Sujet complet d'Amérique du Nord 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Amérique du Nord 2016

Exercice 1 (5 points)
 Répartition d’automobilistes à une gare de péage et étude de leur vitesse

Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

partie A

À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes ;

52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 secondes ;

les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants :

G : « l’automobiliste emprunte la voie de gauche » ;

C : « l’automobiliste emprunte la voie du centre » ;

D : « l’automobiliste emprunte la voie de droite » :

T : « l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes ».

On note 5552293-Eqn1 l’événement contraire de l’événement T.

1. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. (1 point)

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice.

2. Calculer la probabilité 5552293-Eqn2. (0,5 point)

3. L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes.

a) Justifier que 5552293-Eqn3. (1 point)

b) Calculer la probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. (1 point)

partie B

Quelques kilomètres avant la sortie de l’autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire 5552293-Eqn4 qui, à chaque automobiliste, associe sa vitesse exprimée en km.h–1.

On admet que 5552293-Eqn6 suit la loi normale d’espérance 5552293-Eqn7 et d’écart-type 5552293-Eqn8.

1. Déterminer la probabilité 5552293-Eqn9. On arrondira le résultat au millième. (0,5 point)

2. Une contravention est envoyée à l’automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h–1.

Déterminer la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième. (1 point)

Exercice 2 (5 points) 
Nombre d’abonnés à un service de jeux sur téléphone mobile

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1er janvier 2016, on compte 4 000 abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de cette société ont constaté que, d’un mois sur l’autre, 8 % des anciens joueurs se désabonnent, mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.

1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016. (0,5 point)

Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique 5552293-Eqn115552293-Eqn12 représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de 5552293-Eqn13 mois après le 1er janvier 2016.

La suite 5552293-Eqn14 est donc définie par 5552293-Eqn15 et, pour tout entier naturel 5552293-Eqn16 :

5552293-Eqn17.

2. On considère l’algorithme suivant :

Variables 

N est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

Traitement 

U prend la valeur 4

N prend la valeur 0

Tant que 5552293-Eqn18

U prend la valeur 5552293-Eqn19

N prend la valeur 5552293-Eqn20

Fin Tant que

Sortie 

Afficher N

a) Recopier le tableau suivant et compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième. (1 point)

Valeur de U

4

……

……

Valeur de N

0

……

……

Condition U < 40

vraie

……

……

b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

3. On considère la suite 5552293-Eqn21 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn22 par :

5552293-Eqn23.

a) Montrer que la suite 5552293-Eqn24 est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme 5552293-Eqn25. (1 point)

b) Donner l’expression de 5552293-Eqn26 en fonction de 5552293-Eqn27. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn28, on a :

5552293-Eqn29. (0,5 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000. (1 point)

Exercice 2 (5 points)
 Répartition entre deux types d’abonnement

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement.

Jusqu’en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % des abonnés à la version papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel 5552293-Eqn30, on note :

5552293-Eqn31 la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l’année 5552293-Eqn32 ;

5552293-Eqn33 la probabilité qu’un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l’année 5552293-Eqn34 ;

5552293-Eqn35 la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 5552293-Eqn36.

On a donc 5552293-Eqn37 , 5552293-Eqn38 et 5552293-Eqn39.

1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l’état « abonné à la version papier » et B l’état « abonné à la version numérique ». (0,5 point)

b) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre A, B des sommets. (0,5 point)

c) Montrer que 5552293-Eqn40 (0,5 point)

2. On admet que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn41, on a :

5552293-Eqn42 et 5552293-Eqn43.

Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l’évolution des deux types d’abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1

Entrée

Saisir 5552293-Eqn44

Traitement 

5552293-Eqn45 prend la valeur 1

5552293-Eqn46 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn47

5552293-Eqn48 prend la valeur 5552293-Eqn49

5552293-Eqn50 prend la valeur 5552293-Eqn51

Afficher 5552293-Eqn52 et 5552293-Eqn53

Fin Pour

Algorithme 2

Entrée

Saisir 5552293-Eqn54

Traitement 

5552293-Eqn55 prend la valeur 1

5552293-Eqn56 prend la valeur 0

Pour i allant de 1 à 5552293-Eqn57

5552293-Eqn58 prend la valeur 5552293-Eqn59

5552293-Eqn60 prend la valeur 5552293-Eqn61

5552293-Eqn62 prend la valeur 5552293-Eqn63

Afficher 5552293-Eqn64 et 5552293-Eqn65

Fin Pour

Sachant qu’un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser lequel en justifiant la réponse. (1 point)

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn66, on a :

5552293-Eqn67. (0,5 point)

b) On considère la suite 5552293-Eqn68 définie pour tout entier naturel 5552293-Eqn69 par :

5552293-Eqn70.

Montrer que la suite 5552293-Eqn71 est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer 5552293-Eqn72. (0,5 point)

c) Donner l’expression de 5552293-Eqn73 en fonction de 5552293-Eqn74.

En déduire que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn75, on a :

5552293-Eqn76. (1 point)

4. En résolvant une inéquation, déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50 %. (0,5 point)

Exercice 3 (4 points)
 QCM sur les pourcentages, les fonctions et les probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [10 ; 50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [15 ; 20] est :

a) 5552293-Eqn77

b) 5552293-Eqn78

c) 5552293-Eqn79

d) 5552293-Eqn80

2. Le prix d’un produit est passé de 200 € à 100 €.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :

a) 5552293-Eqn81

b) 5552293-Eqn82

c) 5552293-Eqn83

d) 5552293-Eqn84

3. On donne ci-après la courbe représentative d’une fonction 5552293-Eqn85 définie et continue sur l’intervalle [0 ; 18].

matT_1606_02_00C_01

On peut affirmer que :

a) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn86 sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [0 ; 2].

b) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn87 sur l’intervalle [0 ; 18] sont négatives sur l’intervalle [8 ; 12].

c) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn88 sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [0 ; 2].

d) Toutes les primitives de la fonction 5552293-Eqn89 sur l’intervalle [0 ; 18] sont croissantes sur l’intervalle [8 ; 12].

4. Lors d’un sondage, 53,5 % des personnes interrogées ont déclaré qu’elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L’intervalle de confiance au seuil de 95 % donné par l’institut de sondage est [51 % ; 56 %]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

a) 40

b) 400

c) 1 600

d) 6 400

Exercice 4 (6 points) 
Étude d’une fonction et application à l’étude du prix d’une action

Commun à tous les candidats

Soit 5552293-Eqn90 la fonction définie sur l’intervalle 5552293-Eqn91 par :

5552293-Eqn92.

partie A Étude d’une fonction

On considère la fonction 5552293-Eqn93 définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par :

5552293-Eqn94.

La courbe représentative de 5552293-Eqn95 est donnée ci-dessous :

matT_1606_02_00C_02

1. a) Montrer que 5552293-Eqn96, où 5552293-Eqn97 désigne la fonction dérivée de la fonction 5552293-Eqn98 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,75 point)

b) Étudier le signe de 5552293-Eqn99 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,75 point)

c) Déduire de la question précédente les variations de la fonction 5552293-Eqn100 sur l’intervalle ]0 ; 1,5]. (0,5 point)

2. On admet que 5552293-Eqn101, où 5552293-Eqn102 désigne la dérivée seconde de la fonction 5552293-Eqn103 sur l’intervalle ]0 ; 1,5].

Montrer que la courbe représentative de la fonction 5552293-Eqn104 admet un point d’inflexion dont l’abscisse est 5552293-Eqn105. (1 point)

3. Soit 5552293-Eqn106 la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 1,5] par :

5552293-Eqn107.

a) Montrer que 5552293-Eqn108 est une primitive de la fonction 5552293-Eqn109 sur ]0 ; 1,5]. (0,5 point)

b) Calculer l’intégrale 5552293-Eqn110. On donnera le résultat arrondi au centième. (1 point)

partie B Application économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.

Le prix de l’action depuis un an et demi est modélisé par la fonction 5552293-Eqn111 définie dans la partie A, où 5552293-Eqn112 représente le nombre d’années écoulées depuis l’introduction en bourse et 5552293-Eqn113 représente le prix de l’action, exprimé en euros.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition 1

« Sur la période des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur. » (0,75 point)

Proposition 2

« Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été inférieure à 17 €. » (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. a) Utilisez une partition de l’univers, correspondant à la répartition des automobilistes entre les trois voies de la gare de péage.

b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. b) N’oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 40 ; l’algorithme s’arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 5552293-Eqn114.

3. c) Si 5552293-Eqn115, alors 5552293-Eqn116.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 2 (Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien • Boucle « Pour » • Graphe probabiliste • Matrice.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

b) La matrice de transition d’un graphe probabiliste à deux sommets est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d’une même ligne est égale à 1.

2. Pour le calcul de la valeur affectée à 5552293-Eqn117, regardez quelle est la valeur affectée précédemment à la variable 5552293-Eqn118.

3. a) N’oubliez pas que, pour tout entier naturel 5552293-Eqn119, 5552293-Eqn120.

c) Si 5552293-Eqn121, alors 5552293-Eqn122.

4. Utilisez la fonction logarithme népérien.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Primitive • Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

1. Introduisez une variable aléatoire suivant une loi connue.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5552293-Eqn123 % est 5552293-Eqn124. Le coefficient multiplicateur global associé à deux évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs correspondant à ces deux évolutions.

3. Si 5552293-Eqn125 est une primitive de 5552293-Eqn126, alors 5552293-Eqn127 ; les variations de 5552293-Eqn128 se déduisent du signe de 5552293-Eqn129.

4. Utilisez par exemple la relation entre la taille d’un échantillon et l’amplitude d’un intervalle de confiance au seuil de 95 % que cet échantillon permet de déterminer.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Variations d’une fonction • Fonction logarithme népérien • Point d’inflexion • Primitive • Intégrale, calculs d’aire • Valeur moyenne d’une fonction

Les conseils du correcteur

Partie A

2. Utilisez l’expression de 5552293-Eqn130 pour montrer que la courbe représentative de 5552293-Eqn131 admet un point d’inflexion et pour trouver l’abscisse de ce point.

3. Calculez la dérivée de 5552293-Eqn132.

Partie B

« La période des six derniers mois » correspond aux valeurs de 5552293-Eqn133 comprises entre 1 et 1,5.

Proposition 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 3. b) de la partie A.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

1. Représenter une situation par un arbre pondéré

Notez bien

Les automobilistes empruntant la voie de gauche passent tous le péage en moins de 10 secondes, donc une seule branche part du « nœud » G.

La situation peut être résumée par l’arbre suivant (probabilités indiquées en noir) :

matT_1606_02_00C_03

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

5552293-Eqn134

5552293-Eqn135

3. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’énoncé, 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes, donc :

5552293-Eqn136.

Info

Ces trois événements sont deux à deux incompatibles, et leur réunion est l’univers entier. On dit aussi qu’ils forment un « système complet d’événements ».

Les événements G, C et D forment une partition de l’univers, donc :

5552293-Eqn137.

5552293-Eqn138

Or 5552293-Eqn139.

Tous les automobilistes qui empruntent la voie de gauche passent le péage en moins de 10 secondes, donc :

5552293-Eqn140 et 5552293-Eqn141,

d’où :

5552293-Eqn142

5552293-Eqn143

b) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est 5552293-Eqn144. D’après le cours :

5552293-Eqn145.

Info

On peut aussi dire que, parmi les automobilistes empruntant la voie de droite, 15 % passent le péage en moins de 10 secondes.

La probabilité qu’un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est égale à 0,15.

Ce calcul permet de compléter l’arbre pondéré fait au début de l’exercice.

partie B

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice, en arrondissant au millième :

5552293-Eqn146

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné est 5552293-Eqn147.

La variable aléatoire 5552293-Eqn148 suit une loi normale d’espérance 120, d’où :

5552293-Eqn149

Arrondie au millième, la probabilité qu’un automobiliste soit sanctionné est égale à 0,008.

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

1. Calculer un terme d’une suite

Le nombre d’abonnés au 1er février 2016 est :

5552293-Eqn150

Au 1er février 2016, le nombre d’abonnés est de 11 680.

2. a) Construire un tableau d’étapes d’un algorithme

La réalisation de l’algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :

Valeur de U

4

11,7

18,7

25,2

31,2

36,7

41,8

Valeur de N

0

1

2

3

4

5

6

Condition U < 40

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

vraie

fausse

(Les valeurs de U ont été arrondies à l’unité.)

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l’algorithme est 6.

Au bout de 6 mois, c’est-à-dire au 1er juillet 2016, le nombre d’abonnés dépassera pour la première fois 40 000.

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 5552293-Eqn151

5552293-Eqn152

5552293-Eqn153

5552293-Eqn154

5552293-Eqn155

5552293-Eqn156

La suite 5552293-Eqn157 est géométrique de raison 0,92 ; son premier terme est 5552293-Eqn158.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après le cours, pour tout entier naturel 5552293-Eqn159 :

5552293-Eqn160

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

5552293-Eqn161, donc 5552293-Eqn162, donc :

5552293-Eqn163

4. Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

Pour déterminer la date à partir de laquelle le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000, on cherche l’entier 5552293-Eqn164 tel que 5552293-Eqn165

5552293-Eqn166

Or, 5552293-Eqn167.

Donc 5552293-Eqn168

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 5552293-Eqn169 l’ordre est conservé, d’où :

5552293-Eqn170.

5552293-Eqn171 car 5552293-Eqn172, donc l’inéquation équivaut à 5552293-Eqn173.

Or 5552293-Eqn174, donc, puisque 5552293-Eqn175 est un entier naturel, l’inéquation 5552293-Eqn176 équivaut à :

5552293-Eqn177

Au bout de 14 mois, c’est-à-dire le 1er mars 2017, le nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000.

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a) Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :

matT_1606_02_00C_04

b) Donner la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet A du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de B.

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est :

5552293-Eqn179.

c) Déterminer un état probabiliste

5552293-Eqn180

5552293-Eqn181

2. Déterminer, entre deux algorithmes, celui qui donne le résultat attendu

Les deux algorithmes comportent une boucle Pour, qui permet d’effectuer 5552293-Eqn182 calculs successifs. 5552293-Eqn183 est un entier naturel strictement positif saisi par l’utilisateur, qui souhaite obtenir les valeurs de 5552293-Eqn184 et de 5552293-Eqn185.

Pour chaque valeur entière de 5552293-Eqn186 entre 1 et 5552293-Eqn187, l’algorithme 1 calcule 5552293-Eqn188 à partir de 5552293-Eqn189 et de 5552293-Eqn190, puis il applique avec 5552293-Eqn191 et 5552293-Eqn192 la formule permettant de calculer 5552293-Eqn193. En effet, la valeur de 5552293-Eqn194 a été « écrasée » et remplacée dans la variable 5552293-Eqn195 par celle de 5552293-Eqn196, la valeur de 5552293-Eqn197 n’est plus disponible et la valeur calculée n’est pas celle de 5552293-Eqn198.

Info

En programmation, on dit que 5552293-Eqn199 est une variable tampon.

Dans l’algorithme 2, la valeur de 5552293-Eqn200 est « sauvegardée » dans une variable 5552293-Eqn201, ce qui permet de l’utiliser pour le calcul de 5552293-Eqn202.

C’est donc l’algorithme 2 qui permet de répondre au souhait du directeur.

3. a) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour tout entier naturel 5552293-Eqn203, 5552293-Eqn204, c’est-à-dire :

5552293-Eqn205

5552293-Eqn206

Or 5552293-Eqn207 donc :

5552293-Eqn208

5552293-Eqn209

5552293-Eqn210

b) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel 5552293-Eqn211

5552293-Eqn212

5552293-Eqn213

5552293-Eqn214

5552293-Eqn215

5552293-Eqn216

La suite 5552293-Eqn217 est géométrique de raison 0,84 ; son premier terme est :

5552293-Eqn218.

c) Déterminer l’expression des termes généraux de deux suites

Puisque 5552293-Eqn219 est la suite géométrique de raison 0,84, de premier terme 0,625, pour tout entier naturel 5552293-Eqn220 :

5552293-Eqn221

5552293-Eqn222, donc :

5552293-Eqn223

5552293-Eqn224

4. Résoudre une inéquation dans l’ensemble des entiers naturels

Pour déterminer l’année à partir de laquelle la proportion d’abonnés à la version papier devient inférieure à 50 %, on résout l’inéquation :

5552293-Eqn225.

5552293-Eqn226

5552293-Eqn227 (après simplification par 0,125).

On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 5552293-Eqn228 l’ordre est conservé, d’où :

5552293-Eqn229.

5552293-Eqn230 car 5552293-Eqn231 et 5552293-Eqn232 donc l’inéquation équivaut à :

5552293-Eqn233.

Or 5552293-Eqn234, donc, dans l’ensemble des entiers naturels, l’inéquation 5552293-Eqn235 équivaut à :

5552293-Eqn236

Donc au bout de 10 ans, c’est-à-dire en 2020, la proportion d’abonnés à la version papier deviendra inférieure à 50 %.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

1. Déterminer une probabilité associée à une loi uniforme

Info

La probabilité qu’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur un intervalle I prenne une valeur appartenant à un intervalle donné (contenu dans I) est uniquement proportionnelle à l’amplitude de cet intervalle.

La variable aléatoire 5552293-Eqn237 représentant un nombre réel choisi au hasard dans l’intervalle [10 ; 50] suit la loi uniforme sur l’intervalle [10 ; 50], d’où :

5552293-Eqn238

La bonne réponse est b).

2. Déterminer un pourcentage d’évolution connaissant le pourcentage associé à deux évolutions successives

Info

On pourrait aussi considérer les pourcentages proposés et déterminer, pour chacun d’eux, le pourcentage d’évolution correspondant à deux baisses successives identiques de ce pourcentage.

Pour une baisse de 29 %, le coefficient multiplicateur est 0,71 ; pour deux baisses successives de 29 %, le coefficient multiplicateur global est 5552293-Eqn239, soit environ 0,5.

Si 5552293-Eqn240 est le pourcentage cherché, le coefficient multiplicateur associé à chacune des deux baisses est 5552293-Eqn241 ; le coefficient multiplicateur global, associé à l’évolution totale résultant des deux baisses successives identiques de 5552293-Eqn242 %, est 5552293-Eqn243

On sait d’autre part que le prix du produit est passé de 200 € à 100 €, il a donc subi une baisse de 50 %, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur égal à 0,5, d’où 5552293-Eqn244, c’est-à-dire 5552293-Eqn245, soit :

5552293-Eqn246.

La bonne réponse est c).

3. Déterminer une propriété des primitives d’une fonction sur un intervalle donné

Si 5552293-Eqn247 est une primitive de 5552293-Eqn248 sur [0 ; 18], alors 5552293-Eqn249 sur [0 ; 18], 5552293-Eqn250 est la dérivée de 5552293-Eqn251.

Donc 5552293-Eqn252 est croissante sur tout intervalle où 5552293-Eqn253 est positive, 5552293-Eqn254 est décroissante sur tout intervalle où 5552293-Eqn255 est négative.

D’après la représentation graphique, 5552293-Eqn256 est positive sur [8 ; 12], donc toute primitive de 5552293-Eqn257 sur [0 ; 18] est croissante sur cet intervalle.

La fonction 5552293-Eqn258 ne donne aucune information sur le signe de ses primitives, les réponses a) et b) peuvent donc être exclues. 5552293-Eqn259 est négative sur [0 ; 2], donc ses primitives sont décroissantes sur cet intervalle, la réponse c) est inexacte.

La bonne réponse est d).

4. Donner la taille d’un échantillon permettant d’obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 donné

Info

On peut aussi déterminer la taille 5552293-Eqn260 de l’échantillon (c’est-à-dire le nombre de personnes interrogées) en résolvant l’une des deux équations : 5552293-Eqn261 ou 5552293-Eqn262, avec 5552293-Eqn263.

Si 5552293-Eqn264 est la fréquence de personnes ayant déclaré qu’elles voteront pour le candidat A dans un échantillon de taille 5552293-Eqn265, alors un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion 5552293-Eqn266 de personnes déclarant voter pour le candidat A dans l’ensemble de la population est :

5552293-Eqn267.

Cet intervalle a pour amplitude 5552293-Eqn268.

Or l’institut de sondage donne comme intervalle de confiance au seuil de 95 % l’intervalle [0,51 ; 0,56], d’amplitude 0,05.

Donc 5552293-Eqn269, qui équivaut à 5552293-Eqn270.

La bonne réponse est c).

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie A Étude d’une fonction

1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout 5552293-Eqn271 de l’intervalle 5552293-Eqn272 :

5552293-Eqn273

5552293-Eqn275

b) Étudier le signe de la dérivée d’une fonction

Pour tout 5552293-Eqn276 dans l’intervalle 5552293-Eqn277, 5552293-Eqn278, donc 5552293-Eqn279 est du signe de 5552293-Eqn280, donc :

si 5552293-Eqn281, alors 5552293-Eqn282, donc 5552293-Eqn283 ; 5552293-Eqn284 ;

si 5552293-Eqn285, alors si 5552293-Eqn286, alors 5552293-Eqn287, donc 5552293-Eqn288.

c) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

D’après la question précédente : 5552293-Eqn289 est strictement croissante sur 5552293-Eqn290, strictement décroissante sur 5552293-Eqn291.

2. Montrer qu’une courbe admet un point d’inflexion

Pour tout 5552293-Eqn292 dans l’intervalle 5552293-Eqn293 :

5552293-Eqn294

Donc 5552293-Eqn295.

Si 5552293-Eqn296, alors 5552293-Eqn297, donc 5552293-Eqn298, donc 5552293-Eqn299 ;

si 5552293-Eqn300, alors 5552293-Eqn301, donc 5552293-Eqn302, donc 5552293-Eqn303.

La dérivée seconde 5552293-Eqn307 s’annule et change de signe en 5552293-Eqn308, donc la courbe représentative de 5552293-Eqn309 admet un point d’inflexion d’abscisse 5552293-Eqn310.

3. a) Montrer qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée

Pour tout 5552293-Eqn311 dans l’intervalle 5552293-Eqn312 :

5552293-Eqn313

5552293-Eqn315

Donc 5552293-Eqn317 est une primitive de 5552293-Eqn318 sur l’intervalle 5552293-Eqn319.

b) Calculer une intégrale

5552293-Eqn320

5552293-Eqn321

5552293-Eqn322

partie B Application économique

1. Étudier l’évolution du prix d’une action sur une période donnée

Notez bien

D’après les résultats de la partie A, 5552293-Eqn323 est strictement décroissante sur [1 ; 1,5], donc 5552293-Eqn324 : le prix de l’action baisse au cours des six derniers mois.

La « période des six derniers mois » débute un an après l’introduction en bourse de la société, et s’achève au moment de l’étude, c’est-à-dire un an et demi après l’introduction en bourse.

Le prix en euros d’une action un an après l’introduction en bourse est 5552293-Eqn325 ; un an et demi après l’introduction en bourse, il est égal à 5552293-Eqn326.

5552293-Eqn327

Au cours des six derniers mois, la baisse, en euros, du prix de l’action est donc environ 5552293-Eqn328 ≈ 5,17.

L’action valant initialement (au début de la période considérée) 19 €, le quart de sa valeur est, en euros :

5552293-Eqn329.

Info

De manière équivalente, on pourrait observer que 5552293-Eqn330.

La proposition 1 est donc vraie ; au cours des six derniers mois, l’action a perdu plus d’un quart de sa valeur.

2. Calculer la valeur moyenne d’une action sur une période donnée

La valeur moyenne, en euros, de l’action sur la période des six derniers mois est :

5552293-Eqn331

D’après la question 3. b) de la partie A :

5552293-Eqn332

La proposition 2 est donc fausse ; sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l’action a été supérieure à 17 €.