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Sujet complet d'Amérique du Nord 2018

Amérique du Nord • Mai 2018

Sujet complet • 20 points •  4 h

Sujet complet d'Amérique du Nord 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Loi exponentielle • Loi normale • Arbre pondéré • Loi binomiale

Exercice 2 – Fonction logarithme népérien

Exercice 3 – Géométrie dans l'espace • Géométrie plane

Exercice 4 – Suites • Compléments sur les fonctions

Exercice 4 (spécialité) – Matrices • Suites

 

Exercice 1 (6 points) 1 h 10
Caractéristiques d'un supermarché

Commun à tous les candidats

On étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

partie a : démonstration préliminaire

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2. On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire X, notée E(X), est égale à :

limx+0x0,2t e0,2tdt.

Le but de cette partie est de démontrer que E(X= 5.

1. On note g la fonction définie sur l'intervalle [0  +[ par :

g(t)=0,2te0,2t.

On définit la fonction G sur l'intervalle [0  +[ par :

G(t)=(t5)e0,2t.

Vérifier que G est une primitive de g sur l'intervalle [0  +[.

2. En déduire que la valeur exacte de E(X) est 5.

Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant :

limx+xe0,2x=0.

partie b : étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire T. Cette variable T suit une loi normale d'espérance 40 minutes et d'écart type un réel positif noté σ.

Grâce à cette étude, on estime que P(T10)=0,067.

1. Déterminer une valeur arrondie du réel σ à la seconde près.

2. Dans cette question, on prend σ = 20 minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?

partie c : durée d'attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,2 min1.

a) Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.

b) Calculer la probabilité, arrondie à 103, que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes.

2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :

parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86 % attendent moins de 10 minutes 

parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de 10 minutes.

On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :

B : « le client paye à une borne automatique » 

B¯ : « le client paye à une caisse avec opérateur » 

S : « la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à 10 minutes ».

Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75 % des clients attendent moins de 10 minutes.

Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?

partie d : bons d'achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 10 € d'achats.

Par exemple, si le montant des achats est 58,64 €, alors le client obtient 5 cartes  si le montant est 124,31 €, le client obtient 12 cartes.

Les cartes gagnantes représentent 0,5 % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de 158,02 €.

Quelle est la probabilité, arrondie à 102, qu'il obtienne au moins une carte gagnante ?

2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à 10 €, la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ?

Exercice 2 (4 points)30 min
Trajectoire d'un projectile

Commun à tous les candidats

matT_1805_02_01C_01

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0  1[ par :

f(x)=bx+2ln(1x)

b est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, x est l'abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0  1[. On note f sa fonction dérivée.

On admet que la fonction f possède un maximum sur l'intervalle [0  1[ et que, pour tout réel x de l'intervalle [0  1[ : f(x)= bx+b21x.

Montrer que le maximum de la fonction f est égal à b2+2ln(2b).

2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.

3. Dans cette question, on choisit = 5,69.

L'angle de tir θ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ.

Exercice 3 (5 points) 1 h 10
Amusons-nous dans l'espace !

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A.

On considère les points B(10 8  2), C(1 8  5) et D(14 4 8).

1. a) Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites (AB) et (CD).

b) Vérifier que les droites (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires.

2. On considère le point I de la droite (AB) d'abscisse 5 et le point J de la droite (CD) d'abscisse 4.

a) Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ.

b) Démontrer que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD).

La droite (IJ) est appelée perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

3. Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD).

Sur le schéma ci-dessous on a représenté les droites (AB) et (CD), les points I et J, et la droite ∆ parallèle à la droite (CD) passant par I.

On considère un point M de la droite (AB) distinct du point I.

On considère un point M de la droite (CD) distinct du point J.

matT_1805_02_01C_02

a) Justifier que la parallèle à la droite (IJ) passant par le point M coupe la droite ∆ en un point que l'on notera P.

b) Démontrer que le triangle MPM est rectangle en P.

c) Justifier que MM > IJ et conclure.

Exercice 4 (5 points) 1 h 10
Le chien qui poursuit un scooter

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de 1 ms1. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d'unité 1 mètre. L'origine de ce repère est la position initiale du chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d'équation = 5. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.

Dans la suite de l'exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

partie a : modélisation à l'aide d'une suite

La situation est représentée par le graphique 1 ci-dessous.

matT_1805_02_01C_03

Graphique 1

À l'instant initial, le scooter est représenté par le point S0. Le chien qui le poursuit est représenté par le point M0. On considère qu'à chaque seconde le chien s'oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de 1 mètre.

Ainsi, à l'instant initial, le chien s'oriente en direction du point S0, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point M1. À cet instant, le scooter est au point S1. Le chien s'oriente en direction de S1 et se déplace en ligne droite en parcourant 1 mètre, et ainsi de suite.

On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées (Mn) et (Sn).

Au bout de n secondes, les coordonnées du point Sn sont (5  n). On note (xn  yn) les coordonnées du point Mn.

1. Construire sur le graphique 1 les points M2 et M3.

2. On note dn la distance entre le chien et le scooter n secondes après le début de la poursuite. On a donc dn = MnSn.

Calculer d0 et d1.

3. Justifier que le point M2 a pour coordonnées (1+417  117).

4. On admet que, pour tout entier naturel :

{xn+1=xn+5xndnyn+1=yn+nyndn

a) Le tableau ci-dessous, obtenu à l'aide d'un tableur, donne les coordonnées des points Mn et Sn ainsi que la distance dn en fonction de n. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules C5 et F5 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes C et F ?

A

B

C

D

E

F

1

n

Mn

Sn

dn

2

xn

yn

5

n

3

0

0

0

5

0

5

4

1

1

0

5

1

4,12310563

5

2

1,9701425

0,24253563

5

2

3,50267291

6

3

2,83515547

0,74428512

5

3

3,12646789

7

4

3,52758047

1,46577498

5

4

2,93092404

28

24

4,99979751

21,2268342

5

24

2,7731658

29

25

4,99987053

22,2268342

5

25

2,7731658

b) On admet que la suite (dn) est strictement décroissante.

Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l'aide du tableau.

partie b : modélisation à l'aide d'une fonction

On modélise maintenant la trajectoire du chien à l'aide de la courbe T de la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0  5[ par :

f(x)=2,5ln(10,2x)0,5x+0,05x2.

Cela signifie que le chien se déplace sur la courbe Tde la fonction f.

1. Lorsque le chien se trouve au point M de coordonnées (x f(x)) de la courbe T, où x appartient à l'intervalle [0 5[, le scooter se trouve au point S, d'ordonnée notée yS. Ainsi le point S a pour coordonnées (5  yS). La tangente à la courbe T au point M passe par le point S. Cela traduit le fait que le chien s'oriente toujours en direction du scooter. On note d(x) la distance MS entre le chien et le scooter lorsque M a pour abscisse x.

a) Sur le graphique 2 ci-après, construire, sans calcul, le point S donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe T et lire les coordonnées du point S.

matT_1805_02_01C_04

Graphique 2

b) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 5[ et on admet que, pour tout réel x de l'intervalle [0 5[ :

f(x)=x(10,1x)5x.

Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point S lorsque le chien se trouve au point d'abscisse 3 de la courbe T.

2. On admet que d(x)=0,1x2x+5 pour tout réel x de l'intervalle [0  5[.

Justifier qu'au cours du temps la distance MS se rapproche d'une valeur limite que l'on déterminera.

Exercice 4 (5 points) 1 h 10
Cohabitation entre campagnols et renards

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols. Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.

On note un le nombre de campagnols et vn le nombre de renards au 1er juillet de l'année 2012 + n.

partie a : un modèle simple

On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes :

{un+1=1,1un2 000vnvn+1=2×105un+0,6vn pour tout entier n  0,

avec u0 = 2 000 000 et v0 = 120.

1. a) On considère la matrice colonne Un=(unvn) pour tout entier n  0.

Déterminer la matrice A telle que Un+1 = A × Un pour tout entier n et donner la matrice U0.

b) Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.

2. Soit les matrices P=(20 0005 00011), D=(1000,7) et P1=115 000×(15 000120 000).

On admet que P1 est la matrice inverse de la matrice P et que A=P×D×P1.

a) Montrer que pour tout entier naturel n, Un=P×Dn×P1×U0.

b) Donner sans justification l'expression de la matrice Dn en fonction de n.

c) On admet que, pour tout entier naturel :

{un=2,8×107+2×106×0,7n15vn=1 400+400×0,7n15

Décrire l'évolution des deux populations.

partie b : un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que, si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes :

{un+1=1,1un0,001un×vnvn+1=2×107un×vn+0,6vn pour tout entier n  0,

avec u0 = 2 000 000 et v0 = 120.

Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les 25 premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

A

B

C

1

Modèle de la partie B

2

n

un

vn

3

0

2 000 000

120

4

1

1 960 000

120

5

2

1 920 800

119

6

3

1 884 228

117

7

4

1 851 905

114

8

5

1 825 160

111

9

6

1 804 988

107

10

7

1 792 049

103

11

8

1 786 692

99

12

9

1 789 005

94

13

10

1 798 854

91

14

11

1 815 930

87

15

12

1 839 780

84

16

13

1 869 827

81

17

14

1 905 378

79

18

15

1 945 622

77

19

16

1 989 620

77

20

17

2 036 288

76

21

18

2 084 374

77

22

19

2 132 440

78

23

20

2 178 846

80

24

21

2 221 746

83

25

22

2 259 109

87

26

23

2 288 766

91

27

24

2 308 508

97

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?

2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?

partie c

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B.

Est-il possible de donner à u0 et v0 des valeurs afin que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, c'est-à-dire telles que pour tout entier naturel n on ait un+1 = un et vn+1 = vn ? (On parle alors d'état stable.)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. Démontrez que, pour tout nombre réel positif x, 0xg(t)dt=(x5)e0,2x+5.

Concluez par passage à la limite quand x tend vers +.

Partie B

1. Introduisez la variable aléatoire TC=T40σ, variable aléatoire centrée réduite associée à la variable aléatoire T. Traduisez l'égalité donnée dans l'énoncé sous forme d'une équation faisant intervenir TC et σ. Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l'équation obtenue et pour conclure.

Partie C

1. a) Établissez le lien entre la question posée et le résultat établi à la partie A.

2. Traduisez la situation à l'aide d'un arbre pondéré en notant p la probabilité qu'un client choisi au hasard paye à une borne automatique. Exprimez ensuite la probabilité de l'événement S en fonction de p. Enfin, traduisez le souhait du gérant à l'aide d'une inéquation, résolvez-la et concluez.

Partie D

1. Introduisez la variable aléatoire C qui, à n cartes obtenues, associe le nombre de cartes gagnantes. Précisez la loi suivie par C et ses paramètres. Traduisez la probabilité demandée à l'aide de la variable aléatoire C et concluez.

2. Exprimez la probabilité P(C1)>0,50 en fonction de n puis résolvez cette inéquation dans  et enfin concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

2. Étudiez les variations de la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe b2+2ln(2b). Justifiez, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe une unique valeur pour laquelle l'image par la fonction choisie est égale à 1,6. Concluez sur les valeurs qui satisfont la contrainte de hauteur maximale.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

3. a) Notez Δ la droite parallèle à (IJ) passant par M. Démontrez que les droites Δ et Δ sont coplanaires avant de conclure.

b) Démontrez que la droite (IJ) est orthogonale au plan contenant les droites (AB) et Δ. Déduisez-en que la droite (M′ P) est orthogonale à la droite (PM) et concluez.

Exercice 4 (Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

3. Remarquez que les points M1, M2 et S1 sont alignés donc les vecteurs M1M2 et M1S1 sont colinéaires. Exploitez ensuite le fait M1M2 = 1 pour déterminer le nombre réel positif k tel que M1M2=kM1S1. Concluez en déterminant les coordonnées de M2.

4. Repérez les adresses des cellules correspondant aux éléments figurant dans les formules de récurrence fournies dans l'énoncé pour les suites (xn) et (yn) et concluez.

Partie B

1. b) Déterminez une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 et calculez les coordonnées du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation x = 5.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Partie A

1. b) Calculez U6.

2. a) Pensez à un raisonnement par récurrence.

c) Déterminez les variations des deux suites et leur limite respective pour conclure.

Partie C

Résolvez l'équation Un+1 = Un, pour tout entier naturel n.

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

partie a

1. Vérifier qu'une fonction est une primitive  E6e • E6f • E11a 

La fonction G est le produit des deux fonctions u : t  -t - 5 et v:te0,2t dérivables sur l'intervalle [ +[  de dérivées respectives u :t1 et v :t0,2×e0,2t.

rappel

Si w est dérivable sur un intervalle I, alors ew est dérivable sur I et (ew)=w×ew.

G est donc dérivable sur [ +[ et sa dérivée G est donnée pour tout nombre réel positif t par :

G(t)=u(t)×v(t)+u(t)×v(t)=(1)×e0,2t+(t5)×(0,2×e0,2t) =e0,2t×[(1)+(t5)×(0,2)]=e0,2t×[1+0,2t+1]=0,2t e0,2t=g(t).

La fonction G est donc une primitive de g sur l'intervalle [0+[.

2. Déterminer une espérance  E8c • E13 • E41 

Pour tout nombre réel positif x :

0x0,2te0,2tdt=0xg(t)dt

=[G(t)]0x (question précédente)

=G(x)G(0)

=((x5)e0,2x)((05)e0)

rappel

e0=1.

=(x5)e0,2x+5

=xe0,2x5e0,2x+5.

Comme limx+0,2x= et limXeX=0, par composition, on a limx+e0,2x=0. En utilisant le résultat donné dans l'énoncé, on a, par produit, par somme et par différence, limx+(xe0,2x5e0,2x+5)=05×0+5=5.

La valeur de E(X) est ainsi 5.

Remarque : cette première partie avait pour objectif de démontrer ce résultat, à savoir E(X= 5. La formule de l'espérance dans le cadre d'une loi exponentielle donne directement E(X) =10,2=5.

partie b

1. Estimer un écart type  E40a • E40d • E40e 

D'après l'étude, on estime que P(T10)=0,067.

Or, on a :

P(T10)=0,067P(T40centrer1040)=0,067P(T40σréduire30σ)=0,067.

Or, comme la variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance 40 et d'écart type σ alors, par définition, la variable aléatoire TC=T40σ suit la loi normale centrée réduite. On a ainsi P(TC 30σ)=0,067 où TC suit la loi N( 12).

Résolvons alors l'équation P(TCa)=0,067a est un nombre réel à déterminer et où TC suit la loi normale centrée réduite.

À l'aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1805_02_01C_08

matT_1805_02_01C_09

Ainsi a - 1,4985 et par identification on peut maintenant écrire que

30σ=a soit σ=30a 20,02.

Une valeur arrondie du réel σ à la seconde près est 20 min 1 s.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40e • C3 

Comme T suit la loi normale d'espérance 40 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation x = 40 on a :

P(T>60)=P(T>40)P(40T60)=0,5P(40T60).

Or, à l'aide de la calculatrice,

TI 83+

Casio Graph 35

matT_1805_02_01C_10

matT_1805_02_01C_11

La proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché, exprimée en pourcentage et arrondie à l'unité, est 16 %.

partie c

1. a) Préciser la valeur d'une espérance

La durée moyenne demandée correspond à l'espérance de la variable aléatoire qui modélise la durée d'attente. Or, cette variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre 0,2. D'après la partie A, cette espérance vaut 5. Ainsi, la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement est 5 min.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E40a • E40c 

On note D la variable aléatoire modélisant la durée d'attente à une borne automatique. La probabilité à calculer se traduit à l'aide de la variable aléatoire D par P(D>10). L'événement contraire de l'événement {D>10} étant l'événement {D10}, on a :

P(D>10)=1P(D10). Or, la densité d'une loi exponentielle étant nulle sur l'intervalle]  0[, on a : P(D10)=P(0D10).

Il en découle que :

rappel

Une primitive de xλeλx sur est : xeλx.

P(D>10)=1P(0D10)=10100,2e0,2tdt=1[e0,2t]010=1(e0,2×10(e0,2×0))=1+e2e0=1+e21=e2.

La probabilité que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes vaut e2 dont une valeur arrondie à 103 est 0,135.

2. Déterminer une proportion à l'aide d'un arbre pondéré  E34 • E35 

Si un client choisit de passer à une borne automatique, alors la probabilité qu'il attende moins de 10 minutes est égale à 0,86 : c'est la probabilité que l'événement S se réalise sachant que l'événement B est réalisé. On a donc PB(S)=0,86.

Il en découle alors que PB( S¯)=1PB(S)=10,86=0,14.

Si un client choisit de passer en caisse avec opérateur, alors la probabilité qu'il attende moins de 10 minutes est égale à 0,63 : c'est la probabilité que l'événement S se réalise sachant que l'événement B¯ est réalisé. On a donc P B¯(S)=0,63.

Il en découle alors que P B¯( S¯)=1P B¯(S)=10,63=0,37.

En notant p la probabilité qu'un client paye à une borne automatique, on peut traduire la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

matT_1805_02_01C_05

D'après la formule des probabilités totales, on a :

P(S)=P(B)×PB(S)+P( B¯)×P B¯(S)

= p × 0,86 + (1 - p) × 0,63

= 0,23p + 0,63.

Le souhait du gérant qui est que « plus de 75 % des clients attendent moins de 10 minutes » se traduit par l'inéquation P(S)>0,75. Or, on a :

P(S)>0,750,23p+0,63>0,750,23p>0,12p>0,120,23=1223.

La proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint est de 1223 soit, exprimée en pourcentage et arrondie à l'entier supérieur, 53 %.

partie d

1. Déterminer une probabilité dans le cadre d'une loi binomiale  E34 • C2 

Obtenir une carte est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :

« la carte est gagnante » de probabilité 0,005 

« la carte n'est pas gagnante » de probabilité 1 - 0,005 = 0,995.

On introduit la variable aléatoire C qui, à n cartes obtenues, associe le nombre de cartes gagnantes. Comme le stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise, la variable aléatoire C suit la loi binomiale de paramètres n et 0,005.

Ici, le client a effectué des achats pour un montant de 158,02 € : il obtient ainsi 15 cartes et n vaut 15. La probabilité qu'il obtienne au moins une carte gagnante se traduit à l'aide de la variable aléatoire C par P(C1). Or, les événements {C1} et {C=0} sont contraires.

Par conséquent, P(C1)=1P(C=0). À l'aide de la calculatrice, on a :

TI 83+

Casio Graph 35

matT_1805_02_01C_12

matT_1805_02_01C_13

La probabilité, arrondie à 10–2, qu'il obtienne au moins une carte gagnante est 0,07.

2. Résoudre une inéquation  E9b • E9e • E34 

La probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est P(C1). On souhaite que cette probabilité soit supérieure à 0,5 à savoir P(C1)>0,5. Les événements {C1} et {C=0} étant contraires, on a :

P(C1)>0,51P(C=0)>0,50,5>P(C=0).

Or, la probabilité P(C = 0) est égale à 0,995n. En effet, l'événement {C = 0} est uniquement réalisé par n échecs consécutifs dans le schéma de Bernoulli d'ordre n pour lequel la probabilité de l'issue « échec » vaut 0,995. Il s'ensuit que :

P(C1)>0,50,5>0,995n

ln(0,5)>ln(0,995n)(ln est croissante sur ]+[)

ln(0,5)>n×ln(0,995)

ln(0,5)ln(0,995)n(0,995 1 donc ln(0,995) 0)

Comme ln(0,5)ln(0,995)138,3 et que n est un entier naturel, c'est à partir d'un montant d'achats de 1 390 € que la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est supérieure à 0,50.

Exercice 2

Commun à tous les candidats

1. Déterminer le maximum d'une fonction  E6c • E6d 

Pour tout nombre réel x de l'intervalle [ 1[, 1 - x est strictement positif. Le signe de f(x) est alors le signe de son numérateur, à savoir - bx + b - 2 (b étant un paramètre réel supérieur ou égal à 2). Or,

bx+b2=0b2=bxx=b2b=12b

et

bx+b2>0b2>bx12b>x.

Comme b  2, on a 012b1. La fonction f est ainsi strictement croissante sur [ 12b] et strictement décroissante sur [12b  1[.Cette fonction admet alors un maximum sur [ 1[, atteint en x=12b et qui vaut :

f(12b)=b×(12b)+2×ln(1(12b))=b2+2ln(2b).

2. Déterminer une valeur sous contrainte  E6 • E7 

On note m la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe b2+2ln(2b).

La fonction m est la somme de la fonction affine b b - 2 et de la fonction b2ln(2b).

La fonction affine est naturellement dérivable sur donc sur [ +[ et comme 2b>0, la fonction b2ln(2b)=2ln(2)2ln(b) est dérivable sur [ +[ de dérivée b2b.

Ainsi, la dérivée m est définie sur [ +[ et donnée par m(b)=12b qui est supérieur ou égal à 0 (voir question précédente). Par conséquent, la fonction m est strictement croissante sur [ +[.

La fonction m étant dérivable sur [ +[, elle y est continue. D'après le point précédent, elle est strictement croissante sur cet intervalle. De plus,

m(2)=01,6m(10)=82ln(5)4,78.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation m(x)=1,6 admet alors une unique solution α dans l'intervalle [ 10] et par suite sur [ +[ (compte tenu des propriétés de m). À l'aide d'une calculatrice, en utilisant le solveur, α vaut environ 5,6917.

Compte tenu de la stricte croissance de la fonction m sur [ +[, la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre pour toutes les valeurs de b comprises dans l'intervalle [ α].

3. Déterminer une valeur approchée d'un angle  E6b 

La tangente T à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 (tracé en pointillés sur le graphique) a pour équation   y=f(0)×(x0)+f(0).

Or, f(0)=5,69×0+2×ln(1)=0 (la tangente passe par l'origine) et f(0)=5,69×0+5,69210=3,69. Ainsi, on a T : y = 3,69x.

On note O l'origine du repère, A le point de coordonnées (1  0) et B le point de coordonnées (1  3,69) qui appartient à la tangente T. Le triangle OAB est rectangle en A et l'angle AOB^ correspond à l'angle de tir θ. Dans ce triangle rectangle, on a alors : tan(θ)=ABOA=3,69. À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :

TI 83+

Casio Graph 35

matT_1805_02_01C_14

matT_1805_02_01C_15

Une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ est 74,8°.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

1. a) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite  E30 

 AB est un vecteur directeur de la droite (AB) et AB|xBxA=100=10yByA=80=8zBzA=20=2.

La droite (AB) passe par exemple par le point A(0 0 0).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc : {x=0+10t=10ty=08t=8t,z=0+2t=2tt.

CD est un vecteur directeur de la droite (CD) et CD|xDxC=14(1)=15yDyC=4(8)=12.zDzC=85=3

La droite (CD) passe par exemple par le point C(- 1  - 8  5).

Une représentation paramétrique de la droite (CD) est donc : {x=1+15ty=8+12t,z=5+3tt.

b) Vérifier que deux droites ne sont pas coplanaires  E24a • E30 

Les coordonnées des vecteurs AB et CD n'étant clairement pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Par suite, les droites (AB) et (CD) ne sont ni strictement parallèles ni confondues.

Supposons que les droites (AB) et (CD) sont sécantes et notons L leur point d'intersection de coordonnées (xL  yL  zL).

D'après la question précédente, il existe un nombre réel t tel que (xL  yL  zL)=(10t  8t  2t) et un nombre réel t tel que (xL  yL  zL)=(1+15t  8+12t  5+t). Il en découle que :

{10t=1+15t8t=8+12t2t=5+3t {10t=1+15tt=11,5t2×(11,5t)=5+3t {17,5=8,5t=1,75t=0,5

Ce qui est absurde. Par suite, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

Les droites (AB) et (CD) ne sont ni strictement parallèles, ni confondues, ni sécantes. Ces droites ne sont donc pas coplanaires.

2. a) Déterminer des coordonnées de points et calculer une distance  E30 • E31c 

Comme le point I appartient à la droite (AB), alors d'après la question 1. a), il existe un nombre réel t tel que (xI  yI  zI)=(10t  8t  2t). Or, l'abscisse du point I est 5 ce qui équivaut à dire que 5 = 10t et t = 0,5. Il en découle que (xI  yI  zI)=(  1).

Comme le point J appartient à la droite (CD), alors d'après la question 1. a), il existe un nombre réel t tel que (xJ  yJ  zJ)=(1+15t  8+12t  5+3t). Or, l'abscisse du point J est 4 ce qui équivaut à dire que 4 = - 1 + 15t et t=13. Il en découle que (xJ  yJ  zJ)=(  6).

La distance entre les points I et J est :

(xJxI)2+(yJyI)2+(zJzI)2=(1)2+02+52=26.

b) Démontrer que des droites sont perpendiculaires  E26a • E31c • E32b 

À la question précédente, on a implicitement déterminé les coordonnées du vecteur IJ qui sont ( 0  5).

Or, IJAB=1×10+0×(8)+5×2=0

et IJCD=1×15+0×12+5×3=0.

Les droites (IJ) et (AB) ainsi que les droites (IJ) et (CD) sont donc orthogonales. Or, le point I appartient à la droite (AB) et le point J appartient à la droite (CD).Les droites (IJ) et (AB) ainsi que les droites (IJ) et (CD) sont donc perpendiculaires.

3. a) Justifier l'existence d'un point d'intersection  E24a 

Les droites (CD) et Δ sont clairement strictement parallèles : elles sont ainsi coplanaires. Notons P le plan qu'elles définissent. Le point I appartient à Δ et le point J appartient à (CD) : la droite (IJ) est ainsi incluse dans le plan P. Comme le point M appartient à la droite (CD) donc au plan P, la droite parallèle à (IJ) passant par M que l'on note Δ est aussi incluse dans le plan P. Par conséquent, les droites Δ et Δ sont coplanaires. Comme les droites (IJ) et Δ ne sont pas parallèles, les droites Δ et Δ ne le sont pas également. Ces droites sont donc sécantes en un point que l'on notera P.

b) Démontrer qu'un triangle est rectangle  E26a • E26b 

La droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (CD) (question 2. b)) et la droite (CD) est parallèle à Δ. La droite (IJ) est donc orthogonale à Δ. De plus, la droite (IJ) est perpendiculaire (question 2. b)) à la droite (AB). Par conséquent, la droite (IJ) est orthogonale au plan contenant les droites (AB) et Δ que l'on note P. Mais, la droite Δ (la droite parallèle à (IJ) passant par M) est parallèle à la droite (IJ) donc la droite Δ est orthogonale au plan P et donc à toute droite de ce plan. Par conséquent, la droite Δ qui n'est rien d'autre que la droite (M′ P) est orthogonale à la droite (PM), droite du plan P.Le triangle MPM′ est ainsi rectangle en P.

c) Justifier une inégalité et interpréter

Dans le triangle MPM rectangle en P, l'hypoténuse est [MM] donc : MM′ >M′ P. Or le quadrilatère MPIJ est un parallélogramme donc M′ P=JI. Ainsi, MM′ >IJ. Par suite, pour tout point M de la droite (AB) distinct du point I et pour tout point M de la droite (CD) distinct du point J, la distance MM est supérieure à la distance IJ.

Il en découle que la distance IJ est la distance minimale entre les droites (AB) et (CD).

Exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

matT_1805_02_01C_06

1. Construire des points sur un graphique

Les points M1, M2 et S1 sont alignés et M1M2 = 1 donc M2 appartient au segment [M1S1] et au cercle de centre M1 et de rayon 1.

Les points M2, M3 et S2 sont alignés et M2M3 = 1 donc M3 appartient au segment [M2S2] et au cercle de centre M2 et de rayon 1.

On obtient ainsi la figure ci-contre.

2. Calculer des distances

D'après l'énoncé, à l'instant initial, le chien est en M0 et nous avons donc M0(0 0). Il s'oriente en direction du point S0 et, une seconde plus tard, il se trouve un mètre plus loin au point M1 et nous avons ainsi M1(1 0).

D'après l'énoncé, au bout de n secondes, les coordonnées du point Sn sont (5  n). Par conséquent, nous avons S0(5 0) et S1(5 1).

Il en découle immédiatement que d0=M0S0=1. De plus, dans le triangle M1S0S1 rectangle en S0, d'après le théorème de Pythagore :

M1S12=M1S02+S0S12=42+12=17.

Ainsi, d1=M1S1=17.

3. Déterminer les coordonnées d'un point sous contrainte

Le chien se déplace en ligne droite donc les points M1, M2 et S1 sont alignés donc les vecteurs M1M2 et M1S1 sont colinéaires. Le chien s'orientant de M1 vers S1, nous pouvons ajouter que les vecteurs M1M2 et M1S1 sont de même sens. Il existe donc un nombre réel k positif tel que M1M2=kM1S1.

Le chien se déplace en ligne droite de M1 vers S1 en parcourant un mètre. Nous pouvons donc dire que M1M2 = 1.

Du premier point il résulte que :

M1M2=M1M2=kM1S1 =|k|×M1S1=kM1S1 (k>0).

D'après le deuxième point, nous avons M1M2 = 1.

Nous en déduisons donc que kM1S1 = 1 et k=1M1S1=1d1=117.

Ainsi M1M2=117M1S1.

Finalement :

M1M2=117M1S1{xM2xM1=117(xS1xM1)yM2yM1=117(yS1yM1){xM2=xM1+117(xS1xM1)=1+117×(51)=1+417yM2=yM1+117(yS1yM1)=0+117×(10)=117

Le point M2 a donc pour coordonnées (1+417  117).

4. a) Proposer des formules de tableur

La cellule C5 contient le terme y2.

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel : yn+1=yn+nyndn.

Il vient donc : y2=y1+1y1d1. Puisque y1 est dans la cellule C4, que n = 1 est dans la cellule A4 et d1 dans la cellule F4, le contenu de la cellule C5 peut être déterminé par la formule :

« = C4+(A4−C4)/F4 »

qu'il suffira de recopier vers le bas pour remplir la colonne C.

La cellule F5 contient le terme d2.

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n, dn = MnSn.

Dans le repère orthonormé fourni, il vient, pour tout entier naturel n :

dn=MnSn=(xSnxMn)2+(ySnyMn)2.

Ainsi, d2=(xS2xM2)2+(yS2yM2)2.

Or, xS2 est dans la cellule D5, xM2 est dans la cellule B5, yS2 est dans la cellule E5 et yM2 est dans la cellule C5.

Par conséquent, le contenu de la cellule F5 peut être déterminé par la formule :

« = RACINE((D5−B5)^2+(E5−C5)^2) »

qu'il suffira de recopier vers le bas pour remplir la colonne F.

b) Justifier la convergence d'une suite et conjecturer sa limite  E2e 

D'après l'énoncé, la suite (dn) est strictement décroissante.

Puisque, pour tout entier naturel n, dn correspond à la longueur MnSn, il en résulte que dn  0. La suite (dn) est donc minorée par 0.

La suite (dn) est strictement décroissante et minorée par 0, par conséquent, d'après le théorème de la limite monotone, la suite (dn) est convergente.

Le tableau fourni nous permet d'observer que, plus les valeurs de n augmentent, plus les termes dn se rapproche de 2,7731658.

La suite (dn) semble donc converger vers une limite L avec L2,7731658.

partie b

1. a) Construire une tangente à une courbe

On trace une tangente possible à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3.

matT_1805_02_01C_07

Le point S semble avoir pour coordonnées S( 3,3).

b) Déterminer les coordonnées d'un point par le calcul  E6b 

Une équation de la tangente, que nous appellerons Δ, à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3 est :

Δ:y=f(3)(x3)+f(3).

Le point S est le point d'intersection de Δ avec la droite d'équation x = 5.

Nous avons ainsi S(5 yS) et yS=f(3)(xS3)+f(3).

Or :

f(3)=3(10,1×3)53=1,05

et

f(3)=2,5ln(10,2×3)0,5×3+0,05×32=1,052,5ln(0,4).

Ainsi, nous obtenons :

yS=1,05×(53)1,052,5ln(0,4)=1,052,5ln(0,4).

Puisque 1,052,5ln(0,4)3,34, nous en déduisons qu'une valeur approchée au centième de l'ordonnée du point S est 3,34.

2. Calculer une limite  E5a 

limx50,1x2x+5=2,5. Au cours du temps, la distance MS=d(x) se rapproche de la valeur limite 2,5.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : un modèle simple

1. a) Déterminer des matrices

Pour tout entier naturel n :

{un+1=1,1un2 000vnvn+1=2×105un+0,6vn 

(un+1vn+1)=(1,1un2 000vn2×105un+0,6vn)=(1,12 0002×1050,6)×(unvn).

Par conséquent, Un+1 = A × Un avec A=(1,12 0002×1050,6).

U0=(u0v0)=(2×106120).

b) Déterminer des termes de suites  C5 

Le nombre de campagnols et de renards estimés, grâce au modèle proposé, au 1er juillet 2018, sont les termes u6 et v6.

rappel

Si, pour tout entier naturel n, Un+1 = A × Un, alors Un = An × U0.

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons : U6=(u6v6)=A6×U0(1 882 35296).

Au 1er juillet 2018, il y aura environ 1 882 352 campagnols et 96 renards.

2. a) Démontrer une égalité par récurrence  E1 

Soit la propriété P(n) :  Un=P×Dn×P1×U0.

Initialisation :

P×D0×P1×U0=P× I2×P1×U0=P×P1×U0=I2×U0=U0.

La propriété P(0) est donc vérifiée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) : Uk=P×Dk×P1×U0 soit vraie pour un entier naturel k donné (hypothèse de récurrence).

Nous avons alors :

Uk+1 = A×Uk=(P×D×P1)×P×Dk×P1×U0(hypothèse de récurrence)=P×D×(P1×P)×Dk×P1×U0 (associativité)=P×D×I2×Dk×P1×U0= P×(D×Dk)×P1×U0 (associativité)= P×Dk+1×P1×U0.

La propriété P(k+1) est donc vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) est initialisée à n = 0 et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, Un=P×Dn×P1×U0.

b) Déterminer une matrice

Pour tout entier naturel n, Dn=(1000,7n).

c) Décrire l'évolution de deux suites  E2a • E2c • E4d 

Pour tout entier naturel n :

un+1un=2×10615(0,7n+10,7n)=2×10615×0,7n×(0,71)=2×10615×0,7n×(0,3)0.

La suite (un) est donc décroissante.

Pour tout entier naturel n :

vn+1vn=40015(0,7n+10,7n)=40015×0,7n×(0,71)=40015×0,7n×(0,3)0.

La suite (vn) est donc décroissante.

rappel

Soit q un nombre réel avec - 1 q 1. Alors limn+qn=0.

Pour tout entier naturel n, un=2,8×107+2×106×0,7n15.

Puisque - 1  0,7  1, alors limn+0,7n= 0.

Par produit, somme et quotient, il vient limn+un=2,8×10715.

Pour tout entier naturel n, vn=1 400+400×0,7n15. Par produit, somme et quotient, il vient limn+vn=1 40015.

Les populations de campagnols et de renards vont décroître et se stabiliser à long terme à environ 1 866 667 individus pour les campagnols et à 93 individus pour les renards.

partie b : un modèle plus conforme à la réalité

1. Déterminer des formules de tableur

La cellule B4 contient le terme u1 qui se calcule à partir des termes u0 et v0 (situés respectivement en B3 et C3) en utilisant la formule de récurrence fournie pour tout entier naturel n : un+1 =  1,1un -  0,001un × vn.

Une formule à écrire dans la cellule B4 peut donc être :

« =1,1 × B3 0,001 × B3 × C3 ».

La cellule C4 contient le terme v1 qui se calcule à partir des termes u0 et v0 en utilisant la formule de récurrence fournie pour tout entier naturel n : vn+1 = 2× 107un×vn+0,6vn.

Une formule à écrire dans la cellule C4 peut donc être :

« =2×10^(7)× B3 × C3 + 0,6 × C3 ».

2. Faire une observation à partir d'une feuille de tableur

8

5

1 825 160

111

9

6

1 804 988

107

10

7

1 792 049

103

11

8

1 786 692

99

12

9

1 789 005

94

13

10

1 798 854

91

14

11

1 815 930

87

Le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) s'observe à partir de n = 9 soit à partir de 2021.

partie c

Résolvons l'équation matricielle Un+1 = Un, pour tout entier naturel n.

Un+1=Un{un+1=1,1un0,001un×vn=unvn+1=2×107un×vn+0,6vn=vn {0,1un0,001un×vn=02×107un×vn0,4vn=0 {un(0,10,001vn)=0vn(2×107un0,4)=0 {un=0 ou vn=0,10,001=100vn=0 ou un=0,42×107=2 000 000

Pour que les deux populations restent stables d'une année sur l'autre, nous pouvons donc choisir u0 = 0 et v0 = 0, ou u0 = 2 000 000 et v0 = 100.

Cependant, l'étude proposée sur les populations de campagnols et de renards suppose qu'il y ait des individus à observer au départ. C'est pourquoi nous retiendrons ici le seul couple de solutions :

( u0 = 2 000 000  v0 = 100).

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