Sujet complet d'Amérique du Nord 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujets complets

2

matT_1706_02_00C

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet d’Amérique du Nord 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Dérivée • Intervalle de confiance.

Exercice 2 – Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Exercice 3 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe pondéré • Plus court chemin.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

Exercice 1 (4 points) 35 min
QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +[ par f(x)=xlnx x. On note f sa fonction dérivée. On a alors :

a) f(x)=0

b) f(x)=ln(x)

c) f(x)=1x1

d) f(x)=1xx

2. Les entiers naturels n vérifiant l’inéquation 6×0,95n12 appartiennent à l’intervalle :

a) ]∞ ; ln3ln(5,7)]

b) ]∞ ;ln(0,50,95)]

c) ]∞ ; ln(0,5)ln(0,95)]

d) [ln(0,5)ln(0,95) ;+[

3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2 m.

Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m. On prélève au hasard un échantillon de 1 000 tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.

L’intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 %, avec les bornes arrondies à 103, est :

a) [0,922 ; 0,986]

b) [0,947 ; 0,961]

c) [1,98 ; 2,02]

d) [0,953 ; 0,955]

4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants. Quelle est la probabilité qu’il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

a) 0,512

b) 2,4

c) 0,262 144

d) 0,081 92

Exercice 2 (5 points) 45 min
Évolution du nombre d’étudiants dans une université

Commun à tous les candidats

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016. Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

150 étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin) ;

les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016 + n.

On a donc u0 = 27 500.

1. a) Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017. (0,25 point)

b) Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017. (0,25 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,04 un - 156. (0,75 point)

3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement. (1 point)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

Variables :

Traitement :

Sortie :

n est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

n prend la valeur 0

U prend la valeur 27 500

Tant que U  …… faire

n prend la valeur …

U prend la valeur …

Fin Tant que

Afficher …

4. a) On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.

Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l’unité. (1 point)

 

Initialisation

Étape 1

Valeur de n

0

……

Valeur de U

27 500

……

b) Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. (0,25 point)

5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 3 900.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

un=23 600×1,04n+3900. (0,5 point)

c) Déterminer la limite de la suite (un) et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Intolérance au gluten et diagnostic

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

D’après l’AFDIAG (Association Française Des Intolérants Au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1 % de la population.

On estime que seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.

On considère que si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ 66,6 millions d’habitants au 1er janvier 2016.

On considère les événements :

I : « la personne choisie est intolérante au gluten » ;

T : « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».

partie a

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : (1 point)

matT_1706_02_00C_01

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée. (0,5 point)

3. Montrer que p(T= 0,002. (0,75 point)

partie b

L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note X la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.

On admet que la loi de X peut être assimilée à la loi normale d’espérance μ = 11 et d’écart-type σ = 4.

1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

2. Calculer p(X  6). Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

3. Sachant que p(X  a) = 0,84, donner la valeur de a arrondie à l’unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance μ = 11 et d’écart-type σ = 4 ? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes. (1 point)

matT_1706_02_00C_02

Exercice 3 (5 points) 45 min
Trajets entre lieux remarquables d’Islande : étude à l’aide d’un graphe

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout-terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.

Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :

002_matT_1706_02_00C_exo_3

1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.

a) Déterminer l’ordre du graphe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

c) Déterminer si le graphe est complet. (0,25 point)

2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible. (1 point)

3. On appelle M la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-après une partie de la matrice M ainsi que la matrice M4.

M=(000000011000000100000001011000000110000001101001010101111001100000011100)

M4=(12316814131521035569116312165241123212652086111013149314149231328292983013112114293832154015626929324314342353815141521101220143040342149).

a) Il manque certains coefficients de la matrice M. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice. (0,75 point)

b) Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 ­permettant d’aller de B à D. (0,5 point)

4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

matT_1706_02_00C_04

Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet à emprunter. (1,5 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Étude graphique et théorique d’une fonction

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0,7 ; 6] ; on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

matT_1706_02_00C_05

1. La tangente au point d’abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 ; 4) et B(4 ; 0). Déterminer f(3). (0,75 point)

2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par f(x)=(x22x+1)e2x+6.

1. Montrer que f(x)=(2x2+6x4)e2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

L1

f(x):=(2x^2+6x4)*e^(2x+6) 

f(x)=(2x2+6x4)e2x+6

L2

g(x) : = Dérivée [f(x)]

g(x= 16xe2x+6+4x2e2x+6+14e2x+6

L3

Factoriser [g(x)]

2e2x+6(2x28x+7)

L4

Résoudre [g(x) = 0]

{x=2+42;x=2+42}

L5

F(x) : = Primitive [f(x)]

F(x) = 14(2x2+2x1)e2x+6

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse. (1 point)

c) On pose I=35f(x) dx. Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à 101. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

2. Utilisez la fonction ln et n’oubliez pas que ln(0,95)<0.

4. Définissez une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Soyez attentif aux dates : à chaque rentrée, l’effectif augmente de 4 % par rapport à celui du mois de juin qui précède, donc en tenant compte des étudiants qui ont démissionné en cours d’année.

3. N’oubliez pas que l’algorithme doit donner l’année à partir de laquelle l’effectif dépassera la capacité d’accueil.

5. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

5. b) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

Partie B

1., 2. et 3. Utilisez la calculatrice.

4. Regardez dans un premier temps l’axe de symétrie des courbes, puis l’aire sous les courbes entre 9 et 13.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

2. Appliquez le théorème d’Euler.

3. b) Le nombre de trajets de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe est l’un des coefficients d’une puissance de la matrice associée au graphe.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. f(3) est le coefficient directeur de la droite (AB).

2. Le signe de f est lié au sens de variation de f.

Partie B

3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Déterminer la dérivée d’une fonction

f est dérivable sur ]0 ; +[ et, pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=1×lnx+x×1x1

f(x)=lnx

La bonne réponse est b).

2. Résoudre une inéquation où l’inconnue est un exposant

L’inéquation 6×0,95n12 équivaut successivement à :

6×0,95n3

0,95n0,5.

Notez bien

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[ etln(0,95)<0 car 0 < 0,95 < 1.

0,95n0,5 est équivalent à :

n ln(0,95) ln(0,5)

nln(0,5)ln(0,95).

La bonne réponse est d).

3. Déterminer un intervalle de confiance d’une proportion

Si f est la fréquence de tubes dans la norme dans un échantillon de taille n, alors l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de tubes dans la norme pour l’entreprise est :

[f1n;f+1n].

Notez bien

Une fréquence et une proportion sont des nombres compris entre 0 et 1 ; la réponse c. ne peut pas convenir.

Ici f=9541000=0,954 et n = 1 000.

f1n=0,922 en arrondissant à 103 par défaut. f+1n=0,986 en arrondissant à 103 par excès.

La bonne réponse est a).

4. Déterminer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’archer touche la cible sur une série de 6 tirs. X est égale au nombre de succès (« atteindre la cible ») lors de la répétition de 6 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et la probabilité de succès est 0,8 d’après l’énoncé.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres 6 et 0,8. D’après le cours :

P(X=3)=(63)×0,83×0,23.

Avec la calculatrice :

P(X=3)=0,08192.

La bonne réponse est d).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

1. a) Estimer un effectif

Puisque 27 500 étudiants étaient inscrits à l’université à la rentrée 2016 et que l’on estime que 150 d’entre eux démissionnent au cours de l’année 2016-2017, le nombre d’étudiants en juin 2017 peut être estimé à 27500150, soit 27 350 étudiants.

b) Calculer un terme d’une suite

Notez bien

L’effectif à la rentrée de septembre 2017 est u1 car 2017 = 2016 + 1.

L’effectif augmente de 4 % en septembre 2017 par rapport à celui de juin 2017.

Donc u1 = 27 350 × 1,04.

En septembre 2017, l’effectif peut être estimé à 28 444 étudiants.

2. Déterminer une relation entre deux termes successifs d’une suite

Soit n un entier naturel. Le nombre d’étudiants estimé à la rentrée de septembre 2016 + n est un.

Puisque 150 étudiants démissionnent en cours d’année, le nombre d’étudiants au mois de juin suivant est un - 150.

De juin à septembre, l’effectif augmente de 4 %, donc :

un+1 = 1,04 (un - 150)

un+1 = 1,04 un - 1,04 × 150

un+1=1,04 un156

3. Compléter un algorithme

Pour que l’algorithme donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera 33 000, il doit être complété de la manière suivante :

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

Variables :

Traitement :

Sortie :

n est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

n prend la valeur 0

U prend la valeur 27 500

Tant que U  33 000 faire

n prend la valeur n + 1

U prend la valeur 1,04 × U − 156

Fin Tant que

Afficher 2016 + n

4. a) Compléter un tableau d’étapes

En faisant fonctionner l’algorithme en mode pas à pas et en arrondissant à l’unité les valeurs successives de U, on obtient le tableau suivant :

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Étape 4

Étape 5

Étape 6

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

6

Valeur de U

27 500

28 444

29 426

30 447

31 509

32 613

33 762

b) Donner la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, c’est au bout de 6 ans, c’est-à-dire en 2022, que le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité de l’université.

En sortie, l’algorithme affiche 2022.

5. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 3 900

vn+1 = 1,04 un - 156 - 3 900

vn+1 = 1,04 un - 4 056

vn+1=1,04 (vn+3900)4056

vn+1 = 1,04 vn.

Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,04. Son premier terme est v0=u03900=23600.

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Puisque (vn) est une suite géométrique, pour tout entier naturel n :

vn=23600×1,04n.

un = vn + 3 900, donc, pour tout entier naturel :

un=23600× 1,04n+3900

c) Déterminer et interpréter la limite d’une suite

1,04 > 1, donc :

limn+1,04n=+

limn+un=+

À long terme, le nombre d’étudiants à accueillir devrait dépasser toute capacité d’accueil fixée.

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

partie a

1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

D’après l’énoncé, p(I)=0,01 (la maladie cœliaque touche environ 1 % de la population) etpI(T)=0,2 (20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées), d’où l’arbre :

matT_1706_02_00C_06

2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

L’événement « la personne choisie est intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée » est IT¯.

D’après l’arbre ci-dessus :

p(IT¯)=0,01×0,8=0,008.

La probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée est 0,008.

3. Calculer la probabilité d’un événement

Puisque I et I¯ forment une partition de l’univers :

p(T)=p(IT)+p(I¯T).

Mais p(I¯T)=0 (« si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test »), donc, d’après l’arbre :

p(T)=0,01×0,2

p(T)=0,002

partie b

1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes est p(9 X  13).

D’après la calculatrice :

p(9X13)0,383à103près

2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Puisque X suit une loi normale d’espérance 11 :

p(X6)=p(X11)p(6X11)=0,5p(6X11).

D’après la calculatrice :

p(X6)0,106à103près

3. Estimer et interpréter un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

On cherche le réel a tel que p(Xa)=0,84.

D’après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale et en arrondissant à l’unité :

a=15

Donc, pour 84 % des personnes intolérantes au gluten, la maladie cœliaque est diagnostiquée dans un délai de 15 ans après l’apparition des premiers symptômes.

4. Reconnaître la courbe représentative de la fonction de densité d’une loi normale de paramètres donnés

La loi de X a pour espérance μ = 11, donc la droite d’équation x = 11 est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité, ce qui exclut la courbe 1.

D’autre part, si f est la fonction de densité de la loi de X, p(9  X  13) est l’aire sous la courbe de f entre 9 et 13.

Sur le graphique donné, chaque rectangle du quadrillage a une aire égale à 0,02. Le domaine délimité par la courbe 2, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 9 et x = 11 a une aire égale à environ 19 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d’environ 0,38 ; le domaine analogue délimité par la courbe 3 a une aire égale à environ 11 rectangles, ce qui correspond à une probabilité d’environ 0,22.

Or on a vu à la question 1. que p(9X13)0,383.

La courbe représentant la fonction de densité de la loi normale d’espérance μ=11 et d’écart-type σ=4 est donc la courbe 2.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a) Déterminer l’ordre d’un graphe

Le graphe comporte 9 sommets, donc le graphe est d’ordre 9.

b) Déterminer si un graphe est connexe 

La chaîne D – M – H – R – B – V – J – L – G par exemple permet de relier deux sommets quelconques, donc le graphe est connexe.

c) Déterminer si un graphe est complet

Les sommets H et G par exemple ne sont pas adjacents, ils ne sont pas reliés par une arête, donc le graphe n’est pas complet.

2. Déterminer s’il existe sur un graphe un trajet empruntant une fois et une seule chaque arête

Le graphe est connexe.

On étudie le degré de chacun des sommets, on résume les résultats dans un tableau :

Sommet

B

D

G

H

J

L

M

R

V

Degré

2

1

3

2

3

4

5

3

5

Le graphe est connexe et possède 6 sommets (D, G, J, M, R V) de degré impair. D’après le théorème d’Euler, il n’existe pas de chaîne eulérienne, c’est-à-dire de trajet empruntant une fois et une seule chaque route.

3. a) Compléter la matrice associée à un graphe

Notez bien

La matrice associée à un graphe est une matrice carrée qui ne comporte que des 0 et des 1. Le coefficient situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j est égal à 1 si les sommets i et j sont adjacents.

Le bloc 3 × 3 complétant la matrice M donnée (lignes 7 à 9, colonnes 1 à 3) est :

010101101

b) Déterminer sur un graphe le nombre de trajets de longueur donnée

Le nombre de chemins de longueur 4 entre B (« sommet 1 ») et D (« sommet 2 ») est le coefficient de la matrice M4 situé à l’intersection de la ligne 1 et de la colonne 2, soit 3.

Donc il existe 3 chemins de longueur 4 de B à D.

4. Déterminer sur un graphe un trajet de distance minimale

Pour déterminer le trajet le plus court du sommet B (Lagon Bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss), on utilise l’algorithme de ­Dijkstra, qui peut être résumé par le tableau suivant :

B

G

H

J

L

M

R

V

D

 

0

 
 

50 (B)

220 B

B (0)

 

150 R

272 R

 

220 B

R (50)

   

272 R

291 G

 

220 B

G 150

   

272 R

412 V

291 G

670 V

   

V (220)

     

412 V

291 G

567 H

   

H (272)

     

412 V

 

567 H

   

L (291)

         

567 H

   

J (412)

               

617 M

M (567)

Donc la distance minimale du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss) est 617 km, et que le trajet à emprunter est B – R – H – M – D, c’est-à-dire Lagon bleu – Reykjavik – Rocher Hvitserkur – Lac de Mývatn – Chute d’eau de Dettifoss.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a. étude graphique

1. Déterminer un nombre dérivé

La tangente au point d’abscisse 3 à la courbe représentative de f est la droite (AB) et f(3) est son coefficient directeur, d’où :

f(3)=0443

f(3)=4

2. Donner par lecture graphique le signe de la dérivée d’une fonction

D’après le graphique, f est strictement décroissante sur [0,7 ; 1], strictement croissante sur [1 ; 2], strictement décroissante sur [2 ; 6] ; elle possède un minimum local en x = 1 et un maximum local en x = 2, d’où le tableau de signes de f sur [0,7 ; 6] :

x

0,7

 

1

 

2

 

6

Signe de f(x)

 

-

0

+

0

-

 

partie b. étude théorique

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x :

f(x)=(2x2)e2x+62(x22x+1)e2x+6

f(x)=(2x22x2+4x2)e2x+6

f(x)=(2x2+6x4)e2x+6 

2. Étudier le sens de variation d’une fonction sur un intervalle

Pour tout x appartenant à [0,7 ; 6], e2x+6>0, donc f(x) a le signe de 2x2+6x4.

Ce trinôme a pour discriminant Δ = 36 - 32 = 4 et pour racines réelles x1=624=2 et x2=6+24=1. Il est négatif (« du signe de a ») pour x < 1 et x > 2, négatif si 1 < x < 2.

On en déduit le tableau de variation de f :

matT_1706_02_00C_tab_1

3. a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

D’après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, f est deux fois dérivable sur [0,7 ; 6], et pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=2e2x+6(2x28x+7).

f(x)=0 si et seulement si x=2+421,3  ou x=2+422,7.

Pour tout x appartenant à [0,7 ; 6], e2x+6>0, donc f(x) a le signe de 2x28x+7.

Or f est concave sur un intervalle si et seulement si f est négative sur cet intervalle.

Donc f est concave sur l’intervalle [2+42;2+42].

b) Déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

La courbe représentative de f admet un point d’inflexion d’abscisse a si et seulement si la dérivée seconde f s’annule et change de signe en a. D’après les résultats donnés, la courbe représentative de f admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives 2+42 et 2+42.

c) Calculer une intégrale

D’après les résultats fournis par le logiciel de calcul formel, la fonction :

F:x14(2x2+2x1)e2x+6

est une primitive de f sur [0,7 ; 6].

I=F(5)F(3)

I=414e4+134.

En arrondissant à 101 :

I3,1