Sujet complet d'Amérique du Nord 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Amérique du Nord 2016

Exercice 1 (6 points)
 Vente de billes en bois

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

96 % de la production journalière est vendable ;

la machine A fournit 60 % de la production journalière ;

la proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98 %.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ;

B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ;

V : « la bille est vendable ».

▶ 1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.

▶ 2. Justifier que P(B ∩ V) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.

▶ 3. Un technicien affirme que 70 % des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ?

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

▶ 1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ = 0, 055.

Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.

▶ 2. De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire Y qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ′, σ′ étant un réel strictement positif.

Sachant que P(0,9  Y  1,1) = 0,98, déterminer une valeur approchée au millième de σ′.

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

▶ 1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.

a) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à 10–3 .

b) Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?

 2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 %, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?

Exercice 2 (6 points)
 Récupération des eaux pluviales

Commun à tous les candidats

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

elle doit mesurer cinq mètres de long ;

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

1323344-Eqn1.

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations = 2, = 2 et = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

1323344-Eqn2

est une primitive de la fonction g définie par g (x= x ln1323344-Eqn3.

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

1323344-Eqn4.

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.

Variables

a est un réel

b est un réel

Traitement

a prend la valeur 2

b prend la valeur 2e

Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :

   

c prend la valeur (a + b)/2

Si v (c) < V/2, alors :

     

a prend la valeur c

   

Sinon

     

b prend la valeur c

   

Fin Si

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher f(c)

Exercice 3 (3 points) 
Comment sortir d’un carré ?

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct 1323344-Eqn5.

On considère le point A d’affixe 4, le point B d’affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Mn le point d’affixe zn = (1 + i)n.

1. Écrire le nombre 1 + i sous forme exponentielle.

▶ 2. Montrer qu’il existe un entier naturel n0, que l’on précisera, tel que, pour tout entier n n0, le point Mn est à l’extérieur du carré ABCD.

Exercice 4 (5 points)
 Des plans perpendiculaires

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

matT_1606_02_01C_04

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-contre.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

▶ 1. Justifier que le repère 1323344-Eqn6 est orthonormé.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère 1323344-Eqn7.

▶ 2. On définit le point K par la relation 1323344-Eqn8 et on note I le milieu du segment [SO].

a) Déterminer les coordonnées du point K.

b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.

c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

d) Déterminer les coordonnées du point L.

▶ 3. On considère le vecteur 1323344-Eqn9 dans le repère 1323344-Eqn10.

a) Montrer que 1323344-Eqn11 est un vecteur normal au plan (BCI).

b) Montrer que les vecteurs 1323344-Eqn12 sont coplanaires.

c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

Exercice 4 (5 points)
 Évolution du contenu de deux urnes

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité 1323344-Eqn13 puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

1323344-Eqn14.

b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

1323344-Eqn15a

et on considère M la matrice 1323344-Eqn15

On note R0 la matrice ligne 1323344-Eqn16.

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.

▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :

1323344-Eqn17.

Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, 1323344-Eqn18.

4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.

b) Sachant que 1323344-Eqn19, déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.

▶ 5. Déterminer 1323344-Eqn20P(Xn = 0), 1323344-Eqn21P(Xn = 1) et 1323344-Eqn22P(Xn = 2).

Interpréter ces résultats.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré – Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie A

Loi normale  E40a • E40d • E40e • C3 Partie B

Loi binomiale  E38a • E38b • E39 • C2 Partie C, 1. a) et 2.

Intervalle de fluctuation  E43 Partie C, 1. b)

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Déterminez la probabilité que la bille choisie provienne de la machine B sachant que cette bille n’est pas vendable.

Partie B

 2. Démontrez que 1323344-Eqn23 est équivalent à

1323344-Eqn24.

Partie C

 1. b) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité  E7 Partie A, 3. c) ; Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) ; Partie B, 1.

Méthode de dichotomie  A5 Partie B, 2.

Calcul intégral  E11a • E11c • E13 • E14 Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) ; Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l’intervalle [2 ; 2e] avant de calculer l’aire demandée à l’aide d’une intégrale.

Partie B

 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [2 ; 2e] pour déterminer l’unique solution sur cet intervalle de l’équation f(x) = 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Fonction logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Module d’un nombre complexe  E18a • E18b 1. et 2.

Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d 1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21b 1.

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e 2.

Nos coups de pouce

 2. Traduisez la condition imposée sur le point Mn par une inéquation faisant intervenir le module du nombre complexe zn et résolvez cette ­inéquation.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Décomposition d’un vecteur et repérage  E29 2. a), 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Vecteurs colinéaires et coplanaires  E27 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Orthogonalité  E26c 3. c)

Produit scalaire  E31b • E32 3. a)

Vecteur normal à un plan  E33a 3. a)

Nos coups de pouce

 2. c) Pensez à utiliser le théorème du toit avec des plans judicieusement choisis.

d) Exprimez le vecteur 1323344-Eqn25 en fonction des vecteurs du repère.

 3. b) Calculez les coordonnées des vecteurs 1323344-Eqn26 et 1323344-Eqn27 et exprimez alors le vecteur 1323344-Eqn28 en fonction de ces deux vecteurs.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Formule des probabilités totales  E37 1. b)

Raisonnement par récurrence  E1 2. et 3.

Limite d’une suite  E2c • E4d 5.

Calculs sur les matrices  C5 2.

Nos coups de pouce

 1. a) Relevez pour chaque situation proposée la répartition des boules noires et blanches dans les urnes U et V à la fin du n-ième tirage. Examinez alors les tirages à réaliser pour obtenir la situation indiquée à la fin du (n + 1)-ième tirage et déterminez les probabilités demandées.

b) Utilisez la formule des probabilités totales.

 2. et 3. Démontrez les relations proposées à l’aide de raisonnements par récurrence.

 5. Interprétez les limites obtenues en envisageant une évolution à long terme du contenu des urnes U et V.