Sujet complet d'Amérique du Nord 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Amérique du Nord 2016

Exercice 1 (5 points)
 Répartition d’automobilistes à une gare de péage et étude de leur vitesse

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie A

À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes ;

52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ;

les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

G : « l’automobiliste emprunte la voie de gauche » ;

C : « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ;

D : « l’automobiliste emprunte la voie de droite » :

T : « l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note 5552293-Eqn1 l’événement contraire de l’événement T.

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (1 point)

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. Calculer la probabilité 5552293-Eqn2. (0,5 point)

3. L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

a) Justifier que 5552293-Eqn3. (1 point)

b) Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. (1 point)

partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l’autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire 5552293-Eqn4 qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h–1.

On admet que 5552293-Eqn6 suit la loi normale d’espérance 5552293-Eqn7 et d’écart-type 5552293-Eqn8.

1. Déterminer la probabilité 5552293-Eqn9. On arrondira le résultat au millième. (0,5 point)

2. Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h–1.

Déterminer la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième. (1 point)

Exercice 2 (5 points) 
Nombre d’abonnés à un service de jeux sur téléphone mobile

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de cette société ont constaté que, d’un mois sur l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.

1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016. (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique 5552293-Eqn115552293-Eqn12 représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de 5552293-Eqn13 mois après le 1er janvier 2016.

La suite 5552293-Eqn14 est donc définie par 5552293-Eqn15 et, pour tout entier naturel 5552293-Eqn16 :

5552293-Eqn17.

2. On considère l’algorithme suivant :

Variables 

N est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Traitement 

U prend la valeur 4

N prend la valeur 0

Tant que 5552293-Eqn18

U prend la valeur 5552293-Eqn19

N prend la valeur 5552293-Eqn20

Fin Tant que

Sortie 

Afficher N

a) Recopier le tableau suivant et compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième. (1 point)

Valeur de U

4

……

……

Valeur de N

0

……

……

Condition U < 40

vraie

……

……

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

3. On considère la suite 5552293-Eqn21 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn22 par :

5552293-Eqn23.

a) Montrer que la suite 5552293-Eqn24 est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme 5552293-Eqn25. (1 point)

b) Donner l’expression de 5552293-Eqn26 en fonction de 5552293-Eqn27. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn28, on a :

5552293-Eqn29. (0,5 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
 Répartition entre deux types d’abonnement

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement.

Jusqu’en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel 5552293-Eqn30, on note :

5552293-Eqn31 la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l’année 5552293-Eqn32 ;

5552293-Eqn33 la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l’année 5552293-Eqn34 ;

5552293-Eqn35 la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 5552293-Eqn36.

On a donc 5552293-Eqn37 , 5552293-Eqn38 et 5552293-Eqn39.

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l’état « abonné à la version papier » et B l’état « abonné à la version numérique ». (0,5 point)

b) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre A, B des sommets. (0,5 point)

c) Montrer que 5552293-Eqn40 (0,5 point)

2. On admet que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn41, on a :

5552293-Eqn42 et 5552293-Eqn43.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l’évolution des deux types d’abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1

Entrée

Saisir 5552293-Eqn44

Traitement 

5552293-Eqn45 prend la valeur 1

5552293-Eqn46 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn47

5552293-Eqn48 prend la valeur 5552293-Eqn49

5552293-Eqn50 prend la valeur 5552293-Eqn51

Afficher 5552293-Eqn52 et 5552293-Eqn53

Fin Pour

Algorithme 2

Entrée

Saisir 5552293-Eqn54

Traitement 

5552293-Eqn55 prend la valeur 1

5552293-Eqn56 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn57

5552293-Eqn58 prend la valeur 5552293-Eqn59

5552293-Eqn60 prend la valeur 5552293-Eqn61

5552293-Eqn62 prend la valeur 5552293-Eqn63

Afficher 5552293-Eqn64 et 5552293-Eqn65

Fin Pour

Sachant qu’un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. (1 point)

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn66, on a :

5552293-Eqn67. (0,5 point)

b) On considère la suite 5552293-Eqn68 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn69 par :

5552293-Eqn70.

Montrer que la suite 5552293-Eqn71 est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer 5552293-Eqn72. (0,5 point)

c) Donner l’expression de 5552293-Eqn73 en fonction de 5552293-Eqn74.

En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn75, on a :

5552293-Eqn76. (1 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %. (0,5 point)

Exercice 3 (4 points)
 QCM sur les pourcentages, les fonctions et les probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [15 ; 20] est :

a) 5552293-Eqn77

b) 5552293-Eqn78

c) 5552293-Eqn79

d) 5552293-Eqn80

2. Le prix d’un produit est passé de 200 € à 100 €.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :

a) 5552293-Eqn81

b) 5552293-Eqn82

c) 5552293-Eqn83

d) 5552293-Eqn84

3. On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction 5552293-Eqn85 définie et continue sur l’intervalle [0 ; 18].

matT_1606_02_00C_01

On peut affirmer que :

a) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn86 sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [0 ; 2].

b) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn87 sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [8 ; 12].

c) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn88 sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [0 ; 2].

d) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn89 sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [8 ; 12].

4. Lors d’un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu’elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L’intervalle de confiance au seuil de 95 % donné par l’institut de sondage est [51 % ; 56 %]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

a) 40

b) 400

c) 1 600

d) 6 400

Exercice 4 (6 points) 
Étude d’une fonction et application à l’étude du prix d’une action

Commun à tous les candidats

Soit 5552293-Eqn90 la fonction définie sur l’intervalle 5552293-Eqn91 par :

5552293-Eqn92.

partie A Étude d’une fonction

On considère la fonction 5552293-Eqn93 définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par :

5552293-Eqn94.

La courbe représentative de 5552293-Eqn95 est donnée ci-dessous :

matT_1606_02_00C_02

1. a) Montrer que 5552293-Eqn96, où 5552293-Eqn97 désigne la fonction dérivée de la fonction 5552293-Eqn98 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de 5552293-Eqn99 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,75 point)

c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction 5552293-Eqn100 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,5 point)

2. On admet que 5552293-Eqn101, où 5552293-Eqn102 désigne la dérivée seconde de la fonction 5552293-Eqn103 sur l’intervalle ]0 ; 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction 5552293-Eqn104 admet un point d’inflexion dont l’abscisse est 5552293-Eqn105. (1 point)

3. Soit 5552293-Eqn106 la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par :

5552293-Eqn107.

a) Montrer que 5552293-Eqn108 est une primitive de la fonction 5552293-Eqn109 sur ]0 ; 1,5]. (0,5 point)

b) Calculer l’intégrale 5552293-Eqn110. On donnera le résultat arrondi au centième. (1 point)

partie B Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction 5552293-Eqn111 définie dans la partie A, où 5552293-Eqn112 représente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse et 5552293-Eqn113 représente le prix de l’action, exprimé en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. » (0,75 point)

Proposition 2

« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17 €. » (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. a) Utilisez une partition de l’univers, correspondant à la répartition des automobilistes entre les trois voies de la gare de péage.

b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. b) N’oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 40 ; l’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 5552293-Eqn114.

3. c) Si 5552293-Eqn115, alors 5552293-Eqn116.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien • Boucle « Pour » • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

b) La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

2. Pour le calcul de la valeur affectée à 5552293-Eqn117, regardez quelle est la valeur affectée précédemment à la variable 5552293-Eqn118.

3. a) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn119, 5552293-Eqn120.

c) Si 5552293-Eqn121, alors 5552293-Eqn122.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Primitive • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

1. Introduisez une variable aléatoire suivant une loi connue.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5552293-Eqn123 % est 5552293-Eqn124. Le coefficient multiplicateur global associé à deux évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondant à ces deux évolutions.

3. Si 5552293-Eqn125 est une primitive de 5552293-Eqn126, alors 5552293-Eqn127 ; les variations de 5552293-Eqn128 se déduisent du signe de 5552293-Eqn129.

4. Utilisez par exemple la relation entre la taille d’un échantillon et l’amplitude d’un intervalle de confiance au seuil de 95 % que cet échantillon permet de déterminer.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction logarithme népérien • Point d’inflexion • Primitive • Intégrale, calculs d’aire • Valeur moyenne d’une fonction

Les conseils du correcteur

Partie A

2. Utilisez l’expression de 5552293-Eqn130 pour montrer que la courbe représentative de 5552293-Eqn131 admet un point d’inflexion et pour trouver l’abscisse de ce point.

3. Calculez la dérivée de 5552293-Eqn132.

Partie B

« La période des six derniers mois » correspond aux valeurs de 5552293-Eqn133 comprises entre 1 et 1,5.

Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.