Sujet complet d'Amérique du Nord 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet d’Amérique du Nord 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Lois normales • Probabilités conditionnelles Intervalle de fluctuation

Exercice 2 – Fonction exponentielle • Intégration Compléments sur les fonctions

Exercice 3 – Suites • Algorithmique

Exercice 4 – Géométrie dans l’espace

Exercice 4 (spécialité) – Matrices • Suites • Arithmétique

 

Exercice 1 (5 points) 50 min
Secrétariat d’une entreprise

Commun à tous les candidats

partie a

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 2 900 euros et d’écart type σ = 1 250 euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros ?

2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimal d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.

partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam. Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé « dossier spam ». Le fabricant affirme que 95 % des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que 60 % des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que 58,6 % des messages sont déplacés dans le dossier spam.

Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

D : « le message est déplacé » ;

S : « le message est un spam ».

1. Calculer P(S D).

2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à 0,04.

3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?

4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que 2,7 % des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés. Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine. Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant ?

Exercice 2 (5 points) 70 min
Réalisation d’un portail

Commun à tous les candidats

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a telle que 0 <  2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-après. Les côtés [AD] et [BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

matT_1706_02_01C_01

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [– 2 ; 2] par :

f(x)=b8(exb+e xb)+94 où b > 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (a ;f(a)), (a ;f(a)), (a ; 0) et (a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f, comme illustré ci-dessous.

matT_1706_02_01C_02

partie a

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [– 2 ; 2], f(– x= f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [– 2 ; 2] :

f(x)=18(exbe xb)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [– 2 ; 2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

partie b

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que = 1.

2. Montrer que l’équation f(x= 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

3. Dans cette question, on choisit = 1,8 et = 1. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède 60 kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à 20 kg  m–2. Que décide le client ?

partie c

On conserve les valeurs = 1,8 et = 1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

matT_1706_02_01C_03

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant b et B respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et h la hauteur du trapèze : Aire = b+B2×h.

Exercice 3 (5 points) 60 min
Égalités entre somme et produit

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u0 est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n > 0, la somme des premiers termes consécutifs est égale au produit des premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note (un). Elle vérifie donc trois propriétés :

u0 > 1 ;

pour tout n  0, un  0 ;

pour tout n > 0, u0 + u1 + … + un – 1 = u0 × u1 ×× un – 1.

1. On choisit u0 = 3. Déterminer u1 et u2.

2. Pour tout entier n > 0, on note :

sn = u0 + u1 + … + un–1 = u0 × u1 ×× un–1.

On a en particulier s1 = u0.

a) Vérifier que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn + un et sn > 1.

b) En déduire que pour tout entier n > 0 :

un=snsn1.

c) Montrer que pour tout n  0, un > 1.

3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme un pour une valeur de n donnée.

a) Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessous.

Entrée

Saisir n

Saisir u

Traitement

s prend la valeur u

Pour i allant de 1 à n :

u prend la valeur …

s prend la valeur …

Fin Pour

Sortie

Afficher u

b) Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de un pour différentes valeurs de l’entier n :

n

0

5

10

20

30

40

un

3

1,140

1,079

1,043

1,030

1,023

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ?

4. a) Justifier que pour tout entier n > 0, sn > n.

b) En déduire la limite de la suite (sn) puis celle de la suite (un).

Exercice 4 (5 points) 60 min
Ombre sur une véranda

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé (O;i, j,k).

Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires SEF et SFG.

Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.

Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).

Les arêtes [UV] et [EF] des toits sont parallèles.

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP qui est la limite ombre-soleil.

matT_1706_02_01C_04

1. Sans calcul, justifier que :

a) le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;

b) le segment [NP] est parallèle au segment [UK].

2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé (O;i, j,k). Les coordonnées des différents points sont les suivantes : A(4 ; 0 ; 0), B(4 ; 5 ; 0), C(0 ; 5 ; 0), E(4 ; 0 ; 2,5), F(4 ; 5 ; 2,5), G(0 ; 5 ; 2,5), S(0 ; 0 ; 3,5), U(0 ; 0 ; 6) et V(0 ; 8 ; 6).

On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan (UVK) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.

a) Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse 1,2. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2 ; 0 ; 3,2).

b) Montrer que le vecteur n de coordonnées (7 ; 0 ; 3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).

c) Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).

d) Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.

3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment [SG] avec l’horizontale doit être supérieur à 7°. Cette condition est-elle remplie ?

Exercice 4 (5 points) 60 min
Inscription dans une association

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.

À sa création en 2014, l’association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à 150.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme : soit le programme A, soit le programme B.

D’une année à l’autre, 20 % des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40 % choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.

D’une année à l’autre, 60 % des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année 2014 + n respectivement par deux suites (an) et (bn) et on note Un la matrice ligne (anbn). On a donc U0=(1500).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a Un+1 = Un M M=(0,60,40,40,6).

2. Montrer que, pour tout entier naturel n :

Un=(75+75 × 0,2n75 75 × 0,2n).

3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres c1c2c3c4c5k. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant, les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

on effectue la somme = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) où a est un entier compris entre 1 et 9 ;

on effectue la division euclidienne de S par 10, le reste obtenu est la clé k.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à 6 chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit = 3.

a) Le numéro 111383 peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?

b) L’employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08c3c4c5k est transformé en 11c3c4c5k. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?

2. On note c1c2c3c4c5k le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier a pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres c3 et c4 sont intervertis. On suppose donc que les chiffres c3 et c4 sont distincts.

a) Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a – 1)(c4c3) est congru à 0 modulo 10.

b) Déterminer les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np  0 (10).

c) En déduire les valeurs de l’entier a qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion des chiffres c3 et c4.

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Traduisez, à l’aide de la variable aléatoire X, l’énoncé par une équation d’inconnue a, a représentant le montant minimum d’un devis pour que celui-ci soit pris en compte par l’entrepreneur. Résolvez ensuite cette équation dans .

Partie B

4. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie B

3. Calculez l’aire d’un vantail à l’aide d’une intégrale en vérifiant au préalable la continuité et la positivité de la fonction f sur l’intervalle [0 ; a].

Partie C

Pour la forme 2, déterminez tout d’abord une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 et déduisez-en OG, CH et l’aire du trapèze OGHC.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

2. b) Justifiez, à l’aide de la définition par le produit, que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn × un. Puis, utilisez l’égalité justifiée à la question 2. a) qui exprime le terme sn+1 comme somme de deux termes. Enfin, concluez.

c) Constatez que l’inégalité est vraie pour n = 0. Justifiez ensuite que pour tout n > 0, un=1+1sn1. Concluez à l’aide de la question 2. a).

4. a) Pensez à un raisonnement par récurrence.

b) Pour déterminer la limite de la suite (un), justifiez au préalable que pour tout entier naturel n > 0, un=111sn.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

1. a) Pensez au théorème du toit.

2. b) Montrez que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs UV et UK, deux vecteurs non colinéaires du plan (UVK).

2. c) Déterminez une représentation paramétrique de la droite (FG). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point N.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. Déterminez, à l’aide de l’énoncé, l’expression de an+1 puis de bn+1 en fonction de an et bn pour en déduire la matrice M et la relation demandée.

2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

2. a) Calculez la valeur de S pour chaque numéro (sans et avec interversion) et travaillez ensuite modulo 10 pour traduire la non-détection de l’erreur.