exercice 4 (6 points)
Aire entre deux courbes

Commun à tous les candidats

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 +&infin [ par u(x) = ln(x) +x &ndash 3.

>1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 +&infin [.

>2. Démontrer que l’équation u(x) = 0 admet une unique solution &alpha comprise entre 2 et 3.

>3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 +&infin [ par .

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

>1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

>2. a) Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 +&infin [, où u est la fonction définie dans la partie A.

b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0    +&infin [.

Partie C

Soit C&prime la courbe d’équation y = ln(x).

>1. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 +&infin [, .

En déduire que les courbes C et C&prime ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.

>2. On admet que la fonction H définie sur l’intervalle ]0 +&infin [ par est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle ]0 +&infin [ par .

Calculer .

Interpréter graphiquement ce résultat.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Position relative • Produit scalaire dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Parallélisme   E25  → Partie  A, 2.
  • Décomposition d’un vecteur   E29  → Partie  A, 3.  Partie  B, 1. et 4.
  • Produit scalaire   E31b• E31c• E32a• E32b  → Partie  A, 3.  Partie  B, 4.
  • &Eacute quation cartésienne d’un plan   E33c  → Partie  B, 1. à 3.
  • Représentation paramétrique d’une droite   E30  → Partie  B, 2. et 3.

Nos coups de pouce

Partie  A

>2. Pensez à utiliser le théorème du toit en vérifiant au préalable que toutes les hypothèses sont satisfaites.

>3. Justifiez que le point K appartient au segment [AE] puis, à l’aide du produit scalaire, que les vecteurs et sont orthogonaux.

Partie  B

>4. Calculez le volume du solide de base en identifiant clairement la hauteur correspondante.

Exercice 2 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de  spécialité)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Raisonnement par récurrence   E1  → 2. c)
  • Module d’un nombre complexe   E18  → 2. a)
  • Argument d’un nombre complexe   E19  → 2. d) et e)
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe   E21  → 2. b), c) et e)
  • Nombres complexes et géométrie   E22  → 2. a) et e)

Nos coups de pouce

>2. a) Pensez à démontrer que la suite est constante et calculez ensuite son premier terme.

c) Utilisez ici un raisonnement par récurrence pour démontrer l’égalité demandée.

Exercice 2 (Candidats ayant suivi l’enseignement de  spécialité)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Arithmétique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

  • Calcul matriciel   C5  → Partie  A, 1., 2. et 3.  Partie  B, 2.

Nos coups de pouce

Partie  B

>1. Utilisez le fait qu’un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées en vérifient l’équation. &Eacute crivez ensuite les trois égalités qui en découlent sous forme matricielle.

Partie  C

>3. a) Souvenez-vous  : trois points A, B et C du plan sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois normales • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Probabilité conditionnelle   E35  → Partie  B, 1. et 2.
  • Arbre pondéré   E37  → Partie  B, 1. et 2.
  • Loi normale centrée réduite   E40c  → Partie  A, 2.
  • Loi normale   E40d  → Partie  A, 2.

Calculatrice

  • Probabilités avec la loi normale   C3  → Partie  A, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie  A

>2. Introduisez la variable aléatoire centrée réduite associée à et traduisez la condition sous forme d’une équation faisant intervenir et .

Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie  B

>1. Traduisez la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré. Calculez les probabilités et et concluez.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée  : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation   E6c• E6e• E6f  → Partie  A, 1.  Partie  B, 2. a) et b)
  • Continuité   E7a• E7b• E7c  → Partie  A, 2.  Partie  C, 2.
  • Limites   E5a  → Partie  B, 1.
  • Logarithme népérien   E9  → Partie  A, 1.  Partie  B, 1. et 2.  Partie  C
  • Intégration   E11c• E13 • E14 • E15a  → Partie  C, 2.

Nos coups de pouce

Partie  C

>1. &Eacute crivez les trois conditions que doit vérifier un point pour appartenir aux deux courbes représentatives citées. &Eacute tablissez le lien avec l’égalité démontrée à la même question. Concluez.

>2. Démontrez que sur l’intervalle étudié, , avant d’interpréter graphiquement l’intégrale.