Sujet complet d'Amérique du Nord 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet d’Amérique du Nord 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Lois normales • Probabilités conditionnelles Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Fonction exponentielle • Intégration Compléments sur les fonctions

Exercice 3 – Suites • Algorithmique

Exercice 4 – Géométrie dans l’espace

Exercice 4 (spécialité) – Matrices • Suites • Arithmétique

 

Exercice 1 (5 points) 50 min
Secrétariat d’une entreprise

Commun à tous les candidats

partie a

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 2 900 euros et d’écart type σ = 1 250 euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros ?

2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimal d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.

partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam. Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam ». Le fabricant affirme que 95 % des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que 60 % des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que 58,6 % des messages sont déplacés dans le dossier spam.

Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

D : « le message est déplacé » ;

S : « le message est un spam ».

1. Calculer P(S D).

2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à 0,04.

3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?

4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que 2,7 % des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine. Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant ?

Exercice 2 (5 points) 70 min
Réalisation d’un portail

Commun à tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a telle que 0 <  2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-après. Les côtés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

matT_1706_02_01C_01

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [– 2 ; 2] par :

f(x)=b8(exb+e xb)+94 où b > 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (a ;f(a)), (a ;f(a)), (a ; 0) et (a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f, comme illustré ci-dessous.

matT_1706_02_01C_02

partie a

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [– 2 ; 2], f(– x= f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [– 2 ; 2] :

f(x)=18(exbe xb)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [– 2 ; 2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

partie b

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que = 1.

2. Montrer que l’équation f(x= 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

3. Dans cette question, on choisit = 1,8 et = 1. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à 20 kg  m–2. Que décide le client ?

partie c

On conserve les valeurs = 1,8 et = 1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

matT_1706_02_01C_03

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze : Aire = b+B2×h.

Exercice 3 (5 points) 60 min
Égalités entre somme et produit

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u0 est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n > 0, la somme des premiers termes consécutifs est égale au produit des premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note (un). Elle vérifie donc trois propriétés :

u0 > 1 ;

pour tout n  0, un  0 ;

pour tout n > 0, u0 + u1 + … + un – 1 = u0 × u1 ×× un – 1.

1. On choisit u0 = 3. Déterminer u1 et u2.

2. Pour tout entier n > 0, on note :

sn = u0 + u1 + … + un–1 = u0 × u1 ×× un–1.

On a en particulier s1 = u0.

a) Vérifier que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn + un et sn > 1.

b) En déduire que pour tout entier n > 0 :

un=snsn1.

c) Montrer que pour tout n  0, un > 1.

3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme un pour une valeur de n donnée.

a) Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessous.

Entrée

Saisir n

Saisir u

Traitement

s prend la valeur u

Pour i allant de 1 à n :

u prend la valeur …

s prend la valeur …

Fin Pour

Sortie

Afficher u

b) Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de un pour différentes valeurs de l’entier n :

n

0

5

10

20

30

40

un

3

1,140

1,079

1,043

1,030

1,023

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ?

4. a) Justifier que pour tout entier n > 0, sn > n.

b) En déduire la limite de la suite (sn) puis celle de la suite (un).

Exercice 4 (5 points) 60 min
Ombre sur une véranda

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé (O;i, j,k).

Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG.

Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.

Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).

Les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles.

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre-soleil.

matT_1706_02_01C_04

1. Sans calcul, justifier que :

a) le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;

b) le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé (O;i, j,k). Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ; 0 ; 0), B(4 ; 5 ; 0), C(0 ; 5 ; 0), E(4 ; 0 ; 2,5), F(4 ; 5 ; 2,5), G(0 ; 5 ; 2,5), S(0 ; 0 ; 3,5), U(0 ; 0 ; 6) et V(0 ; 8 ; 6).

On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan (UVK) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.

a) Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1,2. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2 ; 0 ; 3,2).

b) Montrer que le vecteur n de coordonnées (7 ; 0 ; 3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).

c) Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).

d) Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.

3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment [SG] avec l’horizontale doit être supérieur à 7°. Cette condition est-elle remplie ?

Exercice 4 (5 points) 60 min
Inscription dans une association

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.

À sa création en 2014, l’association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à 150.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme : soit le programme A, soit le programme B.

D’une année à l’autre, 20 % des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40 % choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.

D’une année à l’autre, 60 % des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année 2014 + n respectivement par deux suites (an) et (bn) et on note Un la matrice ligne (anbn). On a donc U0=(1500).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a Un+1 = Un M M=(0,60,40,40,6).

2. Montrer que, pour tout entier naturel n :

Un=(75+75 × 0,2n75 75 × 0,2n).

3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres c1c2c3c4c5k. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant, les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

on effectue la somme = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) où a est un entier compris entre 1 et 9 ;

on effectue la division euclidienne de S par 10, le reste obtenu est la clé k.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à 6 chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit = 3.

a) Le numéro 111383 peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?

b) L’employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08c3c4c5k est transformé en 11c3c4c5k. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?

2. On note c1c2c3c4c5k le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier a pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres c3 et c4 sont intervertis. On suppose donc que les chiffres c3 et c4 sont distincts.

a) Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a – 1)(c4c3) est congru à 0 modulo 10.

b) Déterminer les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np  0 (10).

c) En déduire les valeurs de l’entier a qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion des chiffres c3 et c4.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Traduisez, à l’aide de la variable aléatoire X, l’énoncé par une équation d’inconnue a, a représentant le montant minimum d’un devis pour que celui-ci soit pris en compte par l’entrepreneur. Résolvez ensuite cette équation dans .

Partie B

4. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie B

3. Calculez l’aire d’un vantail à l’aide d’une intégrale en vérifiant au préalable la continuité et la positivité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; a].

Partie C

Pour la forme 2, déterminez tout d’abord une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 et déduisez-en OG, CH et l’aire du trapèze OGHC.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

2. b) Justifiez, à l’aide de la définition par le produit, que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn × un. Puis, utilisez l’égalité justifiée à la question 2. a) qui exprime le terme sn+1 comme somme de deux termes. Enfin, concluez.

c) Constatez que l’inégalité est vraie pour n = 0. Justifiez ensuite que pour tout n > 0, un=1+1sn1. Concluez à l’aide de la question 2. a).

4. a) Pensez à un raisonnement par récurrence.

b) Pour déterminer la limite de la suite (un), justifiez au préalable que pour tout entier naturel n > 0, un=111sn.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

1. a) Pensez au théorème du toit.

2. b) Montrez que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs UV et UK, deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK).

2. c) Déterminez une représentation paramétrique de la droite (FG). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point N.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. Déterminez, à l’aide de l’énoncé, l’expression de an+1 puis de bn+1 en fonction de an et bn pour en déduire la matrice M et la relation demandée.

2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

2. a) Calculez la valeur de S pour chaque numéro (sans et avec interversion) et travaillez ensuite modulo 10 pour traduire la non-détection de l’erreur.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité à calculer s’exprime à l’aide de la variable aléatoire X de la manière suivante : P(X > 4 000). Par définition et par symétrie de la densité associée à la loi normale considérée, on a : P(X>4000)en vert sur le graphique=0,5P(2900X4000)en jaune sur le graphique.

matT_1706_02_01C_04bis

À l’aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_02_01C_05

matT_1706_02_01C_06

La probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros est environ 0,189.

2. Déterminer un paramètre dans le cadre d’une loi normale  E40d • E40e 

 

Notez bien !

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(b, μ, σ) où b = 0,1 ; μ = 2 900 et σ = 1 250.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(b, σ, μ) où b = 0,1 ; μ = 2 900 et σ = 1 250.

On note a le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte par l’entrepreneur. Tous les montants inférieurs à a ne sont ainsi pas pris en compte et ces derniers devraient représenter 10 % des demandes. Cela se traduit à l’aide de la variable aléatoire X par P(X<a)=0,1. Comme X est une variable aléatoire continue, cela est équivalent à P(Xa)=0,1. Résolvons cette équation d’inconnue a dans à l’aide de la calculatrice :

 

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_02_01C_07

matT_1706_02_01C_08

Ainsi, on a : a 1 298.

Le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte par l’entrepreneur, à l’euro près, est 1 298 euros.

Partie B

1. Calculer une probabilité  E35 • E37 

D’après l’énoncé, 95 % des spams sont déplacés et 60 % des messages reçus sont des spams. Ainsi, on a : PS(D)=0,95 et P(S)=0,60. Comme, par définition, PS(D)=P(SD)P(S), on a :

P(SD)=P(S)×PS(D)=0,6×0,95=0,57.

La probabilité P(SD) est donc égale à 0,57.

2. Déterminer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que, sachant que le message choisi au hasard n’est pas un spam, ce message soit déplacé. Cette probabilité se note : P S¯(D). L’événement S¯ étant l’événement contraire de l’événement S, on a :

P( S¯)=1P(S)=10,6=0,40.

 

Retenez bien !

Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l’événement A et l’événement B.

Par définition, on a alors : P S¯(D)=P( S¯D)P( S¯)=P( S¯D)0,4.

 

Un message déplacé est un spam ou il ne l’est pas. L’événement D est ainsi associé aux événements S D et S¯D.

Les événements S D et S¯D étant incompatibles, on a :

P(D)=P(SD)+P( S¯D).

Or, d’après la question précédente P(SD)=0,57 et d’après l’énoncé P(D)=0,586.

Il en découle que : 0,586=0,57+P( S¯D) et donc P( S¯D)=0,5860,57=0,016.

On en conclut que : P S¯(D)=P( S¯D)0,4=0,0160,4=0,04.

Si un message choisi au hasard n’est pas un spam, alors la probabilité qu’il soit déplacé est égale à 0,04.

3. Déterminer une probabilité conditionnelle  E34 • E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que, sachant que le message choisi au hasard n’est pas déplacé, ce message soit un spam. Cette probabilité se note : P D¯(S). L’événement D¯ étant l’événement contraire de l’événement D on a :

P( D¯)=1P(D)=10,586=0,4140.

Par définition, on a alors : P D¯(S)=P( D¯S)P( D¯)=P( D¯S)0,414.

Un spam est déplacé ou il ne l’est pas. L’événement S est ainsi associé aux événements incompatibles S D et S D¯ et on a :

P(S)=P(SD)+P(S D¯).

Or, d’après les questions précédentes P(SD)=0,57 et P(S)=0,6.

Il en découle que : P(S D¯)=0,60,57=0,03.

On en conclut que : P D¯(S)=P( D¯S)0,414=0,030,4140,072.

Si un message choisi au hasard n’est pas déplacé, alors la probabilité qu’il soit un spam est environ égale à 0,072.

4. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation  E43 

D’après le fabricant, la proportion p de messages fiables déplacés vers le dossier spam est de 0,027. Le secrétariat a constaté que 231 messages ont été déplacés pendant une semaine : la taille de l’échantillon considéré ici est n = 231.

Comme n = 231  30, n × p = 231 × 0,027 = 6,237  5 et n×(1p)=231×0,973=224,7635, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de messages déplacés qui sont des messages fiables dans un échantillon de taille 231 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n; p+1,96p×(1p)n]=[0,0271,960,027×0,973231;0,027+1,960,027×0,973231][0,006;0,048].

La fréquence de messages déplacés qui sont des messages fiables dans l’échantillon considéré par le secrétariat est égale à f=132310,056.

Comme f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l’affirmation du fabricant avec un risque de 5 % de se tromper.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Montrer qu’une fonction est paire.

Pour tout réel x [- 2 ; 2] :

f(x)=b8(e(x)b+e(x)b)+94=b8(exb+exb)+94=f(x).

Dans le repère orthonormé proposé, les points d’abscisses x et -x ont la même ordonnée, donc la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. Déterminer l’expression d’une dérivée  E6e • E6f • E8d 

 

Notez bien !

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Les fonctions affines xxb et xxb sont dérivables sur [- 2 ; 2]. La fonction exponentielle est dérivable sur . Par composition et somme, la fonction xexb+exb est dérivable sur [- 2 ; 2]. La fonction f est donc dérivable sur [- 2 ; 2] comme produit et somme de fonctions dérivables sur [- 2 ; 2].

 

Pour tout réel x[2;2], f(x)=b8(1bexb1bexb)=18(exbexb).

3. Construire et exploiter le tableau de variations d’une fonction  E8a • E8f 

Notez bien !

Pour tous réels a et b, a<bea<eb.

Pour tout réel x [- 2 ; 2] :

f(x)>018(exbexb)>0exbexb<0exb<exbxb<xb2xb<0b>0x<0.

Nous en déduisons le tableau de variations de f.

matT_1706_tab1

Notez bien !

e0=1.

f(2)=f(2)question 1=b8(e2b+e2b)+94 et f(0)=b8(e0b+e0b)+94=b4+94=9b4.

Les coordonnées du point S sont donc (0;9b4).

Partie B

1. Déterminer un paramètre sous contrainte

On souhaite que le point S soit à 2 mètres du sol soit yS = 2. Or, d’après la question 3. de la partie A, yS=9b4.

Nous obtenons donc 2=9b48=9bb=1.

Le paramètre b est égal à 1.

2. Démontrer qu’une équation admet une solution unique  E7c 

D’après le tableau de variations de la question 3. de la partie A, la fonction f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 2]. De plus, f(0) = yS = 2 et f(2)=18(e2+e2)+941,3.

1,5 est donc compris entre f(0) et f(2). D’après le corollaire du TVI, l’équation f(x) = 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2]. Avec la calculatrice, une valeur approchée de a au centième est 1,76.

3. Calculer et exploiter l’aire d’un domaine  E14 • E11c • E11d 

Calculons l’aire d’un vantail.

D’après le tableau de variations dressé à la question 3. de la partie A, la fonction f est continue et positive (f(2) 1,3) sur l’intervalle [0 ; a] = [0 ; 1,8].

L’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1,8 est donc donnée par 01,8f(x)dx.

Notez bien !

Pour tout a ≠ 0, une primitive sur de la fonction xeax est la fonction x1aeax.

Sachant que b = 1 :

01,8f(x)dx=01,8(18(ex+ex)+94)dx=[18(exex)+94x]01,8=18(e1,8e1,8)+94×1,83,3.

L’aire d’un vantail est donc d’environ 3,3 u. a., soit 3,3 m2 environ.

La masse d’un vantail est donc d’environ 20 × 3,3 = 66 kg qui dépasse les 60 kg indiqués.

Le client décidera donc d’automatiser son portail.

Partie C  E6b 

L’aire de la forme 1 est 1 = OC × OS = a × yS = 1,8 ×= 3,6 m2.

L’aire de la forme 2 est A2=OG+CH2×OC=OG+CH2×1,8m2.

Une équation de la tangente (GH) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :

y = f(1) × (x - 1) f(1).

G (GH) et xG = 0 donc :

OG = yG = f(1) × (0 - 1) + f(1)= f(1) - f(1).

H (GH) et xH = a = 1,8 donc :

CH = yH = f(1) × (1,8 - 1) + f(1)= f(1) + 0,8 f(1).

Finalement, l’aire de la forme 2 est :A2=OG+CH2×1,8=f(1)f(1)+f(1)+0,8f(1)2×1,8=1,8×[f(1)0,1f(1)]m2 où f(1)0,1f(1)=18(e1+e1)+940,1×(18)(e1e1)=18(0,9e+1,1e1)+94.

L’économie réalisée est donc 1 - 2.

On obtient :

A1A2=3,61,8×[18(0,9e+1,1e1)+94]0,1915 m2

L’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1 est d’environ 0,1915 m2 par vantail, soit 1 915 cm2.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

1. Déterminer des termes d’une suite

Par la troisième propriété, pour n = 2 > 0, on a u0 + u1 = u0 × u1. En choisissant u0 = 3 > 1, on a : 3+u1=3×u13=2u1u1=32.

Par la troisième propriété, pour n = 3 > 0, on a :

u0 + u1 + u2 = u0 × u1 × u2.

Comme u0 = 3 et u1=32, on a : 3+32+u2=3×32×u292+u2=92u292=72u2u2=92×27=97.

On a donc u1=32 et u2=97.

2. a) Justifier des propriétés

Soit un entier n > 0.

On a :

sn+1=u0+u1++un=u0+u1++un1+un=(u0+u1++un1)+un=sn+un.

On a sn=u0+u1++un1=u0+(u1++un1).

Par la première propriété, u0 > 1, on a alors : sn>1+(u1++un1). De plus, d’après la deuxième propriété, les termes entre parenthèses sont tous positifs ou nuls. Ainsi, sn>1+(u1++un1)1+01.

Nous en concluons que pour tout entier n>0, sn+1=sn+un et sn>1.

b) Justifier une égalité

Soit un entier n > 0. Par définition de la suite (sn) à l’aide du produit, on a :

sn+1=u0×u1××un=u0×u1××un1×un=(u0×u1××un1)×un=sn×un.

Or, par la question précédente, on a sn+1 = sn + un. Il en découle que sn × un = sn + un et par suite : sn×unun=snun×(sn1)=snsn1un=snsn1.

Nous en concluons que pour tout entier n>0, un=snsn1.

c) Justifier une inégalité

Par la première propriété, u0 > 1. L’inégalité est ainsi vérifiée pour n = 0.

Soit un entier n > 0. Par la question 2. b), on a :

un=snsn1=sn1+1sn1=sn1sn1+1sn1=1+1sn1.

Comme sn > 1 (question 2. a)), on a sn - 1 > 0. Son inverse 1sn1 est ainsi également strictement positif. Par suite, un=1+1sn1>1.

Nous en concluons que pour tout entier n0, un>1.

3. a) Compléter un algorithme

La première valeur stockée dans la variable u est u0 (phase d’entrée : « Saisir u ») et la première valeur stockée dans la variable s est s1 = u0 (phase de traitement : « s prend la valeur u »). Si la valeur de n saisie est non nulle, n > 0, les termes de la suite (un) et (sn) sont ensuite successivement calculés (structure itérative Pour). Pour tout entier n > 0, par la question 2. b), un=snsn1 et par la question 2. a), sn+1 = sn + un. La phase de traitement est donc :

s prend la valeur u

Pour i allant de 1 à n

u prend la valeur ss1

s prend la valeur su

Fin Pour

b) Émettre une conjecture  E2c • E2d • E2e 

Plus l’entier n est grand, plus le terme un semble se rapprocher de l’entier 1.

On peut donc conjecturer que la suite (un) converge vers 1.

4. a) Démontrer une propriété par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : sn > n.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n > 0.

Initialisation : pour n = 1, s1 = u0 et par la première propriété, u0 > 1. Donc P(1) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier k > 0 donné : sk > k.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons sk+1 = sk + uk d’après la question 2. a). D’après l’hypothèse de récurrence, sk+1 > k + uk, et d’après la question 2. c), sk+1 > k + 1.

La propriété P(k + 1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier n>0, sn>n.

b) Déterminer des limites de suites  E2c • E2d 

Par la question précédente, pour tout entier n > 0, sn > n. Comme limn+n=+, par le théorème de comparaison, on en déduit que : limn+sn=+.

Par la question 2. b), pour tout entier n > 0, comme sn 0, on a :

un=snsn1=snsn(11sn)=111sn.

Comme limn+sn=+, on a : limn+1sn=0. Par différence et par quotient, on en déduit que : limn+un=1.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a) Justifier une position relative de droites  E25 

La droite (UV) est incluse dans le plan (UVK) et la droite (EF) est incluse dans le plan (EFS). Comme les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles, les droites (UV) et (EF) sont parallèles. De plus, les plans (UVK) et (EFS) sont sécants suivant la droite (KM). D’après le théorème du toit, (UV) et (EF) sont donc parallèles à (KM).

Ainsi, le segment [KM] est parallèle au segment [UV].

b) Justifier une position relative de droites  E25 

Le plan (UVK) est sécant au plan (SOA) suivant la droite (UK). Le plan (UVK) est sécant au plan (GCB) suivant la droite (NP). Or les plans (SOA) et (GCB) sont parallèles. Par suite, les droites (UK) et (NP) sont parallèles.

Donc le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

2. a) Vérifier les coordonnées d’un point  E27 • E29 

Le point K appartient au segment [SE]. Les vecteurs SE et SK sont donc colinéaires : leurs coordonnées sont proportionnelles. Or, on a :

SE|xExS=40=4yEyS=00=0zEzS=2,53,5=1 et SK|xKxS=1,20=1,2yKyS=yK0=yKzKzS=zK3,5.

À noter !

SK=0,3SE.

Comme le coefficient de proportionnalité est 1,24=0,3, on en déduit que 0 × 0,3 = yK et - 1 × 0,3 = zK - 3,5 ce qui amène à yK = 0 et zK = - 0,3 + 3,5 = 3,2.

Les coordonnées du point K sont donc (1,2;0;3,2).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan  E31c • E32a • E33 

On a :

UV|xVxU=00=0yVyU=80=8zVzU=66=0 et UK|xKxU=1,20=1,2yKyU=00=0zKzU=3,26=2,8

Les coordonnées des vecteurs UV et UK n’étant pas proportionnelles, les vecteurs UV et UK ne sont pas colinéaires. De plus, on a :

nUV=7×0+0×8+3×0=0, donc n est orthogonal à UV ;

nUK=7×1,2+0×0+3×(2,8)=0, donc n est orthogonal à UK.

Le vecteur n de coordonnées (7;0;3) est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK) donc le vecteur n est normal au plan (UVK).

Le vecteur n étant un vecteur normal au plan (UVK), une équation cartésienne de ce plan est : 7x + 0y + 3z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point U de coordonnées (0 ; 0 ; 6) appartient au plan (UVK) donc :

7xU + 0yU + 3zU + d = 0 7 × 0 + 0 × 0 + 3 × 6 + d = 0 d = - 18.

Une équation cartésienne du plan (UVK) est donc 7x + 3z – 18 = 0.

c) Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection  E30 • E33c 

On a : FG|xGxF=04=4yGyF=55=0zGzF=2,52,5=0.

Comme nFG=7×(4)+0×0+3×0=280, les vecteurs n et FG ne sont pas orthogonaux ; le plan (UVK) et la droite (FG) ne sont donc pas parallèles et par suite sont sécants en un point N.

De plus, une représentation paramétrique de la droite (FG) est donnée par :

{x=xF+xFG×ty=yF+yFG×tz=zF+zFG×t,t ce qui donne {x=44×t=44ty=5+0×t=5z=2,5+0×t=2,5,t.

Une représentation paramétrique de la droite (FG) est donc {x=44ty=5z=2,5, t.

Déterminons maintenant les coordonnées du point N.

N(x;y;z)(UVK)(FG){x=44ty=5z=2,57x+3z18=0{x=44ty=5z=2,57×(44t)+3×2,518=0{x=44ty=5z=2,517,528t=0{x=44×58=1,5y=5z=2,5t=58

Le point N a donc pour coordonnées (1,5 ; 5 ; 2,5).

d) Expliquer une construction

Tout d’abord, on place le point K sur le segment [SE] à l’aide des coordonnées vérifiées à la question 2. a). On trace ensuite la parallèle à la droite (UV) passant par le point K qui coupe le segment [SF] au point M. Puis, on place le point N à l’aide de la question précédente sur le segment [FG] et on trace le segment [MN]. Enfin, on trace la parallèle à la droite (UK) passant par le point N qui coupe le segment [BC] au point P.

3. Prendre une initiative

Appelons H le point d’intersection de la droite parallèle à (OC) passant par G et le segment [SO]. Par cette construction, le quadrilatère OCGH est un rectangle et le triangle HGS est rectangle en H. Dans ce triangle rectangle, on a :

tanHGS^=côté opposécôté adjacent=HSHG=SOGCCO=3,52,55=0,2.

N’oubliez pas !

La calculatrice doit être en mode degrés.

À l’aide de la calculatrice, on a : HGS^11,31°>7° et donc la condition est bien remplie.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Établir une égalité matricielle

Les inscrits au programme A en 2014 + (n + 1) sont constitués :

des 20 % inscrits au programme A en 2014 + n qui se réinscrivent l’année suivante, soit 0,2an ;

des nouveaux inscrits qui compensent les départs de 40 % des inscrits du programme A en 2014 + n, soit 0,4an ;

des nouveaux inscrits qui compensent les départs de 40 % des inscrits du programme B en 2014 + n, soit 0,4bn.

Finalement, pour tout entier naturel n :

an+1 = 0,2an + 0,4an + 0,4bn = 0,6an + 0,4bn.

Les inscrits au programme B en 2014 + (n + 1) sont constitués :

des 60 % inscrits au programme B en 2014 + n qui se réinscrivent l’année suivante, soit 0,6bn ;

des 40 % inscrits au programme A en 2014 + n qui s’inscrivent au programme B l’année suivante, soit 0,4an.

Finalement, pour tout entier naturel n : bn+1 = 0,4an + 0,6bn.

Sous forme d’un système nous avons alors, pour tout entier naturel n :

{an+1=0,6an+0,4bnbn+1=0,4an+0,6bn,

ce qui s’écrit sous forme matricielle Un+1=UnM M=(0,60,40,40,6).

2. Démontrer une égalité matricielle par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : Un=(75+75×0,2n7575×0,2n).

Initialisation : d’après l’énoncé, U0=(1500) ; or, nous avons aussi :(75+75×0,207575×0,20)=(75+757575)=(1500)=U0.

La propriété est donc initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k.

Montrons que P(k + 1) est aussi vérifiée.

Uk+1=questionUkM=(75+75×0,2k7575×0,2k)hypothèse de récurrence×(0,60,40,40,6)=([75+75×0,2k]×0,6+[7575×0,2k]×0,4[75+75×0,2k]×0,4+[7575×0,2k]×0,6)=(75×(0,6+0,4)+75×0,2k×(0,60,4)75×(0,4+0,6)+75×0,2k×(0,40,6))=(75×1+75×0,2k×0,275×1+75×0,2k×(0,2))=(75+75×0,2k+17575×0,2k+1)

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée pour n = 0 et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n. Par conséquent, pour tout entier naturel n :

Un=(75+75×0,2n7575×0,2n).

3. Calculer des limites de suites  E2c • E4d 

Si q = 0,2, alors - 1 < q < 1 et limn+qn=0. Par conséquent :

par multiplication et addition, limn+an=limn+75+75×0,2nquestion 2=75;

par multiplication et soustraction, limn+bn=limn+7575×0,2nquestion 2=75.

À long terme, nous obtenons une répartition équitable des effectifs entre les deux programmes.

Partie B

1. a) Vérifier un numéro à l’aide d’une division euclidienne

Comme c1c2c3c4c5k = 111383 et a = 3, nous avons :

S = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) = 1 + 1 + 8 + 3 × (1 + 3) = 22.

Or S = 22 = 10 × 2 + 2 donc le reste de la division euclidienne de 22 par 10 est 2. Par conséquent, la clé k devrait être égale à 2 or le dernier chiffre du numéro est k = 3.

Le numéro proposé ne peut donc être celui d’un enfant inscrit à l’association.

b) Détecter une erreur dans un numéro

Avec le numéro 08c3c4c5k et a = 3, nous avons :

S1=c1+c3+c5+a×(c2+c4)=0+c3+c5+3×(8+c4)=c3+3c4+c5+24.

Soit S1 c3 + 3c4 + c5 + 4 [10].

Avec le numéro 11c3c4c5k et a = 3, nous avons :

S2 = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4)

= 1 + c3 + c5 + 3 × (1 + c4= c3 + 3c4 + c5 + 4.

Par conséquent, nous avons S1 S2 [10].

L’erreur ne peut donc être détectée grâce à la clé.

2. a) Établir une équivalence

Avec le numéro c1c2c3c4c5k, nous avons S = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4).

Avec le numéro c1c2c4c3c5k, nous avons S = c1 + c4 + c5 + a × (c2 + c3).

Par conséquent, la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) c1 + c4 + c5 + a × (c2 + c3) [10].

Or :

Notez bien !

Soit a, b, c des entiers relatifs, n un entier tel que n  2.

Si a  b [n] alors a + c  b + c [n].

c1+c3+c5+a×(c2+c4)c1+c4+c5+a×(c2+c3)[10]c3+a×c4c4+a×c3[10]c3c4+a×(c4c3)0[10](a1)×(c4c3)0[10].

Finalement, la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a - 1) × (c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.

b) Déterminer des entiers vérifiant une condition donnée

Présentons dans un tableau les restes des divisions euclidiennes de np par 10 avec n entier compris entre 0 et 9 et p entier compris entre 1 et 9.

p

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

2

4

6

8

0

2

4

6

8

3

3

6

9

2

5

8

1

4

7

4

4

8

2

6

0

4

8

2

6

5

5

0

5

0

5

0

5

0

5

6

6

2

8

4

0

6

2

8

4

7

7

4

1

8

5

2

9

6

3

8

8

6

4

2

0

8

6

4

2

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Finalement, les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np 0 [10] sont 0 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 et 8.

c) Déterminer les valeurs possibles d’un entier permettant de détecter une erreur

D’après la question 2. a), la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a - 1)×(c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.

D’après l’énoncé, 1  a  9 soit encore 0  a - 1  8.

D’après la question précédente, (a - 1) × (c4 - c3) pourra être congru à 0 modulo 10, selon les valeurs de c3 et c4, si a - 1 appartient à l’ensemble {0;2;4;5;6;8} soit si a{1;3;5;6;7;9}.

Pour détecter systématiquement l’interversion entre c3 et c4, grâce à la clé, il faut choisir les valeurs de a dans l’ensemble {2;4;8}.