Sujet complet d'Amérique du Nord 2016

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

&nbsp

2

Amérique du Nord &bull Juin 2016

Sujet complet &bull 20&nbsp points

Sujet complet d&rsquo Amérique du Nord 2016

Exercice 1 (5&nbsp points)
 Répartition d&rsquo automobilistes à une gare de péage et étude de leur vitesse

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie A

À une sortie d&rsquo autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que&nbsp :

28&nbsp % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux&nbsp abonnés&nbsp un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10&nbsp secondes&nbsp

52&nbsp % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au&nbsp paiement par carte bancaire&nbsp parmi ces derniers, 75&nbsp % franchissent le péage en moins de 10&nbsp secondes&nbsp

les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un&nbsp autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants&nbsp :

G&nbsp : &laquo &nbsp l&rsquo automobiliste emprunte la voie de gauche&nbsp &raquo &nbsp

C&nbsp : &laquo &nbsp l&rsquo automobiliste emprunte la voie du centre &raquo &nbsp

D&nbsp : &laquo &nbsp l&rsquo automobiliste emprunte la voie de droite &raquo &nbsp :

T&nbsp : &laquo &nbsp l&rsquo automobiliste franchit le péage en moins de 10&nbsp secondes&nbsp &raquo .

On note 5552293-Eqn1 l&rsquo événement contraire de l&rsquo événement T.

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (1&nbsp point)

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l&rsquo exercice.

2. Calculer la probabilité 5552293-Eqn2. (0,5&nbsp point)

3. L&rsquo étude a aussi montré que 70&nbsp % des automobilistes passent le&nbsp péage en moins de 10&nbsp secondes.

a) Justifier que 5552293-Eqn3. (1&nbsp point)

b) Calculer la probabilité qu&rsquo un automobiliste empruntant la voie de&nbsp droite passe le péage en moins de 10&nbsp secondes. (1&nbsp point)

partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l&rsquo autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire 5552293-Eqn4 qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h&ndash 1.

On admet que 5552293-Eqn6 suit la loi normale d&rsquo espérance 5552293-Eqn7 et d&rsquo écart-type 5552293-Eqn8.

1. Déterminer la probabilité 5552293-Eqn9. On arrondira le&nbsp résultat au millième. (0,5&nbsp point)

2. Une contravention est envoyée à l&rsquo automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138&nbsp km.h&ndash 1.

Déterminer la probabilité qu&rsquo un automobiliste soit sanctionné. On&nbsp arrondira le résultat au millième. (1&nbsp point)

Exercice 2 (5&nbsp points)&nbsp 
Nombre d&rsquo abonnés à un service de jeux sur&nbsp téléphone mobile

Candidats de la série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et&nbsp candidats de la série L

Une société propose un service d&rsquo abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1er&nbsp janvier 2016, on compte 4&nbsp 000&nbsp abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de cette société ont constaté que, d&rsquo un mois sur l&rsquo autre, 8&nbsp % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8&nbsp 000 nouvelles personnes s&rsquo abonnent.

1. Calculer le nombre d&rsquo abonnés à la date du 1er&nbsp février 2016. (0,5&nbsp point)

Pour la suite de l&rsquo exercice, on modélise cette situation par une suite numérique 5552293-Eqn115552293-Eqn12 représente le nombre de milliers d&rsquo abonnés au bout de 5552293-Eqn13 mois après le 1er&nbsp janvier 2016.

La suite 5552293-Eqn14 est donc définie par 5552293-Eqn15 et, pour tout entier naturel 5552293-Eqn16&nbsp :

5552293-Eqn17.

2. On considère l&rsquo algorithme suivant&nbsp :

Variables&nbsp

N est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Traitement&nbsp

U prend la valeur 4

N prend la valeur 0

Tant que 5552293-Eqn18

U prend la valeur 5552293-Eqn19

N prend la valeur 5552293-Eqn20

Fin Tant que

Sortie&nbsp

Afficher N

a) Recopier le tableau suivant et compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième. (1&nbsp point)

Valeur de U

4

&hellip &hellip

&hellip &hellip

Valeur de N

0

&hellip &hellip

&hellip &hellip

Condition U &lt 40

vraie

&hellip &hellip

&hellip &hellip

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l&rsquo exercice. (0,5&nbsp point)

3. On considère la suite 5552293-Eqn21 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn22 par&nbsp :

5552293-Eqn23.

a) Montrer que la suite 5552293-Eqn24 est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme 5552293-Eqn25. (1&nbsp point)

b) Donner l&rsquo expression de 5552293-Eqn26 en fonction de 5552293-Eqn27. (0,5&nbsp point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn28, on a&nbsp :

5552293-Eqn29. (0,5&nbsp point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d&rsquo abonnés devient supérieur à 70&nbsp 000. (1&nbsp point)

Exercice 2 (5&nbsp points)
 Répartition entre&nbsp deux&nbsp types d&rsquo abonnement

Candidats de la série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité

Un groupe de presse édite un magazine qu&rsquo il propose en abonnement.

Jusqu&rsquo en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d&rsquo avis&nbsp : 10&nbsp % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6&nbsp % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d&rsquo abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel 5552293-Eqn30, on note&nbsp :

5552293-Eqn31 la probabilité qu&rsquo un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l&rsquo année 5552293-Eqn32&nbsp

5552293-Eqn33 la probabilité qu&rsquo un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l&rsquo année 5552293-Eqn34&nbsp

5552293-Eqn35 la matrice correspondant à l&rsquo état probabiliste de l&rsquo année 5552293-Eqn36.

On a donc 5552293-Eqn37 , 5552293-Eqn38 et 5552293-Eqn39.

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets&nbsp A et B, où le sommet&nbsp A représente l&rsquo état &laquo &nbsp abonné à la version papier&nbsp &raquo et&nbsp B l&rsquo état &laquo &nbsp abonné à la version numérique&nbsp &raquo . (0,5&nbsp point)

b) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l&rsquo ordre A, B des sommets. (0,5&nbsp point)

c) Montrer que 5552293-Eqn40 (0,5&nbsp point)

2. On admet que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn41, on a&nbsp :

5552293-Eqn42&ensp et&ensp 5552293-Eqn43.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l&rsquo évolution des deux types d&rsquo abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants&nbsp :

Algorithme 1

Entrée

Saisir 5552293-Eqn44

Traitement&nbsp

5552293-Eqn45 prend la valeur 1

5552293-Eqn46 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn47

5552293-Eqn48 prend la valeur 5552293-Eqn49

5552293-Eqn50 prend la valeur 5552293-Eqn51

Afficher 5552293-Eqn52 et 5552293-Eqn53

Fin Pour

Algorithme 2

Entrée

Saisir 5552293-Eqn54

Traitement&nbsp

5552293-Eqn55 prend la valeur 1

5552293-Eqn56 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn57

5552293-Eqn58 prend la valeur 5552293-Eqn59

5552293-Eqn60 prend la valeur 5552293-Eqn61

5552293-Eqn62 prend la valeur 5552293-Eqn63

Afficher 5552293-Eqn64 et 5552293-Eqn65

Fin Pour

Sachant qu&rsquo un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. (1&nbsp point)

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn66, on a&nbsp :

5552293-Eqn67. (0,5&nbsp point)

b) On considère la suite 5552293-Eqn68 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn69 par&nbsp :

5552293-Eqn70.

Montrer que la suite 5552293-Eqn71 est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer 5552293-Eqn72. (0,5&nbsp point)

c) Donner l&rsquo expression de 5552293-Eqn73 en fonction de 5552293-Eqn74.

En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn75, on a&nbsp :

5552293-Eqn76. (1&nbsp point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer l&rsquo année à partir de laquelle la proportion d&rsquo abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50&nbsp %. (0,5&nbsp point)

Exercice 3 (4&nbsp points)
 QCM sur les pourcentages, les fonctions et&nbsp les&nbsp probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l&rsquo absence de réponse ne rapporte ni n&rsquo enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n&rsquo est demandée.

1. On choisit au hasard un nombre réel dans l&rsquo intervalle [10&nbsp 50]. La&nbsp probabilité que ce nombre appartienne à l&rsquo intervalle [15&nbsp 20] est&nbsp :

a) 5552293-Eqn77

b) 5552293-Eqn78

c) 5552293-Eqn79

d) 5552293-Eqn80

2. Le prix d&rsquo un produit est passé de 200&nbsp &euro à 100&nbsp &euro .

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d&rsquo environ&nbsp :

a) 5552293-Eqn81

b) 5552293-Eqn82

c) 5552293-Eqn83

d) 5552293-Eqn84

3. On donne ci-après la courbe représentative d&rsquo une fonction 5552293-Eqn85 définie et continue sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 18].

matT_1606_02_00C_01

On peut affirmer que&nbsp :

a) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn86 sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 18] sont négatives sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 2].

b) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn87 sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 18] sont négatives sur l&rsquo intervalle [8&nbsp 12].

c) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn88 sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 18] sont croissantes sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 2].

d) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn89 sur l&rsquo intervalle [0&nbsp 18] sont croissantes sur l&rsquo intervalle [8&nbsp 12].

4. Lors d&rsquo un sondage, 53,5&nbsp % des personnes interrogées ont déclaré qu&rsquo elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L&rsquo intervalle de confiance au seuil de 95&nbsp % donné par l&rsquo institut de sondage est [51&nbsp %&nbsp 56&nbsp %]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors&nbsp :

a) 40

b) 400

c) 1&nbsp 600

d) 6&nbsp 400

Exercice 4 (6&nbsp points)&nbsp 
Étude d&rsquo une fonction et application à l&rsquo étude du&nbsp prix d&rsquo une action

Commun à tous les candidats

Soit 5552293-Eqn90 la fonction définie sur l&rsquo intervalle 5552293-Eqn91 par&nbsp :

5552293-Eqn92.

partie A&nbsp Étude d&rsquo une fonction

On considère la fonction 5552293-Eqn93 définie sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5] par&nbsp :

5552293-Eqn94.

La courbe représentative de 5552293-Eqn95 est donnée ci-dessous&nbsp :

matT_1606_02_00C_02

1. a) Montrer que 5552293-Eqn96, où 5552293-Eqn97 désigne la fonction dérivée de la fonction 5552293-Eqn98 sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5]. (0,75&nbsp point)

b) Étudier le signe de 5552293-Eqn99 sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5]. (0,75&nbsp point)

c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction 5552293-Eqn100 sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5]. (0,5&nbsp point)

2. On admet que 5552293-Eqn101, où 5552293-Eqn102 désigne la dérivée seconde de la fonction 5552293-Eqn103 sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction 5552293-Eqn104 admet un&nbsp point d&rsquo inflexion dont l&rsquo abscisse est 5552293-Eqn105. (1&nbsp point)

3. Soit 5552293-Eqn106 la fonction définie sur l&rsquo intervalle ]0&nbsp 1,5] par&nbsp :

5552293-Eqn107.

a) Montrer que 5552293-Eqn108 est une primitive de la fonction 5552293-Eqn109 sur ]0&nbsp 1,5]. (0,5&nbsp point)

b) Calculer l&rsquo intégrale 5552293-Eqn110. On donnera le résultat arrondi au centième. (1&nbsp point)

partie B&nbsp Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l&rsquo évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l&rsquo action depuis un an et demi est modélisé par la fonction 5552293-Eqn111 définie dans la partie&nbsp A, où 5552293-Eqn112 représente le nombre d&rsquo années écoulées depuis l&rsquo introduction en bourse et 5552293-Eqn113 représente le prix de l&rsquo action, exprimé en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

&laquo &nbsp Sur la période des six derniers mois, l&rsquo action a perdu plus d&rsquo un quart de sa valeur.&nbsp &raquo (0,75&nbsp point)

Proposition 2

&laquo &nbsp Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l&rsquo action a été inférieure à 17&nbsp &euro .&nbsp &raquo (0,75&nbsp point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 40&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré &bull Probabilité conditionnelle &bull Variable aléatoire &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. a) Utilisez une partition de l&rsquo univers, correspondant à la répartition des automobilistes entre les trois voies de la gare de péage.

b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n&rsquo ayant pas suivi l&rsquo enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Boucle avec arrêt conditionnel &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo &bull Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. b) N&rsquo oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 40&nbsp l&rsquo algorithme s&rsquo arrête (on sort de la boucle &laquo &nbsp Tant que&nbsp &raquo ) dès que 5552293-Eqn114.

3. c) Si 5552293-Eqn115, alors 5552293-Eqn116.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l&rsquo enseignement de spécialité)

Durée conseillée&nbsp : 45&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Suite géométrique &bull Fonction logarithme népérien &bull Boucle &laquo &nbsp Pour&nbsp &raquo &bull Graphe probabiliste &bull Matrice.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d&rsquo un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

b) La matrice de transition d&rsquo un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d&rsquo une même ligne est égale à 1.

2. Pour le calcul de la valeur affectée à 5552293-Eqn117, regardez quelle est la valeur affectée précédemment à la variable 5552293-Eqn118.

3. a) N&rsquo oubliez pas que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn119, 5552293-Eqn120.

c) Si 5552293-Eqn121, alors 5552293-Eqn122.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 35&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage &bull Primitive &bull Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

1. Introduisez une variable aléatoire suivant une loi connue.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5552293-Eqn123&nbsp % est 5552293-Eqn124. Le coefficient multiplicateur global associé à deux évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondant à ces deux évolutions.

3. Si 5552293-Eqn125 est une primitive de 5552293-Eqn126, alors 5552293-Eqn127&nbsp les variations de 5552293-Eqn128 se déduisent du signe de 5552293-Eqn129.

4. Utilisez par exemple la relation entre la taille d&rsquo un échantillon et l&rsquo amplitude d&rsquo un intervalle de confiance au seuil de 95&nbsp % que cet échantillon permet de déterminer.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée&nbsp : 55&nbsp minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Variations d&rsquo une fonction &bull Fonction logarithme népérien &bull Point d&rsquo inflexion &bull Primitive &bull Intégrale, calculs d&rsquo aire &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction

Les conseils du correcteur

Partie A

2. Utilisez l&rsquo expression de 5552293-Eqn130 pour montrer que la courbe représentative de 5552293-Eqn131 admet un&nbsp point d&rsquo inflexion et pour trouver l&rsquo abscisse de ce&nbsp point.

3. Calculez la dérivée de 5552293-Eqn132.

Partie B

&laquo &nbsp La période des six derniers mois&nbsp &raquo correspond aux valeurs de 5552293-Eqn133 comprises entre 1 et 1,5.

Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d&rsquo une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.