Sujet complet d’Amérique du Nord 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet d’Amérique du Nord 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Loi binomiale • Intégrale, calcul d’aire.

Exercice 2 – Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.

Exercice 3 – Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 3 (spécialité) – Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

 

Exercice 1 (4 points) 40 min
QCM sur les probabilités et les fonctions : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

1. Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu’un bulbe germe, c’est-à-dire qu’il donne naissance à une plante qui fleurit, est de 0,85.

Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.

On peut affirmer que :

a) La probabilité qu’au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,103.

b) La probabilité qu’au maximum 15 bulbes germent est proche de 0,067.

c) La probabilité qu’au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,830.

d) La probabilité qu’au minimum 15 bulbes germent est proche de 0,933.

2. On considère une fonction f définie sur [0 ; 8], dont Cf est la courbe représentative dessinée ci-dessous :

matT_1805_02_00C_01

a) 824f(x)dx9

c) 24f(x)dx=f(4)f(2)

b) 924f(x)dx10

d) 24f(x)dx=9

3. On considère la fonction g définie sur ]0 ; + [ par g(x)=lnx.

Une primitive de g sur ]0 ; + [ est la fonction G définie par :

a) G(x)=lnx

c) G(x)=xlnxx

b) G(x)=xlnx

d) G(x)=1x

4. L’ensemble des solutions de l’inéquation lnx> 0 est :

a) ]0 ; +[

c) ]1 ; +[

b) ]0 ; 1[

d) ]e ; +[

Exercice 2 (5 points) 45 min
Vente de rubans LED et produits défectueux

Commun à tous les candidats

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Le site internet « ledislight.com » spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles : un premier modèle dit d’« intérieur » et un deuxième modèle dit d’« extérieur ». Le site internet dispose d’un grand stock de ces rubans LED.

partie a

1. Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d’extérieur expédiés au site internet, 5 % sont défectueux. Le responsable internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard 400 rubans LED d’extérieur, parmi lesquels 25 sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause l’affirmation du fournisseur ? (1 point)

Rappel : lorsque la proportion p d’un caractère dans la population est connue, l’intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % d’une fréquence d’apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille n est donné par :

I=[p1,96 p(1p)n ; p+1,96 p(1p)n].

2. Le fournisseur n’a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d’intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d’intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de 400 rubans d’intérieur, parmi lesquels 38 sont défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de 95 %. (0,75 point)

partie b

À partir d’une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d’intérieur vendus chaque mois par le site à l’aide d’une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ = 2 500 et d’écart-type σ = 400.

1. Quelle est la probabilité que le site internet vende entre 2 100 et 2 900 rubans LED d’intérieur en un mois ? (0,5 point)

2. a) Trouver, arrondie à l’entier, la valeur de a telle que :

P(Xa)=0,95. (0,5 point)

b) Interpréter la valeur de a obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock. (0,5 point)

partie c

On admet maintenant que :

20 % des rubans LED proposés à la vente sont d’extérieur ;

5 % des rubans LED d’extérieur sont défectueux.

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

On appelle :

E l’événement « le ruban LED est d’extérieur » ;

D l’événement « le ruban LED est défectueux ».

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, que l’on complètera au fur et à mesure. (0,5 point)

2. Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d’extérieur et défectueux. (0,5 point)

3. D’autre part, on sait que 6 % de tous les rubans LED sont défectueux.

Calculer, puis interpréter PE(D). (0,75 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Contrats d’entretien de photocopieurs

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Une société propose des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, 14 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 7 contrats sont résiliés.

En 2017, l’entreprise dénombrait 120 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite (un),un est le nombre de contrats souscrits l’année 2017 + n. Ainsi on a u0 = 120.

1. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 1,14 un - 7. (0,5 point)

b) Estimer le nombre de contrats en 2018. (0,5 point)

2. Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l’entreprise ne peut prendre en charge qu’un maximum de 190 contrats. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche donc à savoir en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

002_matT_1805_02_00C_algo_001

a) Recopier et compléter l’algorithme ci-avant. (0,5 point)

b) Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. (0,75 point)

3. On définit la suite (vn) par vn = un - 50 pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0. (0,75 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, puis démontrer que, pour tout entier naturel n, un=70×1,14n+50. (1 point)

c) Résoudre par le calcul l’inéquation un > 190.

Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (1 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Répartition de contrats d’entretien entre deux entreprises

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux entreprises concurrentes « Alphacopy » et « Bêtacopy » proposent des contrats annuels d’entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d’entretien sur un secteur donné.

Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année :

15 % des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy.

25 % des clients qui avaient souscrit un contrat d’entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d’entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.

On définit les événements suivants :

: « le client est sous contrat avec l’entreprise Alphacopy ».

: « le client est sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy ».

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d’entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel :

an la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Alphacopy l’année 2017 + ;

bn la probabilité que le client soit sous contrat avec l’entreprise Bêtacopy l’année 2017 + n.

On note Pn=(anbn) la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2017 + n.

L’objectif de l’entreprise Alphacopy est d’obtenir au moins 62 % des contrats d’entretien des photocopieurs.

partie a

1. Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition M associée à ce graphe, dont les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique. (0,5 point)

2. Montrer que P=(0,6250,375) est un état stable de la matrice. (0,5 point)

3. À votre avis, l’entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif ? (0,5 point)

partie B

En 2017, on sait que 46 % des clients ayant un contrat d’entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l’entreprise Alphacopy.

On a ainsi P0=(0,460,54).

1. On rappelle que pour tout entier naturel n, Pn+1 = Pn × M.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,85 an + 0,25 bn puis que an+1 = 0,60 an + 0,25. (0,5 point)

2. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l’entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

002_matT_1805_02_00C_algo_002

a) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus. (0,5 point)

b) Quelle est l’année affichée en sortie de l’algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

3. On définit la suite (un) par un = an - 0,625 pour tout entier naturel n.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme u0. (0,75 point)

b) Exprimer un en fonction de n puis démontrer que, pour tout entier :

an=0,165×0,60n+0,625.(0,75 point)

c) Résoudre par le calcul l’inéquation an 0,62.

Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,5 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Fonction « satisfaction » ; fonction « envie »

Commun à tous les candidats

On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu’il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu’il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

partie a

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction « satisfaction » f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (x est exprimé en heure).

matT_1805_02_00C_02

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

1. Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ». (0,5 point)

2. Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ». (0,5 point)

partie B

Le directeur d’une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » g est définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :

g(x)=12,5 x e0,125x+1 (x est exprimé en jour).

1. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 30] :

g(x)=(12,51,5625 x)e0,125x+1.(0,5 point)

2. Étudier le signe de g(x) sur l’intervalle [; 30], puis dresser le tableau des variations de g sur cet intervalle. (0,75 point)

3. Quelle durée de séjour correspond-elle à l’effet de « saturation » ? (0,5 point)

partie C

La direction des ressources humaines d’une entreprise modélise la satisfaction d’un salarié en fonction du salaire annuel qu’il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h est définie sur l’intervalle [10 ; 50] par :

h(x)=901+e0,25 x +6 (x est exprimé en millier d’euros).

La courbe Ch de la fonction h est représentée ci-dessous :

matT_1805_02_00C_03

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1

Dériver (90/(1 + exp(-0.25 * x + 6)))

22,5 e0,25x+6(1+e0,25x+6)2

2

Dériver(22.5 * exp(-0,25 * x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))²)

5,625 e0,25x+6(e0,25x + 61)(1+e0,25 x+6)3

1. Donner sans justification une expression de h(x). (0,5 point)

2. Résoudre, dans l’intervalle [10 ; 50], l’inéquation :

e0,25x+61>0.(0,75 point)

3. Étudier la convexité de la fonction h sur l’intervalle [10 ; 50]. (1 point)

4. À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier. (0,5 point)

5. Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80. Arrondir au millier d’euros. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

> 1. Déterminez et utilisez la loi de la variable aléatoire égale au nombre de bulbes qui germent parmi les 20 prélevés.

> 2. Déterminez graphiquement un encadrement de l’aire sous la courbe de f entre 2 et 4 en « comptant les carreaux ».

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

> 3. a) La suite (vn) est géométrique si et seulement si il existe un réel q indépendant de n tel que, pour tout entier naturel n, vn+1 = q vn.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

> 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

> 2. Vérifiez que P × M = P, où M est la matrice de transition associée au graphe.

Partie B

> 3. a) La suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q indépendant de n tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = q un.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie C

> 1. Utilisez le résultat fourni par le logiciel de calcul formel.

> 3. Étudiez le signe de h(x).