Sujet complet d'Amérique du Nord 2016

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2016

Sujet complet • 20 points

Sujet complet d’Amérique du Nord 2016

Exercice 1 (6 points)
 Vente de billes en bois

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

96 % de la production journalière est vendable ;

la machine A fournit 60 % de la production journalière ;

la proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98 %.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ;

B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ;

V : « la bille est vendable ».

▶ 1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.

▶ 2. Justifier que P(B ∩ V) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.

▶ 3. Un technicien affirme que 70 % des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ?

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

▶ 1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ = 0, 055.

Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.

▶ 2. De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire Y qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ′, σ′ étant un réel strictement positif.

Sachant que P(0,9  Y  1,1) = 0,98, déterminer une valeur approchée au millième de σ′.

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

▶ 1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.

a) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à 10–3 .

b) Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?

 2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 %, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?

Exercice 2 (6 points)
 Récupération des eaux pluviales

Commun à tous les candidats

matT_1606_02_01C_01

Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau.

Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

elle doit être située à deux mètres de sa maison ;

la profondeur maximale doit être de deux mètres ;

elle doit mesurer cinq mètres de long ;

elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre.

La partie incurvée est modélisée par la courbe Cf de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e] définie par :

1323344-Eqn1.

La courbe Cf est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve.

On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

matT_1606_02_01C_02

Partie A

L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve.

▶ 1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe Cf et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe Cf au point I.

▶ 2. On note T la tangente à la courbe Cf au point B, et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses.

a) Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D.

b) On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, les droites d’équations = 2, = 2 et = 2e.

S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?

▶ 3. a) Montrer que, sur l’intervalle [2 ; 2e], la fonction G définie par :

1323344-Eqn2

est une primitive de la fonction g définie par g (x= x ln1323344-Eqn3.

b) En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 2e].

c) Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m3 près.

Partie B

matT_1606_02_01C_03

Pour tout réel x compris entre 2 et 2e, on note v(x) le volume d’eau, exprimé en m3, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f(x).

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 2e] :

1323344-Eqn4.

▶ 1. Quel volume d’eau, au m3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de un mètre ?

▶ 2. On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B.

On considère l’algorithme ci-après.

Interpréter le résultat que cet algorithme permet d’afficher.

Variables

a est un réel

b est un réel

Traitement

a prend la valeur 2

b prend la valeur 2e

Tant que v (b) − v (a) > 10−3 faire :

   

c prend la valeur (a + b)/2

Si v (c) < V/2, alors :

     

a prend la valeur c

   

Sinon

     

b prend la valeur c

   

Fin Si

 

Fin Tant que

Sortie

Afficher f(c)

Exercice 3 (3 points) 
Comment sortir d’un carré ?

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct 1323344-Eqn5.

On considère le point A d’affixe 4, le point B d’affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O.

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Mn le point d’affixe zn = (1 + i)n.

1. Écrire le nombre 1 + i sous forme exponentielle.

▶ 2. Montrer qu’il existe un entier naturel n0, que l’on précisera, tel que, pour tout entier n n0, le point Mn est à l’extérieur du carré ABCD.

Exercice 4 (5 points)
 Des plans perpendiculaires

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

matT_1606_02_01C_04

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-contre.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

▶ 1. Justifier que le repère 1323344-Eqn6 est orthonormé.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère 1323344-Eqn7.

▶ 2. On définit le point K par la relation 1323344-Eqn8 et on note I le milieu du segment [SO].

a) Déterminer les coordonnées du point K.

b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.

c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

d) Déterminer les coordonnées du point L.

▶ 3. On considère le vecteur 1323344-Eqn9 dans le repère 1323344-Eqn10.

a) Montrer que 1323344-Eqn11 est un vecteur normal au plan (BCI).

b) Montrer que les vecteurs 1323344-Eqn12 sont coplanaires.

c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

Exercice 4 (5 points)
 Évolution du contenu de deux urnes

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires.

On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l’autre urne.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n-ième tirage.

▶ 1. a) Traduire par une phrase la probabilité 1323344-Eqn13 puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

1323344-Eqn14.

b) Exprimer P(Xn+1 = 1) en fonction de P(Xn = 0), P(Xn = 1) et P(Xn = 2).

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note Rn la matrice ligne définie par :

1323344-Eqn15a

et on considère M la matrice 1323344-Eqn15

On note R0 la matrice ligne 1323344-Eqn16.

On admettra par la suite que, pour tout entier naturel n, Rn+1 = Rn × M. Déterminer R1 et justifier que, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.

▶ 3. On admet que M = P × D × P−1 avec :

1323344-Eqn17.

Établir que, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P−1.

On admettra que, pour tout entier naturel n, 1323344-Eqn18.

4. a) Calculer Dn × P−1 en fonction de n.

b) Sachant que 1323344-Eqn19, déterminer les coefficients de Rn en fonction de n.

▶ 5. Déterminer 1323344-Eqn20P(Xn = 0), 1323344-Eqn21P(Xn = 1) et 1323344-Eqn22P(Xn = 2).

Interpréter ces résultats.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré – Probabilités conditionnelles  E35 • E37 Partie A

Loi normale  E40a • E40d • E40e • C3 Partie B

Loi binomiale  E38a • E38b • E39 • C2 Partie C, 1. a) et 2.

Intervalle de fluctuation  E43 Partie C, 1. b)

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Déterminez la probabilité que la bille choisie provienne de la machine B sachant que cette bille n’est pas vendable.

Partie B

 2. Démontrez que 1323344-Eqn23 est équivalent à

1323344-Eqn24.

Partie C

 1. b) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6b • E6c • E6e • E6f Partie A, 1., 2. a) et 3. a)

Continuité  E7 Partie A, 3. c) ; Partie B, 1.

Fonction logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie A, 1., 2. a), 3. a) et 3. c) ; Partie B, 1.

Méthode de dichotomie  A5 Partie B, 2.

Calcul intégral  E11a • E11c • E13 • E14 Partie A, 3. a), 3. b) et 3. c) ; Partie B, 1.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. c) Étudiez le signe de 2 – f(x) sur l’intervalle [2 ; 2e] avant de calculer l’aire demandée à l’aide d’une intégrale.

Partie B

 1. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [2 ; 2e] pour déterminer l’unique solution sur cet intervalle de l’équation f(x) = 1. Calculez avec une valeur approchée de cette solution le volume demandé.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Durée conseillée : 30 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Fonction logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Module d’un nombre complexe  E18a • E18b 1. et 2.

Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d 1.

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21b 1.

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e 2.

Nos coups de pouce

 2. Traduisez la condition imposée sur le point Mn par une inéquation faisant intervenir le module du nombre complexe zn et résolvez cette ­inéquation.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Décomposition d’un vecteur et repérage  E29 2. a), 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Vecteurs colinéaires et coplanaires  E27 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Orthogonalité  E26c 3. c)

Produit scalaire  E31b • E32 3. a)

Vecteur normal à un plan  E33a 3. a)

Nos coups de pouce

 2. c) Pensez à utiliser le théorème du toit avec des plans judicieusement choisis.

d) Exprimez le vecteur 1323344-Eqn25 en fonction des vecteurs du repère.

 3. b) Calculez les coordonnées des vecteurs 1323344-Eqn26 et 1323344-Eqn27 et exprimez alors le vecteur 1323344-Eqn28 en fonction de ces deux vecteurs.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Probabilités conditionnelles.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Formule des probabilités totales  E37 1. b)

Raisonnement par récurrence  E1 2. et 3.

Limite d’une suite  E2c • E4d 5.

Calculs sur les matrices  C5 2.

Nos coups de pouce

 1. a) Relevez pour chaque situation proposée la répartition des boules noires et blanches dans les urnes U et V à la fin du n-ième tirage. Examinez alors les tirages à réaliser pour obtenir la situation indiquée à la fin du (n + 1)-ième tirage et déterminez les probabilités demandées.

b) Utilisez la formule des probabilités totales.

 2. et 3. Démontrez les relations proposées à l’aide de raisonnements par récurrence.

 5. Interprétez les limites obtenues en envisageant une évolution à long terme du contenu des urnes U et V.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie A

 1. Déterminer une probabilité

La machine A fournissant 60 % de la production journalière, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit fabriquée par la machine A est de 0,6 ce qui se note P(A) = 0,6. Les autres billes étant fabriquées par la machine B, soit 40 % de la production journalière, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit fabriquée par la machine B est de 0,4 ce qui se note P(B) = 0,4.

Parmi les billes fabriquées par la machine A, 98 % sont vendables. Par suite, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit vendable sachant que la bille a été fabriquée par la machine A, est 0,98. Autrement dit, PA(V) = 0,98. Nous pouvons alors représenter la situation par l’arbre pondéré suivant dont les probabilités manquantes seront calculées ultérieurement :

matT_1606_02_01C_05

La probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A est la probabilité de la feuille 1323344-Eqn29. Or, 1323344-Eqn30.

La probabilité demandée est ainsi égale à 0,588.

 2. Déterminer une probabilité conditionnelle

Comme 96 % de la production journalière est vendable, la probabilité que l’événement V soit réalisé est 0,96 ce qui se note P(V) = 0,96. Or, l’événement V est associé à deux feuilles : 1323344-Eqn31 et 1323344-Eqn32. Par la formule des probabilités totales, il en découle que : 1323344-Eqn33.

Comme P(V) = 0,96 et 1323344-Eqn34, nous avons : 1323344-Eqn35.

La probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine B est ainsi égale à 0,372.

La probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B se note PB(V). Or, par définition d’une probabilité conditionnelle et comme P(B) = 0,4 ≠ 0, nous avons : 1323344-Eqn38.

La probabilité demandée est ainsi égale à 0,93.

 3. Confirmer/infirmer une opinion

Attention !

La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud étant égale à 1, 1323344-Eqn36 ce qui implique que 1323344-Eqn37.

Déterminons la probabilité que la bille choisie provienne de la machine B sachant que cette bille n’est pas vendable, c’est-à-dire 1323344-Eqn39.

Comme 1323344-Eqn40 par définition d’une probabilité conditionnelle, nous avons :

1323344-Eqn41.

Le technicien a raison sur la donnée numérique mais il serait plus juste de dire « 70 % des billes non vendables sont susceptibles de provenir de la machine B » pour noter le caractère probabiliste de cette donnée.

partie B

 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale

Notez bien

Calcul de 1323344-Eqn42 avec 1323344-Eqn431323344-Eqn44.

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr : normalFRép1323344-Eqn45

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 : NormCD1323344-Eqn46

La probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable se note : 1323344-Eqn47

À l’aide d’une calculatrice, nous avons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_06

matT_1606_02_01C_07

La probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près, à savoir 0,93.

 2. Déterminer une valeur approchée d’un écart type

D’après l’énoncé, 1323344-Eqn48 ce qui s’écrit 1323344-Eqn49

Or, comme 1323344-Eqn50 et par symétrie de la densité d’une loi normale :1323344-Eqn51

Par les mêmes arguments, 1323344-Eqn52

Il en découle que 1323344-Eqn53 qui est équivalent à 1323344-Eqn54 et par conséquent, 1323344-Eqn55

Nous avons :

1323344-Eqn56

Or, comme la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 1 et d’écart type 1323344-Eqn57 alors, par définition, la variable aléatoire 1323344-Eqn58 suit la loi normale centrée réduite. Nous avons ainsi 1323344-Eqn591323344-Eqn601323344-Eqn61.

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 + : 
FracNormale(1323344-Eqn651323344-Eqn661323344-Eqn67) où 1323344-Eqn68 et 1323344-Eqn69.

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 : InvNormCD(1323344-Eqn701323344-Eqn711323344-Eqn72) où 1323344-Eqn73 et 1323344-Eqn74.

Résolvons alors l’équation 1323344-Eqn621323344-Eqn63 est un réel à déterminer et où 1323344-Eqn64 suit la loi normale centrée réduite.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_08

matT_1606_02_01C_09

Ainsi 1323344-Eqn75.

Par identification, nous pouvons maintenant écrire que 1323344-Eqn76 soit 1323344-Eqn77

La valeur de σ, arrondie au millième, est 0,043.

partie C

 1. a) Déterminer une probabilité avec une loi binomiale

Notons N la variable aléatoire qui, à tout sachet de 40 billes choisies au hasard dans la production journalière, associe le nombre de billes noires. Choisir au hasard une bille est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la bille est noire » de probabilité p = 0,2 (5 choix de couleurs, choix équiprobables) et l’échec est « la bille n’est pas noire, à savoir blanche, bleue, jaune ou rouge » de probabilité 1323344-Eqn78 On répète 40 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques (assimilation à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière). On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 40, N comptant le nombre de billes noires dans ce schéma. N suit alors la loi binomiale de paramètres 1323344-Eqn79 et 1323344-Eqn80 La probabilité demandée est 1323344-Eqn81. À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_10

matT_1606_02_01C_11

La probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires est environ 0,107.

b) Utiliser un intervalle de fluctuation et prendre une décision

La proportion p de billes noires est supposée être égale à 0,2. L’échantillon considéré ici est un sachet de 40 billes. La taille de notre échantillon est par suite 1323344-Eqn82 Comme 1323344-Eqn83 1323344-Eqn84 et 1323344-Eqn85, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de billes noires dans un échantillon de taille 40 est ainsi défini et donné par :

1323344-Eqn86

La fréquence de billes noires dans le sachet de taille 40 est égale à 1323344-Eqn87.

Comme f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, ce constat ne permet pas, à partir du sachet considéré, de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes.

 2. Déterminer un paramètre sous contrainte

Notez bien

Pour tous réels 1323344-Eqn91, 1323344-Eqn92 et tout entier relatif 1323344-Eqn93 : 1323344-Eqn94 et 1323344-Eqn95.

Désignons par N la variable aléatoire qui, à tout sachet de n billes, associe le nombre de billes noires. Contrairement à la question précédente, n n’est pas fixé à 40. Par contre, similairement à cette question, la variable aléatoire N suit la loi binomiale de paramètres n et 1323344-Eqn88. La contrainte « la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 % » s’écrit à l’aide de cette variable aléatoire de la manière suivante : 1323344-Eqn89. Or,

1323344-Eqn90

Comme 1323344-Eqn97, le nombre minimal de billes que chaque sachet doit contenir pour atteindre l’objectif est 21.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie A

 1. Valider par le calcul des observations graphiques

1323344-Eqn98 donc 1323344-Eqn99  f.

1323344-Eqn100 donc 1323344-Eqn101  f.

La fonction 1323344-Eqn102 est une fonction affine dérivable sur 1323344-Eqn103 et strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent, la fonction 1323344-Eqn104 est dérivable sur 1323344-Eqn105. Il s’ensuit que la fonction f est dérivable sur 1323344-Eqn106 comme produit et somme de fonctions dérivables sur 1323344-Eqn107. Pour tout 1323344-Eqn108 :

1323344-Eqn109.

Notez bien

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle J, alors la fonction 1323344-Eqn110 est dérivable sur J et 1323344-Eqn111.

Le coefficient directeur de la tangente à f au point I est 1323344-Eqn112. Comme le point I appartient à l’axe des abscisses, nous en déduisons que l’axe des abscisses est tangent à la courbe f au point I.

 2. a) Déterminer les coordonnées d’un point

Une équation de la droite  est 1323344-Eqn113 avec 1323344-Eqn114.

Or 1323344-Eqn115 et 1323344-Eqn116. Donc :

1323344-Eqn117.

La droite a pour équation réduite y = x – 2e + 2.

D est le point d’intersection de avec l’axe des abscisses ;

D appartient à donc 1323344-Eqn118 ;

D appartient à l’axe des abscisses donc 1323344-Eqn119. Finalement 1323344-Eqn120.

Le point D a donc pour coordonnées (2e – 2 ; 0).

b) Encadrer un volume

D’après l’énoncé : 1323344-Eqn121.

Par conséquent, puisque 1323344-Eqn122, nous avons :

1323344-Eqn123.

Or :

1323344-Eqn124

1323344-Eqn125

1323344-Eqn126

Ainsi 1323344-Eqn127 et

1323344-Eqn128.

Notez bien

1323344-Eqn129.

Finalement : 1323344-Eqn130.

 3. a) Démontrer qu’une fonction est une primitive d’une autre

La fonction 1323344-Eqn131 est dérivable sur [2 ; 2e] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [2 ; 2e]. Pour tout 1323344-Eqn132 :

1323344-Eqn133

La fonction G est donc une primitive de g sur [2 ; 2e].

b) Identifier une primitive d’une fonction

Pour tout 1323344-Eqn134, 1323344-Eqn135

Une primitive 1323344-Eqn136 de 1323344-Eqn137 sur 1323344-Eqn138 est donc donnée, pour tout1323344-Eqn139, par :

1323344-Eqn140

c) Calculer une aire et un volume

Pour tout 1323344-Eqn141, 1323344-Eqn142.

Nous avons : 1323344-Eqn143.

Par conséquent, si 1323344-Eqn144, 1323344-Eqn145.

Ainsi la fonction 1323344-Eqn146 est positive sur 1323344-Eqn147.

La fonction 1323344-Eqn148 étant dérivable sur 1323344-Eqn149 (question A 1.), elle est continue sur cet intervalle et la fonction 1323344-Eqn150 est continue sur 1323344-Eqn151 comme différence de fonctions continues sur 1323344-Eqn152.

L’aire 1323344-Eqn153 est donc donnée par 1323344-Eqn154. Nous obtenons alors :

1323344-Eqn155

Le volume est donc : 1323344-Eqn156.

partie B

 1. Calculer un volume

Lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de 1 mètre, nous avons f(x) = 1.

D’après la question A 1., pour tout 1323344-Eqn157, 1323344-Eqn158, d’où :

1323344-Eqn159.

Pour tout 1323344-Eqn160, 1323344-Eqn161 donc f est strictement croissante sur [2 ; 2e]. D’après la question A 3. c), f est continue sur [2 ; 2e].

D’après la question A 1., f(2) = 0 et f(2e) = 2.

1 est donc compris entre f(2) et f(2e).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 1 admet une solution unique α sur [2 ; 2e].

À l’aide de la calculatrice, on obtient 1323344-Eqn162, puis 1323344-Eqn163.

Lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est de 1 mètre, le volume d’eau dans la cuve est d’environ 7 m3.

 2. Interpréter le résultat affiché par un algorithme

L’algorithme proposé exploite la méthode de dichotomie. Tant que la condition 1323344-Eqn164 est satisfaite, l’algorithme calcule la valeur correspondant au centre c de l’intervalle 1323344-Eqn165 et remplace l’une des deux bornes de l’intervalle 1323344-Eqn166 par ledit centre en analysant la condition 1323344-Eqn167. Lorsque la condition 1323344-Eqn168 n’est plus satisfaite, l’algorithme affiche 1323344-Eqn169. On obtient ainsi une valeur approchée de la hauteur d’eau f(c) (en mètres) dans la cuve lorsque la cuve contient un volume d’eau égal à 1323344-Eqn170 (en m3) (avec une précision d’au moins 10–3).

Exercice 3

Commun à tous les candidats

 1. Mettre un nombre complexe sous forme exponentielle

1323344-Eqn171.

Soit 1323344-Eqn172, alors 1323344-Eqn173 et 1323344-Eqn174.

Un argument de 1323344-Eqn175 est alors 1323344-Eqn176.

La forme exponentielle de 1 + i est donc 1323344-Eqn177.

 2. Déterminer une valeur seuil

matT_1606_02_01C_12

4 est la plus grande distance existant entre le point O et un point situé sur le carré. Par conséquent chercher s’il existe un entier naturel 1323344-Eqn178 tel que, pour tout 1323344-Eqn179, tous les points 1323344-Eqn180 soient à l’extérieur du carré ABCD équivaut à chercher un entier naturel 1323344-Eqn181 tel que, pour tout 1323344-Eqn182, toutes les longueurs 1323344-Eqn183 soient supérieures à 4. Cherchons si un tel entier 1323344-Eqn184 existe.

On a les équivalences suivantes :

1323344-Eqn185

Notez bien

Pour tout nombre complexe 1323344-Eqn186 et tout entier naturel 1323344-Eqn187 : 1323344-Eqn188.

Pour tous réels 1323344-Eqn189, 1323344-Eqn190 et tout entier relatif 1323344-Eqn191 : 1323344-Eqn192 ; 1323344-Eqn193 et 1323344-Eqn194.

Il existe donc un entier n0 (il s’agit de n0 = 5) tel que, pour tout entier naturel 1323344-Eqn195, le point Mn est à l’extérieur du carré ABCD.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 1. Justifier qu’un repère est orthonormé

Pour démontrer que le repère 1323344-Eqn196 est orthonormé, on démontre que OB = OC = OS = 1 et que les droites (OB), (OC) et (OS) sont perpendiculaires deux à deux.

ABCD est un carré de centre O donc 1323344-Eqn197 et 1323344-Eqn198.

D’après l’énoncé, (SO) est la hauteur de la pyramide donc elle est orthogonale au plan de base (BOC). Par conséquent, (SO) est orthogonale à toute droite du plan (BOC), en particulier 1323344-Eqn199 et 1323344-Eqn200.

Dans le triangle OBC rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore :

1323344-Eqn201 et 1323344-Eqn202.

Toutes les arêtes de la pyramide ont donc une longueur égale à 1323344-Eqn203.

Dans le triangle SOB rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore :

1323344-Eqn204 et 1323344-Eqn205.

Finalement OS = 1.

Le repère proposé 1323344-Eqn206 est un repère orthonormé.

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d’un point

Dans le repère 1323344-Eqn207, le point O est le milieu du segment [DB] donc 1323344-Eqn208 donc le point D a pour coordonnées 1323344-Eqn209.

Comme le point S a pour coordonnées 1323344-Eqn210 on a :

1323344-Eqn211

Le point K a pour coordonnées 1323344-Eqn212.

b) Justifier que des points sont alignés

I est le milieu du segment [OS] donc :

1323344-Eqn213.

Le point I a pour coordonnées 1323344-Eqn214.

Comme le point B a pour coordonnées 1323344-Eqn215 :

1323344-Eqn216 et 1323344-Eqn217 donc 1323344-Eqn218.

Les vecteurs 1323344-Eqn219 et 1323344-Eqn220 sont colinéaires donc les points B, K et I sont alignés.

c) Justifier que des droites sont parallèles

1323344-Eqn221 donc 1323344-Eqn222. B, K et I sont alignés (question précédente) donc 1323344-Eqn223.

On constate donc que 1323344-Eqn224.

1323344-Eqn225. Comme L est le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI), on en déduit que 1323344-Eqn227.

On constate donc que 1323344-Eqn228.

Finalement, on en déduit que les plans (SDA) et (BCI) sont sécants suivant la droite (KL).

Notez bien

Théorème du toit : si deux plans P1 et P2, sécants suivant une droite d, contiennent respectivement les droites d1 et d2 et que les droites d1 et d2 sont parallèles, alors d est parallèle à d1 et d2.

Maintenant, le plan (SDA) contient la droite (AD), le plan (BCI) contient la droite (BC), et (AD) et (BC) sont parallèles (carré ABCD).

D’après le théorème du toit, la droite (KL), intersection des plans (SDA) et (BCI), est parallèle à (AD) et (BC). Les droites (AD) et (KL) sont donc parallèles.

d) Déterminer les coordonnées d’un point

Dans le triangle ADS, 1323344-Eqn229 et 1323344-Eqn230. Les points S, K et D sont alignés dans cet ordre. Les points S, L et A sont alignés dans cet ordre. Les droites (KL) et (AD) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, 1323344-Eqn231. Or 1323344-Eqn232 donc 1323344-Eqn233 et 1323344-Eqn234. Comme les vecteurs 1323344-Eqn235 et 1323344-Eqn236 sont colinéaires de même sens, on a 1323344-Eqn237.

On a alors :

1323344-Eqn238

Le point L a pour coordonnées 1323344-Eqn239.

 3. a) Montrer qu’un vecteur est normal à un plan

D’après la question 2. b), 1323344-Eqn240, et de plus 1323344-Eqn241. Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

1323344-Eqn242 donc 1323344-Eqn243.

1323344-Eqn244 donc 1323344-Eqn245.

Le vecteur 1323344-Eqn246 est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCI) donc 1323344-Eqn247 est normal au plan (BCI).

b) Montrer que des vecteurs sont coplanaires

Dans le repère 1323344-Eqn248, le point O est le milieu du segment [AC] (car ABCD est un carré de centre O) donc 1323344-Eqn249 donc le point A a pour coordonnées 1323344-Eqn250.

Notez bien

Lorsque 1323344-Eqn257, on dit que 1323344-Eqn258 s’exprime comme combinaison linéaire des vecteurs 1323344-Eqn259.

1323344-Eqn251et 1323344-Eqn252 or 1323344-Eqn253 donc 1323344-Eqn254.

Comme 1323344-Eqn255 avec a = 1 et = 1, on en déduit que les vecteurs 1323344-Eqn256 sont coplanaires.

c) Étudier la position relative de deux plans

D’après la question 3. a), 1323344-Eqn260 est normal au plan (BCI). D’après la question précédente, les vecteurs 1323344-Eqn261 sont coplanaires. On en déduit donc que les plans (BCI) et (SAD) sont perpendiculaires.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

 1. a) Déterminer des probabilités conditionnelles

1323344-Eqn262 est la probabilité que l’urne U contienne exactement une boule blanche après le 1323344-Eqn263-ième tirage sachant que celle-ci ne contenait aucune boule blanche après le 1323344-Eqn264-ième tirage.

Si l’événement 1323344-Eqn265 est réalisé, les contenus des urnes à la fin du 1323344-Eqn266-ième tirage sont les suivants :

Urne U

Urne V

N désigne une boule noire

B désigne une boule blanche

NN

BB

Sachant que l’événement 1323344-Eqn267 est réalisé, pour que l’événement 1323344-Eqn268 soit lui aussi réalisé, on doit échanger une boule noire et une boule blanche entre les urnes U et V. L’événement 1323344-Eqn269, sachant que l’événement 1323344-Eqn270 est réalisé, est alors un événement certain puisque l’urne U ne contient que des boules noires et que l’urne V ne contient que des boules blanches. On a ainsi 1323344-Eqn271.

Si l’événement 1323344-Eqn272 est réalisé, les contenus des urnes à la fin du 1323344-Eqn273-ième tirage sont les suivants :

Urne U

Urne V

BB

NN

Sachant que l’événement 1323344-Eqn274 est réalisé, pour que l’événement 1323344-Eqn275 soit lui aussi réalisé, on doit échanger une boule noire et une boule blanche entre les urnes U et V. L’événement 1323344-Eqn276, sachant que l’événement 1323344-Eqn277 est réalisé, est alors un événement certain puisque l’urne U ne contient que des boules blanches et que l’urne V ne contient que des boules noires. On a ainsi 1323344-Eqn278.

Notons tout d’abord que 1323344-Eqn279.

Si l’événement 1323344-Eqn280 est réalisé, les contenus des urnes à la fin du 1323344-Eqn281-ième tirage sont les suivants :

Urne U

Urne V

NB

NB

Sachant que l’événement 1323344-Eqn282 est réalisé, pour que l’événement 1323344-Eqn283 soit lui aussi réalisé, on doit échanger la boule noire de l’urne U et la boule blanche de l’urne V.

La probabilité de tirer la boule noire dans l’urne U est 0,5, celle de tirer la boule blanche dans l’urne V est 0,5. Par indépendance, la probabilité de l’événement 1323344-Eqn284, sachant que l’événement 1323344-Eqn285 est réalisé, est donc 1323344-Eqn286.

Sachant que l’événement 1323344-Eqn287 est réalisé, pour que l’événement 1323344-Eqn288 soit lui aussi réalisé, on doit ici échanger la boule blanche de l’urne U et la boule noire de l’urne V.

La probabilité de tirer la boule blanche dans l’urne U est 0,5, celle de tirer la boule blanche dans l’urne V est 0,5. Comme précédemment, on obtient par indépendance : 1323344-Eqn289.

Finalement : 1323344-Eqn290

b) Déterminer une probabilité

D’après la formule des probabilités totales :

1323344-Eqn291

Ainsi, 1323344-Eqn292.

 2. Déterminer une matrice et justifier une égalité matricielle

1323344-Eqn293

Attention !

Pensez à vérifier votre résultat avec la calculatrice.  C5 

Soit la propriété 1323344-Eqn294.

Initialisation

1323344-Eqn295 donc la propriété est initialisée.

Notez bien

La matrice 1323344-Eqn296 est la matrice identité d’ordre 3 : 1323344-Eqn297.

Hérédité

On suppose que la propriété 1323344-Eqn298 est vraie pour un entier naturel k (hypothèse de récurrence). On démontre alors que la propriété 1323344-Eqn299est vérifiée.

1323344-Eqn300

La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété 1323344-Eqn301 est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel n, Rn = R0 × Mn.

 3. Établir une égalité matricielle

Soit la propriété 1323344-Eqn302

Initialisation

1323344-Eqn303 donc la propriété est initialisée.

Hérédité

On suppose que la propriété 1323344-Eqn304 est vraie pour un entier naturel 1323344-Eqn305 (hypothèse de récurrence). On démontre alors que la propriété 1323344-Eqn306 est vérifiée.

1323344-Eqn307

La propriété est donc héréditaire.

Comme la propriété 1323344-Eqn308 est initialisée et héréditaire, elle est vraie, pour tout entier naturel n, Mn = P × Dn × P1.

4. a) Effectuer un calcul matriciel

1323344-Eqn309

b) Déterminer les coefficients d’une matrice

D’après la question 2., 1323344-Eqn310. Ainsi :

1323344-Eqn311

 5. Calculer et interpréter des limites

D’après la question précédente, puisque 1323344-Eqn312, on peut écrire :

1323344-Eqn313

1323344-Eqn314

1323344-Eqn315.

En posant 1323344-Eqn316, on a 1323344-Eqn317 et 1323344-Eqn318.

Par conséquent, par produit et somme :

1323344-Eqn319, 1323344-Eqn320 et 1323344-Eqn321.

Ainsi, à long terme (si l’on considère un grand nombre de tirages) :

la probabilité que l’urne U contienne 0 boule blanche à la fin d’un tirage donné va se stabiliser à 1323344-Eqn322 ;

la probabilité que l’urne U contienne 1 boule blanche à la fin d’un tirage donné va se stabiliser à 1323344-Eqn323 ;

la probabilité que l’urne U contienne 2 boules blanches à la fin d’un tirage donné va se stabiliser à 1323344-Eqn324.