Sujet complet d'Amérique du Nord 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujets complets

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matT_1706_02_00C

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet d’Amérique du Nord 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Dérivée • Intervalle de confiance.

Exercice 2 – Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Suite géométrique.

Exercice 3 – Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe pondéré • Plus court chemin.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

Exercice 1 (4 points) 35 min
QCM sur les fonctions et les probabilités (4 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +[ par f(x)=xlnx x. On note f sa fonction dérivée. On a alors :

a) f(x)=0

b) f(x)=ln(x)

c) f(x)=1x1

d) f(x)=1xx

2. Les entiers naturels n vérifiant l’inéquation 6×0,95n12 appartiennent à l’intervalle :

a) ]∞ ; ln3ln(5,7)]

b) ]∞ ;ln(0,50,95)]

c) ]∞ ; ln(0,5)ln(0,95)]

d) [ln(0,5)ln(0,95) ;+[

3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur 2 m.

Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre 1,98 m et 2,02 m. On prélève au hasard un échantillon de 1 000 tubes, on observe que 954 tubes sont dans la norme.

L’intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de 95 %, avec les bornes arrondies à 103, est :

a) [0,922 ; 0,986]

b) [0,947 ; 0,961]

c) [1,98 ; 2,02]

d) [0,953 ; 0,955]

4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de 0,8. Les tirs sont supposés indépendants. Quelle est la probabilité qu’il touche 3 fois la cible sur une série de 6 tirs ?

a) 0,512

b) 2,4

c) 0,262 144

d) 0,081 92

Exercice 2 (5 points) 45 min
Évolution du nombre d’étudiants dans une université

Commun à tous les candidats

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septembre 2016. Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants.

Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

150 étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1er septembre et le 30 juin) ;

les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016 + n.

On a donc u0 = 27 500.

1. a) Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017. (0,25 point)

b) Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017. (0,25 point)

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,04 un - 156. (0,75 point)

3. Recopier et compléter les lignes L5, L6, L7 et L9 de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement. (1 point)

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L9

Variables :

Traitement :

Sortie :

n est un nombre entier naturel

U est un nombre réel

n prend la valeur 0

U prend la valeur 27 500

Tant que U  …… faire

n prend la valeur …

U prend la valeur …

Fin Tant que

Afficher …

4. a) On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.

Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l’unité. (1 point)

 

Initialisation

Étape 1

Valeur de n

0

……

Valeur de U

27 500

……

b) Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme. (0,25 point)

5. On cherche à calculer explicitement le terme général un en fonction de n.

Pour cela, on note (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 3 900.

a) Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout entier naturel n :

un=23 600×1,04n+3900. (0,5 point)

c) Déterminer la limite de la suite (un) et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Intolérance au gluten et diagnostic

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

D’après l’AFDIAG (Association Française Des Intolérants Au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ 1 % de la population.

On estime que seulement 20 % des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.

On considère que si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.

On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ 66,6 millions d’habitants au 1er janvier 2016.

On considère les événements :

I : « la personne choisie est intolérante au gluten » ;

T : « la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée ».

partie a

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous : (1 point)

matT_1706_02_00C_01

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée. (0,5 point)

3. Montrer que p(T= 0,002. (0,75 point)

partie b

L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note X la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.

On admet que la loi de X peut être assimilée à la loi normale d’espérance μ = 11 et d’écart-type σ = 4.

1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre 9 ans et 13 ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

2. Calculer p(X  6). Arrondir le résultat à 103. (0,5 point)

3. Sachant que p(X  a) = 0,84, donner la valeur de a arrondie à l’unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance μ = 11 et d’écart-type σ = 4 ? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes. (1 point)

matT_1706_02_00C_02

Exercice 3 (5 points) 45 min
Trajets entre lieux remarquables d’Islande : étude à l’aide d’un graphe

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout-terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.

Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes :

002_matT_1706_02_00C_exo_3

1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.

a) Déterminer l’ordre du graphe. (0,5 point)

b) Déterminer si le graphe est connexe. (0,5 point)

c) Déterminer si le graphe est complet. (0,25 point)

2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible. (1 point)

3. On appelle M la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-après une partie de la matrice M ainsi que la matrice M4.

M=(000000011000000100000001011000000110000001101001010101111001100000011100)

M4=(12316814131521035569116312165241123212652086111013149314149231328292983013112114293832154015626929324314342353815141521101220143040342149).

a) Il manque certains coefficients de la matrice M. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice. (0,75 point)

b) Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur 4 ­permettant d’aller de B à D. (0,5 point)

4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :

matT_1706_02_00C_04

Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).

Préciser alors le trajet à emprunter. (1,5 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Étude graphique et théorique d’une fonction

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0,7 ; 6] ; on suppose que f est dérivable.

partie a. étude graphique

On a représenté la fonction f sur le graphique ci-dessous.

matT_1706_02_00C_05

1. La tangente au point d’abscisse 3 à la courbe représentative de f passe par les points A(3 ; 4) et B(4 ; 0). Déterminer f(3). (0,75 point)

2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. (0,75 point)

partie b. étude théorique

On admet que la fonction f est définie par f(x)=(x22x+1)e2x+6.

1. Montrer que f(x)=(2x2+6x4)e2x+6, où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. (0,75 point)

2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,7 ; 6]. On ne demande pas de calculer les ordonnées. (1 point)

3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci‑dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

L1

f(x):=(2x^2+6x4)*e^(2x+6) 

f(x)=(2x2+6x4)e2x+6

L2

g(x) : = Dérivée [f(x)]

g(x= 16xe2x+6+4x2e2x+6+14e2x+6

L3

Factoriser [g(x)]

2e2x+6(2x28x+7)

L4

Résoudre [g(x) = 0]

{x=2+42;x=2+42}

L5

F(x) : = Primitive [f(x)]

F(x) = 14(2x2+2x1)e2x+6

a) Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. (1 point)

b) La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse. (1 point)

c) On pose I=35f(x) dx. Calculer la valeur exacte de I, puis la valeur arrondie à 101. (0,75 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

2. Utilisez la fonction ln et n’oubliez pas que ln(0,95)<0.

4. Définissez une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Soyez attentif aux dates : à chaque rentrée, l’effectif augmente de 4 % par rapport à celui du mois de juin qui précède, donc en tenant compte des étudiants qui ont démissionné en cours d’année.

3. N’oubliez pas que l’algorithme doit donner l’année à partir de laquelle l’effectif dépassera la capacité d’accueil.

5. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

5. b) Déterminez dans un premier temps l’expression de vn en fonction de n.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

2. On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

Partie B

1., 2. et 3. Utilisez la calculatrice.

4. Regardez dans un premier temps l’axe de symétrie des courbes, puis l’aire sous les courbes entre 9 et 13.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

2. Appliquez le théorème d’Euler.

3. b) Le nombre de trajets de longueur donnée entre deux sommets d’un graphe est l’un des coefficients d’une puissance de la matrice associée au graphe.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. f(3) est le coefficient directeur de la droite (AB).

2. Le signe de f est lié au sens de variation de f.

Partie B

3. c) Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel.